1、吉林市普通中学 20162017 学年度高中毕业班第四次调研测试数 学（理科）本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共 23 小题，共 150 分，考试时间 120 分钟。注意事项： 1答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内；2选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5 毫米的黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚；3请按照题号顺序在各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。第卷（选择题 共 60 分）一、选择题：本大题共 12 题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一
2、项是符合题目要求的。1. 设集合 2|30,|0AxBx，则 ABA (1,) B (,) C (,3) D (1,3)2. 复数2iz（ 是虚数单位） ，则复数 z的虚部为A. i B. i C. 1 D.3. 已知角 终边过点 (,2cos60)Pm，且 25cos, 则 mA. 12 B. 1 C. D. 24. 下列说法正确的是A 命题“ ,0xRe”的否定是“ 00,xRe”B ,abc, “ 2ac”是“ ,bc成等比数列”的 充 要 条 件C 命题“ 已知 ,xy若 3y，则 2x或 1y”是真命题D 命题“若 1a，则函数 ()fa只有一个零点”的逆命题为真命题5 右边程序框图
3、的算法思路源于数学名著几何原本 中的“辗转相除法”，执行该程序框图（图中“ mMOD n”表示 m除以 n的余数） ，若输入的 , 分别为 485，135， 则输出的 A 0 开 始结 束 是 否输 入 , r=MODn r 0?输 出 mB 5 C 2 D 46. 随机将 5 位教师全部分到 ,ABCD四所学校任教，每所学校至少分到 1 名教师，则甲，乙二人都分到 校任教的概率为A. 316 B. 10 C. 20 D. 47. 某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A 73 B 8 C 3 D 78 已知 01,abc,则A. logl B. 1()cab C. cba D. 1
4、loglcca9. 已知函数()sin)(0,|)2fx的最小正周期为 ，且其图像向左平移 3个单位后得到函数 ()cosgx的图像，则函数 ()fx的图像A关于直线 12对称 B关于直线512对称C关于点(,0)对称 D关于点(,0)对称12正 视 图 侧 视 图俯 视 图10. 函数 ()fx对 R有 (1)()fxf，当 01x时， 20()13afxtd，若 2017,则 a的值为A 1 B 2 C 3 D 411. 抛物线 2ypx的焦点为 F，其准线与 x轴的交点为 N，过点 F做直线与此抛物线交于 ,两点，若 0NA:,则 |BA. B. 2p C. 3p D. 4p12. 不等
5、式 22()ln(1)babam对任意 0,baR恒成立，则实数m的最大值为A. e B. 2 C . e D. 3第卷（非选择题 共 90 分）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在答题卡的相应位置13. 已知向量 (2,)(1,)ab，且 ()()ab，则实数 .14. 4()1x的展开式中 x的系数是 .15. 已知实数 ,y的满足 150xy，若目标函数 (0)zaxy的最大值为 6，则实数 a的值为 .16. 三棱锥 PABC中， 为边长等于 23的正三角形， 7BAC,二面角等于 23，则此三棱锥外接球的表面积等于 .三、解答题：本大题共 6 小题，
6、共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. （本小题满分 12 分）已知等差数列 na满足 3574,1,ana的前 项和为 nS. （）求 及 S;（）设 21(*)nbNa， nT为数列 nb的前 项和，求证： 34nT.18 （本小题满分 12 分） 某市毕业班调研考试数学成绩统计数据显示：全市 10000 名理科生数学成绩服从正态分布2(10,5)N，现从该市某校理科毕业生中，随机抽取 50 名同学的数学成绩，进行调研时发现，他们成绩全部介于 80 分到 140 分之间，将成绩按如下方式分成六组：第一组 80,9)，第二组 90,1)， ，第六组 130,4)，按上述分组
7、方法得到如图所示的频率分布直方图.（）试估计该校理科毕业生数学平均分；（）求被抽取的 50 名同学中，成绩在 120 分（含 120 分）以上的人数；（）从这 50 名同学成绩在 120 分（含 120 分）以上的人中任意抽取 2 人，该 2 人中成绩在全市前 230 名的人数记为 ，求 的数学期望. 附：若 2(,)N:，则 0.683P(22)= 954 3= 0.719. （本小题满分 12 分）如图，四棱锥 PABCD的底面 为平行四边形， ,DAPB.（）求证： ;（）若 ,60,2BP, 求二面角 C的正弦值.20. （本小题满分 12 分） 已知 12,F分别是椭圆2:1(0)x
8、yCab的左，右焦点， ,DE分别是椭圆 C的上顶点和右顶点，且 23DES，离心率 2e .（）求椭圆 的方程；分 数频 率组 距 809120314.126.0ABP（）设经过 2F的直线 l与椭圆 C相交于 ,AB两点，求 2OABFS的最小值. 21. （本小题满分 12 分）已知函数 21()ln)(21)fxkx.（）求曲线 y在点 (,f处的切线方程；（）是否存在正整数 ，使函数 )在 (,)上单调递增，若存在，求出正整数k的所有值，若不存在，说明理由.请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22. （本小题满分 10 分）以
9、坐标原点为极点， x轴正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线 C的极坐标方程为22(3sin)1，直线 l的参数方程为321xty（ 为参数） ，设直线 l与曲线C相交于 ,AB两点.（）求曲线 的直角坐标方程和直线 l的普通方程；（）设点 P的极坐标为 (1,)3，问：点 P是否在直线 l上，若在，求 |PAB的值; 若不在，说明理由.23. （本小题满分 10 分）设函数 ()|21|fx.（）解不等式 3;（）若实数 ,ab满足 25，求 2()fab的最小值. 命题、校对： 王有富 刘彦学 赵玉楠 孙长青吉林市普通中学 20162017 学年度高中毕业班第四次调研测试数 学（理科）参考答案
10、与评分标准一、选择题： 12 题解答： 22()ln(1)babam恒成立，左端为点 ,lnPb与点(,1Q距离平方，因为 ,PQ分别在曲线 :lCyx及直线 :1yx上，由yx得 ，故与 l平行且与 :ln相切的切点为（1,0）所以 Q最小值2d，所以 2m，解得 12m。故选 B.二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在答题卡的相应位置13： 4 ； 14：3 ; 15. 4 ； 16. 19 三、解答题17 解答：（）设等差数列 na的首项为 1，公差为 d，因为 357,4a，所以有 1240d，解得 2a， -4 分所以 ()1nan； -5 分2S2(
11、3)。 -6 分（）由（1）知 21()1()2nbann， -9 分1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12A C D C B D B D C A B B所以 11(2345nT11. )2nn)2n -11 分4 -12 分18 解答：()由直方图，抽取的 50 名学生的数学平均成绩为：850.129.6105.320.125.30.817.，所以，该校理科毕业生的数学平均成绩约为：107.8 -3 分（）由直方图知，后两组频率之和为 0.2，后两组人数之和为 .2。即这 50 名理科生中成绩在 120 分以上（含 120 分）的有 10 人。 -6 分（） (10251025
12、)0.94p， (130).,p.3102，所以全市前 230 名理科生数学成绩在 130 分以上，这 50 人中，成绩在 130 分以上的人数有5.84人，随机变量 可以取 0,1,2. -8 分2610()3Cp，146208()5CP，2410()5CP-10 分85E-12 分19 解答：()证明：取 AP中点 M，连 D,B -2 分D,B,面 ,又 面PA-5 分（） ,DBP, ,60DABP是等腰三角形， 是等边三角形2,1,3M2, 以 ,PBD所在直线分别为 ,xyz轴建立空间直角坐标系，-7 分则 (1,0)(,30)A， (1,)(0,1)PD,ABCDPMxyz从而得
13、 (1,0)DP(1,30)CAB， (1,30)P, (1,0)BCAD -9 分设平面 的法向量 11,nxyz，则 1nD，即 1xzy，令 1y，得 13xz， 1(3,)，设平面 PCB的法向量 22(,)nxyz，由 20nBCP,得 203xzy，令 21y,得 23x， 2,2(3,1) -10 分112cos,7n， -11 分设二面角 DPCB为 ， 2143sincos,7n。-12 分注：因为两平面法向量选取不同，得到 1212c,， 2143sincos,7n仍然正确20 解答（）依题意得 2213()cabc，-3 分解得243ab， 故所求椭圆方程为214xy-5
14、 分（）由（1）知 2(1,0)F，设 12(,),)AB， A的方程为 1xty，代入椭圆的方程，整理得 469tyt，1226349tyt， -8 分12OABS， 1AFty， 2BFty， 2OABF:229()346ttt2t3， -11 分当且仅当 0t时上式取等号. 2OABFS:的最小值为 2。 -12 分21 解答（）证明：由已知 221()ln)()fxkx得 1(f, -1 分()2ln1fxk得 f. -2 分y在 (,)处的切线方程为 2(1)yx即 4230y -4 分（）法一：令 ()2(ln1)()gxfxk,依题意 ()g在 (,)上恒成立, -6 分lk.
15、-7 分当 k时, ()0x , ()g在 ,)上单调递增, ()12x故 12符合题意 -9 分当 k时，由 ()x得 2ke. ,()xg取值变化情况如下表，依题意 2()0kge即 20ke. -10 分令 ()xm，则 2()0xme, ()m在 2,)上单调递减，由 (3)62e, 248知 4时, ，故此时只有 3k符合题意.综上，所求正整数 k的值有 1,2,3. -12 分法二：由 ()0fx在 (1,)上恒成立，得 (ln1)xk在 (,)上恒成立。-6 分令 hln，则 2l()hx， -7 分令 ()l2Mx，得 10M在 (,)上恒成立， -8 分(12ke2(,)k)
16、gx- 0 +(减 极小值增又 (3)1ln0,(4)2ln0M，从而 0,x，使 x，即 0lx。 -10 分进而知 ()h取值变化情况如下表，0()()hx最 小 值 0(ln1)x0(3,4)x故符合题意的正整数K 为 1,2,3. -12 分22.解答（）由 C的极坐标方程得 223+sin1， 2341,xy即213xy；-2 分将 l的参数方程消去参数 t，得 l的普通方程为 0。 -4 分（）由 P点极坐标得 点的直角坐标为 13(,)2，满足 l的方程，故 P在 l上，-5 分所以 l的参数方程亦为 :(312xtly为 参 数 ） ， -6 分代入曲线 C的直角坐标方程，整理得 230tt， 123t， -8 分1212PBttA 21143()tt。-10 分01,x00(,)x()- 0 +减 极小值增
