1、2017 届北京市海淀区高三 3 月适应性考试（零模）文科数学试题第卷（共 40 分）一、选择题：本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集 |3,IxxN， 1,2A，则 ()IB（ ）A 1B C D 0,12 2.若 0mn，则下列不等式中正确的是（ ）A B |nmC 2nD mn 3.中国诗词大会节目是央视首档全民参与的诗词节目，节目以“赏中华诗词、寻文化基因、品生活之美”为基本宗旨，力求通过对诗词知识的比拼及赏析，带动全民重温那些曾经学过的古诗词，分享诗词之美，感受诗词之趣，从古人的智慧和情怀中汲取营养，涵养心
2、灵如图是 2016 年中国诗词大会中，七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图（其中 m为数字 09中的一个） ，去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的平均数分别为 1a， 2，则一定有（ ）A 12aB 21aC 12aD 1a， 2的大小与 m的值有关4.如图所示，已知 3AC， O， Bb， Oc，则下列等式中成立的是（ ）A 312cbaB 2cbaC 2cabD 312cab 5.当 4n时，执行如图所示的程序框图，输出的 S值为（ ）A6 B8 C14 D30 6.已知正项数列 na中， 1， 2a， 221nna，则 6a等于（ ）A16 B8 C4 D 7.已知
3、(,)|6,0xyxy， (,)|4,02xyxy，若向区域 上随机投一点 P，则点 落入区域 的概率是（ ）A 13B 23C 19D 9 8.已知函数 21()logxf，正实数 a， b， c是公差为负数的等差数列，且满足()0fabc，若实数 d是方程 ()0fx的一个解，那么下列四个判断： d； ； c； 中一定成立的个数为（ ）A1 B2 C3 D4 第卷（共 110 分）二、填空题（每题 5 分，满分 30 分，将答案填在答题纸上）9.设 i为虚数单位，则复数 21iz所对应的点位于第 象限10.设 lg2a， 0.5b， 3cos4，则 a， b， c按由小到大的顺序是 11.
4、已知某四棱锥的三视图如图所示，俯视图是边长为 4 的正方形，正视图和侧视图是边长为 4 的等边三角形，则该四棱锥的全面积为 12.已知双曲线 21xmy的右焦点为 (2,0)F， m的值为 ，渐进线方程 13.过抛物线 (0)p的焦点 作倾斜角为 6的直线，与抛物线分别交于 A， B两点（点 在x轴上方） ， OAFS 14.已知函数 21,()log0,xf在函数 ()1yfx的零点个数 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.已知函数 2()sincsixxf（）求 3的值；（）求 ()fx在 ,2的值域16.在数列 na中， 1n
5、a（ 2n， *N）且 12a（）证明：数列 是等比数列；（）求数列 n的前 项和 nS17.如图，四棱锥 PABCD的底面是边长为 1 的正方形，侧棱 PA底面 BCD，且 3PA， E是侧棱 A上的动点（）求四棱锥 PABCD的体积；（）如果 E是 的中点，求证 /P平面 BDE；（）是否不论点 E在侧棱 PA的任何位置，都有 BDCE？证明你的结论18.股票市场的前身是起源于 1602 年荷兰人在阿姆斯特河大桥上进行荷属东印度公司股票的买卖，而正规的股票市场最早出现在美国2017 年 2 月 26 号，中国证监会主席刘士余谈了对股市的几点建议，给广大股民树立了信心最近，张师傅和李师傅要将
6、家中闲置资金进行投资理财现有两种投资方案，且一年后投资盈亏的情况如下：（1）投资股市：投资结果 获利 不赔不赚 亏损概率 121838（2）购买基金：投资结果 获利 不赔不赚 亏损概率 p13q（）当 12p时，求 q的值；（）已知“购买基金”亏损的概率比“投资股市”亏损的概率小，求 p的取值范围；（）已知张师傅和李师傅两人都选择了“购买基金”来进行投资，假设三种投资结果出现的可能性相同，求一年后他们两人中至少有一人获利的概率19.已知函数 12()xef， ()lngx（）求函数 g在区间 ,4上的最小值；（）证明：对任意 m， (0)n，都有 ()gmfn成立20.已知椭圆21xyab经过
7、点 0,1P，离心率为 2，动点 (,)0Mm（）求椭圆的标准方程；（）求以 OM为直径且被直线 345xy截得的弦长为 2 的圆的方程；（）设 F是椭圆的右焦点，过点 F作 OM的垂线与以 为直径的圆交于点 N，证明：线段 O的长为定值，并求出这个定值一、选择题1-5: ACBD 6-8:CA 二、填空题9.一 10. cab11.4812. 13， yx 13. 234p 14.4 三、解答题15.解：（） 2()sincosixxf， 2()sinci366f213()134（） 2()iosinxxfcossix1(incos)2x1sin()42x，由 ,32x，得 7(,41，所以
8、 21sin()4x， 121sin()42x，所以 ()f的值域为 ,16.（）证明： 12na， 12()nna， 12a， 13，所以数列 n是以 3 为首项 2 为公比的等比数列（）解：由（）知 1nna， 132na， ()32nnS17.解：（） PA平面 BCD， 13PABCDVS形 2133，即四棱锥 的体积为 （）连结 A交 B于 O，连结 E四边形 CD是正方形， 是 AC的中点，又 E是 P的中点， /， 平面 ， 平面 D， /平面 B（）不论点 在何位置，都有 BCE证明如下：四边形 A是正方形， A， P底面 CD，且 平面 D， BP，又 ， 平面 P不论点 E
9、在何位置，都有 E平面 C，不论点 在何位置，都有 B18.解：（）因为“购买基金”后，投资结果只有“获利” 、 “不赔不赚” 、 “亏损”三种，且三种投资结果相互独立，所以 13pq，又因为 12p，所以 6q （）由“购买基金”亏损的概率比“投资股市”亏损的概率小，得 8，因为 13pq，所以 2，解得 724p，又因为 1， 0，所以 3p，所以 724（）记事件 A为“一年后张师傅和李师傅两人中至少有一人获利” ，用 a， b， c分别表示一年后张师傅购买基金“获利” 、 “不赔不赚” 、 “亏损” ，用 x， y， z分别表示一年后李师傅购买基金“获利” 、 “不赔不赚” 、 “亏损
10、” ，则一年后张师傅和李师傅购买基金，所有可能的投资结果有 39种，它们是：(,)ax， ,y， (,)az， ,bx， (,)y， ,bz， (,)cy， ,z，所以事件 A的结果有 5 种，它们是： a， ， a， ()bx， ,c因此这一年后张师傅和李师傅两人中至少有一人获利的概率 59PA19.（）解：由 ()lngx，可得 ()ln1gx当 1(0,)xe， 0， ()单调递减；当 1(,)xe， (0gx， ()单调递增所以函数 在区间 2,4上单调递增，又 (2)lng，所以函数 ()fx在区间 2,4上的最小值为 2ln（）证明：由（）可知 lng（ (0,)x）在 1xe时取
11、得最小值，又 1()e，可知 1()me由 2xf，可得 xf，所以当 (0,1)时， ()0， ()f单调递增；当 x时， fx， 单调递减所以函数 ()f（ ）在 1时取得最大值，又 1e，可知 ()fne，所以对任意 m， 0,，都有 ()gmfn成立 20.解：（）由题意得 2ca，因为椭圆经过点 (0,1)P，所以 b，又 22abc，由解得 ， 2c，所以椭圆方程为 21xy（）以 OM为直径的圆的圆心为 (,)2m，半径214r，方程为 22(1)()14xy，因为以 为直径的圆被直线 350xy截得的弦长为 2，所以圆心到直线 350xy的距离 21mdr所以 |2|5m，解得 4，所求圆的方程为 22(1)()5xy（）过点 F作 OM的垂线，垂足设为 K，由平面几何知： 2|ONKM则直线 ： 2myx，直线 FN： (1)yxm，由,(1),yx得 24K，2222 4|()(1)24KMmmON，所以线段 的长为定值 .
