2017年吉林省吉林大学附属中学高三第七次模拟考试数学（理）试题.doc

1、2017 届吉林省吉林大学附属中学高三第七次模拟考试数学（理）试题考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分 命题人： 审题人：本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，考试结束后，将答题卡交回。注意事项：1答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2选择题必须使用 2B铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3请按照题号顺序在各题目的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5保持卡面清洁，不得折叠，不要弄破、弄皱

2、，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。第卷（选择题 60 分）一、选择题（本大题包括 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上） （1）复数 i2（ 是虚数单位）的共轭复数在复平面上对应的点所在象限是（ ） （A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限解析：（A）（2）已知集合 ()|lg()|xyxyxa， ， ， ，若 AB，则实数 a的取值范围是（ ）（A） 1a （B） 1a （C ） 0 （D ） 0解析：（D）（3）已知 ， 是两不重合的平面，直线 m，直线 n，则“ ， 相交”是“直线

3、mn， 异面”的（ ）（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件解析：（B）（4）已知函数 2()fx，执行如图所示的程序框图，输出的k值是（ ）（A） （B） 5（C） 6 （C ） 7解析：（C）（5）已知函数 ()sincosfxabx（ ab， 为常数， 0a， xR）在 4处取得最大值，则函数(4yfx是（ ）（A）奇函数且它的图象关于点 (0)， 对称 （B）偶函数且它的图象关于点 3(0)2， 对称（C）奇函数且它的图象关于点 3(0)2， 对称 （D）偶函数且它的图象关于点 (0)， 对称解析：（B）（6）设单位向量 12，e的夹角为

4、3， 12ae， 23be，则 a在 b方向上的投影为（ ）（A） 3 （B） （C） （D ） 3解析：（B）（7）某几何体的三视图如图所示，其侧视图是一个边长为 1的等边三角形，俯视图是两个正三角形拼成的菱形，则这个几何体的体积为（ ）（A） 14 （B） 36（C） 2 （D ） 4解析：（A）（8）已知 sin1cos2，则 tan()的值为（ ）（A） 3 （B） 3 （C） 3或 （D） 1或 3解析：（D）（9）已知圆 C： 22()(1)xy和两点 (0)At， ， ()Bt， 0，若圆 C上存在点 P，使得0PAB，则 t的最小值为（ ）（A） 3 （B） 2 （C） 3 （

5、D） 1解析：（D）（10）已知等差数列 na的第 8项是二项式 41()xy展开式的常数项，则 913a（ ）（A） 23 （B） 2 （C ） （D ） 6解析：（C）（11）过抛物线 2ypx(0)的焦点 F的直线与双曲线213yx的一条渐近线平行，并交抛物线于AB，两点，若 |AFB，且 |2A，则抛物线的方程为（ ）（A） 2 （B） 3yx （C） 24y （D ） 2yx解析：（A）（12）已知函数 ()fx满足 ()lnff，且 (1)0f，则函数 ()f（ ）（A）有极大值，无极小值 （B）有极小值，无极大值（C）既有极大值，又有极小值 （D）既无极大值，也无极小值解析：（B

6、）. 因为 ()lnfxfx，即 ()lnfx，所以 ()lnfxxc，其中 为常数，又因为 (1)0f，所以 l1， 1， 21 ，侧 侧侧当 01x时， ()0fx，当 1时， ()0fx，所以函数 ()fx在 1时取得极小值，无极大值.第卷（非选择题，共 90 分）本卷包括必考题和选考题两部分，第 13 题21 题为必考题，每个试题考生都必须作答，第 22 题、23 题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题（本 大 题 包 括 4 个 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 20 分 ， 把 正 确 答 案 填 在 答 题 卡 中 的 横 线 上 ） （13）在 ABC 中，角 C， ，

7、 所对边分别为 abc， ， ，且 42， 5B，面积 2S，则 b .解析： 5（14）已知107xy表示的平面区域为 D，若 ()2xyxya， ， 为真命题，则实数 a的取值范围是 .解析： 5)，（15）某单位员工按年龄分为 ABC， ， 三组，其人数之比为 5:41，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为 20的样本，若 组中甲、乙二人均被抽到的概率是 ，则该单位员工总数为 .解析： 1（16）设函数 ()fx的定义域为 R，若存在常数 0，使 |()|fx对一切实数 x均成立，则称 ()fx为“条件约束函数”. 现给出下列函数： ()4f； 2x； 2()5f； x是定义在实数集

8、 R上的奇函数，且对一切 12x， 均有 1212()4|fxfx.其中是“条件约束函数”的序号是 （写出符合条件的全部序号）.解析：.对于，取 4即可；对于，因为 0x时， ()|fx，所以不存在 0，使 |()|fx对一切实数 x均成立；对于，因为 22|1|()| |5()4xf，取 12即可；对于，由于 fx为奇函数，故 0f，令 10x， 得 ()4|fx，故 ()4|fx，即()4|fx，所以 |()|4|fx，取 即可.三、解答题（本大题包括 6 个小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） （17） （本小题满分 12 分）在各项均为正数的等比数列 na中，

9、12，且 132a， ， 成等差数列.（）求等比数列 n的通项公式；（）若数列 b满足 2logna，数列 nb的前 项和为 nT，求证： 2n.解析：（）设数列 na的公比为 q，因为 132a， ， 成等差数列，所以 123a，即21123aq，所以 230，解得 或 1q，因为 0q，所以 q，所以数列 na的通项公式为 n.（）证明：因为 2lognnba，所以 1()2nnba，所以121()()()nT， 3+1()2nnT ，相减得 121 11()2()()()()()2 2nnn nnn .因此 ()2nnT.（18） （本小题满分 12 分）如图，直角三角形 ABC中， 6

10、0， 90ABC， 2， E为线段 BC上一点，且 13BEC，沿 AC边上的中线 D将 折起到 PD 的位置.（）求证： PE；（）当平面 平面 时，求二面角 的余弦值.解析：由已知得 2DCPBD， 3C.（）证明：取 中点 O，连接 EP， ，因为 1OB， 23E且 30OBE，所以 3OE，所以 OEB. 又因为 ， 为 的中点，所以 D，又 P，所以 D平面EDC BPEDCBAz yxOPBCDEPOE，又 平面 POE，所以 BDPE.（）因为平面 平面 C，平面 BD平面 ， ， O平面 BD，所以 平面 C，所以 ， ， 两两垂直. 以 为坐标原点，以 E、 B、 P所在直

11、线分别为x轴、 y轴、 z轴建立如图所示的空间直角坐标系. 则 (01)B， ， ， (03)P， ， ， (20)， ， ，()， ， ()BC， ， ，设平面 PBC的法向量为 ()xyz， ，n，则 30yzx，不妨令 3y，得 (31)， ，n. 又平面 D的一个法向量为 (10)， ，m，所以 cos，m，即二面角 PB的余弦值为 3.（19）（本小题满分 12 分）某厂每日生产一种大型产品 2件，每件产品的投入成本为 20元. 产品质量为一等品的概率为 0.5；二等品的概率为 0.4. 每件一等品的出厂价为 10元，每件二等品的出厂价为 80元，若产品质量不能达到一等品或二等品，除

12、成本不能收回外，每生产 件产品还会带来 1元的损失.（）求在连续生产的 3天中，恰有一天生产的 2件产品都为一等品的概率；（）已知该厂某日生产的这种大型产品 件中有 1件为一等品，求另 件也为一等品的概率；（）求该厂每日生产这种产品所获利润 （元）的分布列和期望.解析：（）一天中 2件都为一等品的概率为 0.54. 设连续生产的 3天中，恰有一天生产的两件产品都为一等品为事件 A，则 1237()C()46P.（） 2件中有一等品的概率为 ，则 件中有 1件为一等品，另 1件也为一等品的概率为134.（） 的可能取值为 16041205306， ， ， ， ， .则 2(160).5.P； 2

13、()C.4.P； 2(10).40.16P；25C.01.； 130.0.8； 6.故 的分布列为 64125300P0.250.0.60.1.8.1()11 (6)2E.（20） （本小题满分 12 分）在平面直角坐标系 xOy中，已知椭圆 1C：21xyab()的离心率 32e，且椭圆 1C上一点M到点 (03)Q， 的距离的最大值为 4.（）求椭圆 1C的方程；（）设 (0)6A， ， N为抛物线 2C： 2yx上一动点，过点 N作抛物线 2C的切线交椭圆 1C于B，两点，求 B 面积的最大值 .解析：（）因为2234cabe，所以 24ab，则椭圆方程为214xyb，即 224xyb.

14、 设 ()Mxy， ，则 2222222|0(3)(3)693(1)4Qbyyyb.当 1y时， |有最大值为 41. 解得 1b，则 4a. 所以椭圆 1C的方程是2xy.（）设曲线 ： 2上的点 2()Nt， ，因为 2yx，所以直线 B的方程为 ytxt，即 t，代入椭圆方程214xy得234(16)0txt，则有 32242(16)(16)(6()ttt. 设 12()yCy， ， ， ，则 122xt， 12xt.所以4222121212416|4|4()tBtt . 设点 A到直线 C的距离为 d，则 26t. 所以 ABC 的面积242 42214111| 162686tttSB

15、d t 25(8)t.当 t时，等号成立，经检验此时 0，满足题意.综上， ABC 面积的最大值为 658.（21） （本小题满分 12 分）已知 2()e4xf，其中 e为自然对数的底数.（）设 ()1()gxfx（其中 ()fx为 f的导函数） ，判断 ()gx在 1)， 上的单调性；（）若 ln4Faf无零点，试确定正数 a的取值范围.解析：（）因为 2()exf，则 21()e4xf， 21()()(e14xgxf，所以 211()e3()044xxg，所以 在 ， 上单调递增.（）由 ()ln)Faf知 11()()aFxfxgx，由（）知 gx在 1， 上单调递增，且 )0g，可知

16、当 ， 时， ()0)， ，则 ()()a有唯一零点，设此零点为 xt.易知 1xt， 时， 0Fx， ()x单调递增； ()t， 时， ()0Fx， ()x单调递减，故 max()()ln1)4Ftaft，其中 1()agt.令 l()fxGg，则 22()()()fxfgxfxGx ，易知 ()0fx在 1， 上恒成立，所以 ()0， ()G在 1)， 上单调递增，且 (0)G.当 4a时， ()(0)4tga，由 x在 ， 上单调递增知 0t，则 max()FtG，由 F在 (1)t， 上单调递增， 44(e1)(e1)0Faf，所以4e10t，故 ()x在 1)t， 上有零点，不符合题

17、意；当 a时， ()04gtga，由 (x的单调性知 0t，则 max()()(0)tG，此时()Fx有一个零点，不符合题意；当 4时， 1()()t，由 ()的单调性知 t，则 ax()()()Ft，此时()没有零点.综上所述，当 ()ln)(4Fxafx无零点时，正数 的取值范围是 (4)， .请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分（22） （本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系 xOy中，曲线 1C的方程为 21xy，在以原点为极点， x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线 l的极坐标方程为 8cosin.（）将 1C上的所

18、有点的横坐标和纵坐标分别伸长到原来的 2倍和 3倍后得到曲线 2C，求曲线 2的参数方程；（）若 PQ， 分别为曲线 2C与直线 l的两个动点，求 |PQ的最小值以及此时点 P的坐标.解析：（）在曲线 2上任取一点 M，设点 的坐标为 ()Mxy， ，则点 1()23xy， 在曲线 1上，满足221()13xy，所以曲线 2C的直角坐标方程为 2143xy，曲线 2C的参数方程为 2cos3inxy（ 为参数）.（）直线 l的直角坐标方程为 l： 80xy，设点 (cos3in)P， ，点 P到直线 l的距离为|4sin()|2cos3in8655d，当 3，即点 的直角坐标为 (1)2， 时， d取得最小值45.（23）（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲已知函数 ()|3|2|fxx.（）若不等式 |1|fm有解，求实数 m的最小值 M；（）在（）的条件下，若正数 ab， 满足 30，证明： 3ab.解析：（）因为 |3|2|()2)|5xx，所以 |1|5，解得 46m，故 4M.（）证明：由（）得 4，所以13199()()(3)(2)34 4abababb，当且仅当 9a，即 32时等号成立. 所以 .