1、11.5.2 二次函数的应用同步检测一、选择题1如图 21 09 所示的抛物线的解析式是 ( )Ayx 2x2 By=x 2x2Cy x 2x2 Dy=x 2x22.下列函数中，当 x0 时，y 值随 x 值的增大而减小的是（ ）A、y=x B、y=2x1 C、y=D、y=x 23 .如图是二次函数 y=x 2+2x+4 的图象，使 y1 成立的 x 的取值范围是（ ）A、1x3 B、x1 C、x1 D、x1 或 x34.将二次函数 y=x2的图象向右平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位后，所得图象的函数表达式是（ ）A y=（x1） 2+2 B y=（x+1） 2+2 C y=（x1）
2、22 D y=（x+1） 2225如图，二次函 y=ax2+bx+c（a0）图象的一部分，对称轴为直线 x=，且经过点（2，0） ，下列说法：abc0；a+b=0；4a+2b+c0；若（2，y 1） ， （，y 2）是抛物线上的两点，则y1y 2，其中说法正确的是（ ）A B C D 二、填空题6如图 2110 所示的是二次函数 yax 2xa 21 的图象，则 a 的值是 7已知抛物线 y4x 211x3，则它的对称轴是 ，与 x 轴的交点坐标是 ，与 y 轴的交点坐标是 .8抛物线 yx 2bxc 与 x 轴的正半轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于 C 点，且线段 AB 的长为1，ABC
3、 的面积为 l，则 b 的值是 9.某种商品每件进价为 20 元，调查表明：在某段时间内若以每件 x 元（20x30，且 x 为整数）出售，可卖出（30x）件若使利润最大，每件的售价应为 元10.如图，一段抛物线 y=x（x1） （0x1）记为 m1，它与 x 轴交点为 O、A 1，顶点为 P1；将m1绕点 A1旋转 180得 m2，交 x 轴于点 A2，顶点为 P2；将 m2绕点 A2旋转 180得 m3，交 x 轴于点A3，顶点为 P3，如此进行下去，直至得 m10，顶点为 P10，则 P10的 坐标为（ ） 三、解答题11用 12 米长的木料做成如图 2111 所示的矩形窗框(包括中间的
4、十字形)，当长、宽各为多少时，矩形窗框的面积最大?最大面积是多少?312如图 2112 所示，ABC 的面积 为 2400c m2，底边 BC 的长为 80cm，若点 D 在 BC 上，点 E 在AC 上，点 F 在 AB 上，且四边形 BDEF 为平行四边形，设 BDx cm，S BDEF=y cm2A(1)求 y 与 x 之间的函数关系式；(2)求自变量 x 的取值范围；(3)当 x 为何值时，y 最大?最大值是多少?13如图 2 - 113 所示，在 ABCD 中，AB4，BC3，BAD120，E 为 BC 上一动点(不与 BA重合)，作 EFA B 于 F，延长 FE 与 DC 的延长
5、线交于点 G，设 BEx，DEF 的面积为 S(1)求证BEFCEG；(2)用 x 表示 S 的函数关系式，并写出 x 的取值范围 ；(3)当 E 运动到何处时，S 有最大值，最大值为 多少?414如图 2114 所示，在边长为 8 cm 的正方形 ABCD 中，E，F 是对角线 AC 上的两个点，它们2分别从点 A、点 C 同时出发，沿对角线以 1 cms 的相同速度运动，过 E 作 EH 垂直 AC，交 RtADC 的直角边于 H；过 F 作 FG 垂直 AC，交 RtADC 的直角边于 G，连接 HG，EB. 设HE，EF，FG，GH 围成的图形面积为 S1，AE，EB，BA 围成的图形
6、面积为 S2(这里 规定：线段的面积为 0)若 E 到达 C，F 到达 A，则停止运动若 E 的运动时间为 x s，解答下列问题(1)当 0x8 时，直接写出以 E，F，G，H 为顶点的 四边形是什么四边形，并求 x 为何值时，S1=S2；(2)若 y 是 S1与 S2的和，求 y 与 x 之间的函数关系式；(图 2115 为备 用图)求 y 的最大值15. （2014湖北潜江仙桃，第 25 题 12 分）已知抛物线经过 A（2，0） ，B（0，2） ，C（，0）三点，一动点 P 从原点出发以 1 个单位/秒的速度沿 x 轴正方向运动，连接 BP，过点 A 作直线 BP 的垂线交 y 轴于点
7、Q设点 P 的运动时间为 t 秒（1）求抛物线的解析式；（2）当 BQ=AP 时，求 t 的值；（3）随着点 P 的运动，抛物线上是否存在一点 M，使MPQ 为等边三角形？若存在，请直接写 t 的值及相应点 M 的坐标；若不存在，请说明理由56参考答案1D 2.C3.D4.A5.A61提示：抛物线开口向上，故 a0因为图象过原点，所以 a210，所以 a1，所以a1 7x (3，0), ( ，0) (0，3) 81483 9.2510（10.5，0.25）11解：设窗框的长为 x 米，则窗框的宽为 米，矩形窗框的面积 yx( )123x123xx 24x配方得 y(x2) 24a= l0，函数
8、 y(x2) 24 有最大值当 x2时，y 最大值 4 平方米，此时 422( 米)，即当长、宽各为 2 米时，矩形窗框的面积最13大，最大值为 4 平方米 12解：(1)设 A 到 BC 的距离为 d cm，E 到 BC 的距离为 h cm，则 y=S BDEF=xhS AABC BCd，2400= 80d，d=60EDAB，EDCABC， ，即1212 DCdB，h= ，y x x260x(2)自变量 x 的取值范围是806hx3(80)4x3(80)430x80 (3)a= 0， 40，04080，当 x4 0 时，y 最大值 1200 ba13(1)证明：ABCD，BECG又BEF=C
9、EG，BEFCEG (2)解：由(1)得，GBFE9 0，DG 为DEF 中 EF 边上的高在 RtBFE 中，B=60，EFBEsin B x.在 RtCGE 中， CE=3x，CG=(3x)cos 6032= ，DG=DCCG= ，S= EFDG= x2 x，其中 0x3 32x1x18137(3)解：a= 0，对称轴 x ，当 0x3 时，S 随 x 的增大而增大，当 x3，3812即 E 与 C 重合时，S 有最大值，S 最大值 3 14解：(1)以 E，F，G，H 为顶点的四边形是矩形正方形 ABCD 的边 长为8 ，AC=16AEx，过点 B 作 BOAC 于 O，如图 2116
10、所示，则2 BO8， S24xHE=x，EF162x，S 1=x(162x)当 S1S 2，即x(162x)=4x 时，解得 x1=0(舍去)，x 26当 x6 时，S 1S 2 (2)当 0x8 时，如图 2116 所示y=x(162x)4x2x 220x当 8x16 时，如图 2117 所示，AEx，CE=HE16x，EF162(16x)=2x16，S 1(16x)(2x16)，y(16x)(2x16)4x=2x 252x256(2)解法 1：当 0x8 时，y2x 220x2(x 210x25) 50=2(x5) 250，当 x5 时，y 的最大值为 50当8x16 时，y2x 252x
11、256=2(x13) 282，当 x13 时，y 的 最大值为 82综上可得，y 的最大值为 82解法 2：y2x 220x(0x8)，当 x 5 时，y 最大值 20()50 y=2x 252x256(8x16)，当 x= 13 时，y 最大值 =204() 52()82 综上可得，y 的最大值为 82256()15.解：（1）设抛物线的解析式为 y=ax2+bx+c，抛物线经过 A（2，0） ，B（0，2） ，C（，0）三点， ，解得 ，8y=x 2x+2（2）AQPB，BOAP，AOQ=BOP=90，PAQ=PBO，AO=BO=2，AOQBOP，OQ=OP=t如图 1，当 t2 时，点
12、Q 在点 B 下方，此时 BQ=2t，AP=2+tBQ=AP，2t=（2+t） ，t=如图 2，当 t2 时，点 Q 在点 B 上方，此时 BQ=t2，AP=2+tBQ=AP，t2=（2+t） ，t=6综上所述，t=或 6 时，BQ=AP9（3）当 t= 1 时，抛物线上存在点 M（1，1） ；当 t=3+3 时，抛物线上存在点M（3，3） 分析如下：AQBP，QAO+BPO=90，QAO+AQO=90，AQO=BPO在AOQ 和BOP 中，AOQBOP，OP=OQ，OPQ 为等腰直角三角形，MPQ 为等边三角形，则 M 点必在 PQ 的垂直平分线上，直线 y=x 垂直平分 PQ，M 在 y=
13、x 上，设 M（x，y） ， ，解得 或 ，M 点可能为（1，1）或（3，3） 如图 3，当 M 的坐标为（1，1）时，作 MDx 轴于 D，10则有 PD=|1t|，MP 2=1+|1t| 2=t22t+2，PQ 2=2t2，MPQ 为等边三角形，MP=PQ，t 2+2t2=0，t=1+ ，t=1 （负值舍去） 如图 4，当 M 的坐标为（3，3）时，作 MEx 轴于 E，则有 PE=3+t，ME=3，MP 2=32+（3+t） 2=t2+6t+18，PQ 2=2t2，MPQ 为等边三角 形，MP=PQ，t 26t18=0，t=3+3 ，t=33 （负值舍去） 综上所述，当 t=1+ 时，抛物线上存在点 M（1，1），或当 t=3+3 时，抛物线上存在点M（3，3），使得MPQ 为等边三角形
