1、长春市普通高中 2017 届高三质量检测（二）数学试卷（理科）一选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.已知集合 0,12|2,xAByA，则 BA. , B. , C. 14 D. 1,42.已知复数 zi，则下列命题中正确的是. 2； 1i ； . z的虚部为 i； z在复平面上对应的点位于第一象限.A. 1 B. 2 C. 3 D. 43.下列函数中，既是奇函数又在上单调递增的函数是A. B. C. D.4.圆 24xy关于直线 3yx对称的圆的方程是A. 231 B. 224yC. 24xy D. 213x5
2、.堑堵，我国古代数学名词，其三视图如图所示.九章算术中有如下问题：“今有堑堵，下广二丈，表一十八丈六尺，高二丈五尺，问积几何？”意思是说：“今有堑堵，底面宽为 2 丈，长为 18 丈 6 尺，高为 2 丈 5 尺，问它的体积是多少？”（注：一丈=十尺） ，答案是A. 25500 立方尺 B. 34300 立方尺 C. 46500 立方尺 D. 48100 立方尺6.在 ABC中，D 为三角形所在平面内一点，且 132ADBC，则 BCDASA. 16 B. 3 C. 12 D.7.运行如图所示的程序框图，则输出结果为A. 1008 B. 1009 C. 2016 D. 20178.关于函数 2
3、sin14yx，下列叙述有误的是A. 其图象关于直线 对称 B. 其图像可由 2sin14yx图象上所有点横坐标变为原来的 13倍得到 C. 其图像关于点 1,02对称 D.其值域为 ,39.右图是民航部门统计的 2017 年春运期间十二个城市售出的往返机票的平均价格以及相比去年同期变化幅度的数据统计图表，根据图表，下面叙述不正确的是A. 深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高 B. 深圳和厦门的春运期间往返机票价格同去年相比有所下降 C. 平均价格从高到低居于前三位的城市为北京、深圳、广州 D. 平均价格变化量从高到低居于前三位的城市为天津、西安、厦门10.如图，扇形 AOB 的圆心角为 1
4、20，点 P 在弦 AB 上，且 13APB，延长 OP 交弧 AB 于点 C，现向扇形 AOB 内投一点，则该点落在扇形 AOC 内的概率为A. 14 B. 3 C. 7 D. 3811.双曲线 C的渐近线方程为 2yx，一个焦点为 0,7F，点 2,0A，点 P为双曲线第一象限内的点，则当点 P 的位置变化时， PA周长的最小值为A. 8 B. 10 C. 437 D. 3112.已知定义域为 R 的函数 fx的图象经过点 ,，且对 xR,都有 2fx，则不等式2log231log1xf的解集为A. ,0, B. 0, C. 1,0,3 D.,1二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5
5、分，共 20 分.13. 1exd .14. 将 1,2,3,4正整数按如图所示的方式排成三角形数组，则第 10 行左数第 10 个数为 . 15. 某班主任准备请 2016 年毕业生作报告，要从甲、乙等 8 人中选 4 人发言，要求甲、乙两人至少一人参加，若甲、乙同时参加，则他们发言中间恰好间隔一人，那么不同的发言顺序共有 （种）.（用数字作答）16.已知四棱锥 PABCD的底面为矩形，平面 PBC平面 AD， PEBC于点 ，1,6,3,2ECABPE，则四棱锥 PABCD的外接球半径为 .三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.（本题
6、满分 12 分）已知数列 na满足 11, .2naN（1）若数列 b满足 ，求证： nb是等比数列；（2）若数列 nc满足 312log,nnnaTcc ，求证： 1.2nT18.（本题满分 12 分）为了打好脱贫攻坚战，某贫困县农科院针对玉米种植情况进行调研，力争有效的改良玉米品种，为农民提供技术支.现对已选出的一组玉米的茎高进行统计，获得茎叶图如右图（单位：厘米） ，设茎高大于或等于 180 厘米的玉米为高茎玉米，否则为矮茎玉米.（1）完成 2列联表，并判断是否可以在犯错误的概率不超过 1%的前提下，认为抗倒伏与玉米矮茎有关？（2）按照分层抽样的方式，在上述样本中，从易倒伏和抗倒伏两组中
7、抽取 9 株玉米，设取出的易倒伏矮茎玉米株数为 X，求 的分布列（概率用组合数算式表示） ；若将频率视为概率，从抗倒伏的玉米试验田中再随机抽取出 50 株，求取出的高茎玉米株数的数学期望和方差.19.（本题满分 12 分）已知三棱锥 ABCD中， 是等腰直角三角形，且 ,2,ACBAD平面 ,1.BCA（1）求证：平面 平面 ；（2）若 E为 的中点，求二面角 ACED的余弦值.20.（本题满分 12 分）已知抛物线 2:0Cypx与直线 240xy相切.（1）求该抛物线的方程；（2）在 x轴的正半轴上，是否存在某个确定的点 M,过该点的动直线 l与抛物线 C 交于 A,B 两点，使得2AMB
8、为定值.如果存在，求出点 M 的坐标；如果不存在，请说明理由.21.（本题满分 12 分）已知函数 21ln,.fxaxR（1）若 存在极值点 1，求 的值；（2）若 fx存在两个不同的零点 12,x，求证： 12.x请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按照所做的第一题计分.22.（本题满分 10 分）选修 4-4：极坐标与参数方程在平面直角坐标系 xoy中，以 O 为极点， x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.曲线 1C的极坐标方程为223sin1，曲线 2C的参数方程为 1cosinty（ t为参数）, 0,.2（1）求曲线 1的直角坐标方程，并判断该曲线是什么曲线；（2
9、）设曲线 2与曲线 1的交点为 A,B， 1,0P,当 72APB时，求 cos的值.23.（本题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲（1）如果关于 x的不等式 15xm的解集不是空集，求实数 m的取值范围；（2）若 ,ab均为正数，求证： aba.长春市普通高中 2017 届高三质量监测（二）数学（理科）试题参考答案及评分标准一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）1. B 2. C 3. D 4. D 5.C 6. B7. A 8. C 9. D 10. A 11. B 12. A简答与提示：1. 【命题意图】本题考查集合中元素的计算与交集的运算. 【试题解析】
10、B 题意可知， 1,24B， 1,2AB. 故选 B.2. 【命题意图】本题考查复数的模、共轭复数、虚部与复数与平面内点的对应关系.【试题解析】C 由已知， 正确，错误.故选 C. 3. 【命题意图】本 题 考 查 函 数 的 单 调 性 与 奇 偶 性 知 识 .【试题解析】D A、B 选项为偶函数，排除，C 选项是奇函数，但在 (0,)上不是单调递增函数.故选 D.4. 【命题意图】本 题 考 查 直 线 与 圆 的 相 关 知 识 .【试题解析】D 圆 2()4xy的圆心关于直线 3yx对称的坐标为 (1,3)，从而所求圆的方程为 22(1)3xy.故选 D.5. 【命题意图】本题主要考
11、查空间几何体的体积.【试题解析】C 由已知，堑堵的体积为12086540. 故选 C.6. 【命题意图】本题主要考查利用平面向量确定点的位置进而解决平几问题. 【试题解析】B 由已知，点 D在 AB边的中位线上，且为靠近 BC边的三等分点处，从而有12ADACS， 13CS， 11()236AASS，有 13BCDAS.故选 B. 7. 【命题意图】本题考查直到型循环结构程序框图运算.【试题解析】A 有已知， 014015208 .故选 A. 8. 【命题意图】本题考查三角函数的有关性质. 【试题解析】C 由已知，该函数图象关于点 (,)对称 .故选 C. 9. 【命题意图】本题主要考查考试对
12、统计图表的识别. 【试题解析】D 由图可知 D 错误.故选 D. 10. 【命题意图】本 题 主 要 考 查 几 何 概 型 . 【试题解析】A 设 3OA，则 3,BAP，由余弦定理可求得 3OP，有30OP，所以扇形 C的面积为 4，扇形 的面积为 ，从而所求概率为 14.故选 A. 11. 【命题意图】本题考查双曲线定义的相关知识. 【试题解析】B 由已知双曲线方程为2143yx，设双曲线的上焦点为 F，则 |4PF， PAF的周长为 |PAFPA，当 点在第一象限时， |A的最小值为 |3，故 的周长的最小值为 10.故选 B. 12. 【命题意图】本题是考查导数在研究函数单调性上的应
13、用. 【试题解析】A 令 ()2Fxfx，有 ()20Ffx，所以 ()Fx在定义域内单调递增，由 1)(f，得 )13f，因为 2log|31|log|31|xxf 等价于22log|3|log|xx，令 |t，有 ()ft，则有 t，即|，从而 |，解得 ,x且 0. 故选 A. 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13. 21e14. 91 15. 18 16. 2简答与提示：13. 【命题意图】本题考查定积分的求解.【试题解析】2221 11()(ln)eexexd. 14. 【命题意图】本题考查考生有关数列归纳的相关能力.【试题解析】由三角形数组可推断出，第
14、 行共有 21n项，且最后一项为 2n，所以第 10 行共 19 项，最后一项为 100，左数第 10 个数是 91.15. 【命题意图】本题考查排列组合综合问题.【试题解析】若甲乙同时参加，有 2610CA种， 若甲乙有一人参与，有 1342690CA种，从而总共的发言顺序有 108种. 16. 【命题意图】本题考查四棱锥的外接球问题. 【试题解析】如图，由已知，设三角形 PB外接圆圆 心为 1O，由正弦定理可求出三角形 PBC外接圆半径为 102， F为BC边中点，进而求出 12OF，设四棱锥的外接球球心为 O，外接球半径的平方为 21()4BDF，所以四棱锥外接球半径为 .O O1FEP
15、D CBA三、解答题17. (本小题满分 12 分)【命题意图】本题考查等比数列及利用不等式性质证明与数列前n项和有关的不等式. 【试题解析】(1) 由题可知 *113()2Nnna，从而有 13nb， 12a，所以nb是以 1 为首项，3 为公比的等比数列. （6 分）(2) 由(1)知 1nb，从而 12na， 1133log()lognnnc，有12 ()02 nnTcc，所以 (). （12 分）18. (本小题满分 12 分)【命题意图】本小题主要考查学生对概率统计知识的理解，以及统计案例的相关知识，同时考查学生的数据处理能力.【试题解析】解：(1) 根据统计数据做出 2列联表如下：
16、抗倒伏 易倒伏 合计矮茎 15 4 19高茎 10 16 26合计 25 20 45经计算 7.286.35k，因此可以在犯错误概率不超过 1%的前提下，认为抗倒伏与玉米矮茎有关. （4 分）(2) (i) 按照分层抽样的方式抽到的易倒伏玉米共 4 株，则 X的可能取值为 0,1,2,3,4.41620()CPX，134620()CPX，24160()CP，314620()，420()即 X的分布列为：0 1 2 3 4P41620C3462041620C14620420C(ii) 在抗倒伏的玉米样本中，高茎玉米有 10 株，占 25，即每次取出高茎玉米的概率均为 25，设取出高茎玉米的株数为
17、 ，则 2(50,)B:，即 0Enp，3(1)1Dnp. （12 分）19. (本小题满分 12 分)【命题意图】本题以三棱锥为载体，考查平面与平面垂直，求二面角问题等. 本题考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.【试题解析】 （1）证明：因为 AD平面 ,BC平面 BD，所以 ABC，又因为,ACB，所以 平面 平面 C，所以平面 平面 D.（6 分）（2）由已知可得 3如图所示建立空间直角坐 标系，由已知(0,)， (,20)B， (,1)A， (3,0)D，31,E.有 ,CE， ,C， (3,0)CD，设平面 的法向量 ()nxyz，有 0,12xznAEy，令 1x，
18、得 (,03)，设平面 CED的法向量 (,)mxyz，有300,12xCDEyz，令 1y，得 (0,2)m，二面角 A的余弦值 |5cosnm.（12 分）20. (本小题满分 12 分)【命题意图】本小题考查直线与抛物线的位置关系及标准方程，考查学生的逻辑思维能力和运算求解能力.【试题解析】(1) 联立方程有， 240xyp，有 280yp，由于直线与抛物线相切，得 2830,4pp，所以 8. （4 分）zy xABCDE(2) 假设存在满足条件的点 (,0)Mm，直线 :lxtym，有 28xty，280ytm，设 12(,)(,)AxyB，有 12128,yty，221|()AMx
19、t， 2 2|()()x，212222 221 4)|()()()(1)ytmBtyttt，当 4时，221|A为定值，所以 4,0M. （12 分）21. (本小题满分 12 分)【命题意图】本小题主要考查函数与导数的知识，具体涉及到导数的运算，用导数来研究函数的单调性等，考查学生解决问题的综合能力.【试题解析】(1) ()1afxx，因为 ()f存在极值点为 1，所以 ()0f，即20,1a，经检验符合题意，所以 . （4 分）(2) ()()(0)afxx当 时， )0f恒成立，所以 fx在 ,上为增函数，不符合题意；当 0a时，由 (x得 a，当 x时， )f，所以 ()f为增函数，当
20、 时， (0x，所 x为减函数，所以当 xa时， )f取得极小值 ()fa又因为 ()f存在两个不同零点 12,x，所以 0f，即 21()ln0aa整理得 1ln2，作 ()yfx关于直线 a的对称曲线 ()gxfx，令 2()2lnahgffa22() 0()()xaxx所以 h在 0,上单调递增，不妨设 12xa，则 2()0hxa，即 2 1()()gfff，又因为 1(0,),x且 x在 (,)a上为减函数，故 21a，即 2a，又 ln2，易知 1成立，故 1x. （12 分）22. (本小题满分 10 分)【命题意图】本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方
21、程与平面直角坐标方程的互化、把曲线的参数方程和曲线的极坐标方程联立求交点等内容. 本小题考查考生的方程思想与数形结合思想，对运算求解能力有一定要求.【试题解析】 (1) 由 22(3sin)1得2143xy，该曲线为椭圆. （5 分）（2）将 1cosinxty代入24xy得 22(cos)6s90tt，由直线参数方程的几何意义，设 12|,|PAtBt， 1226s,t12294cost，所以 211127|()4cosPABttt，从而 24cos7，由于 (0,)，所以 7cs. （10 分）23. (本小题满分 10 分)【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式解法及不等式证明等内容. 本小题重点考查考生的化归与转化思想.【试题解析】 (1) 令24,1|1|5|65,xyx，可知 |1|5|6x，故要使不等式 |1|5|xm的解集不是空集，有 6. （5 分）（2）由 ,ab均为正数，则要证 aba，只需证 1ab，整理得 ()1ab，由于当 ab时，0，可得 ()1ab，当 时， 0，可得 ()ab，可知 ,均为正数时 ()1，当且仅当 时等号成立，从而 aba成立.
