1、2015 年高考真题理科数学（解 析版） 四川卷 - 1 - / 6 2015 年 普通高 等学 校招生 全国统一 考试 数 学试卷 （ 四川卷 ） 一 选择题： 本 大题 共 10 小题 ， 每小 题 5 分， 共 50 分 。 在 每小 题给 出的四 个选项 中 ， 只 有 一个是 符合 题目 要求 的 。 1 设 集合 | 1 2 0 A x x x ，集 合 |1 3 B x x ，则AB （ ） （A ） | 1 3 xx （B ） | 1 1 xx （C ） |1 2 xx （D ） | 2 3 xx 2 设i 是虚 数单 位， 则复 数 3 2 i i （ ） （A ） i （B
2、 ） 3i （C ）i （D ） 3i 3 执 行如 图所 示的 程序 框 图，输 出S 的值是 （ ） （A ） 3 2 （B ） 3 2（C ） 1 2 （D ） 1 24 在下列函数 中，最小正周期为 且图象关于原点对称的函数 是 （ ） （A ） cos 2 2 yx （B ） sin 2 2 yx （C ） sin 2 cos 2 y x x （D ） sin cos y x x 5 过双 曲线 2 2 1 3 y x 的右 焦点 且与x 轴垂直 的直 线， 交该 双 曲线的 两条 渐近 线于 , AB 两点 ，则| AB （ ） （A ） 4 3 3 （B ）23 （C ）6 （D
3、 ）43 6 用 数字 0,1, 2,3, 4,5 组成 没有 重复 数 字的五 位数 ， 其 中比 40000 大的 偶数 共有 （ ） （A ）144 个 （B ）120 个 （C ）96 个 （D ）72 个 7 设四 边形ABCD 为平 行四 边形 ，| | 6 AB ，| | 4 AD 。 若点 , MN 满足 3 BM MC ， 2 DN NC ，则AM NM （ ） （A ）20 （B ）15 （C ）9 （D ）6 8 设 , ab 都是 不等 于 1 的正 数 ， 则“3 3 3 ab ”是 “log 3 log 3 ab ” 的（ ） （A ）充 要条 件 （B ）充 分不
4、 必要 条 件 （C ）必 要不 充分 条件 （D ）既 不充分 也 不必要 条件 9 如 果 函 数 2 1 2 8 1 0 0 2 f x m x n x m n ， 在 区 间 1 2, 2 上 单 调 递 减， 则mn 的最 大值 为 （ ） （A ）16 （B ）18 （C ）25 （D ）81 2 10 设直线l 与抛物线 2 4 yx 相交于 , AB 两点，与圆 2 22 50 x y r r 相切于 点M ，且M 为线 段AB 的中点 。 若 这样的 直线l 恰有 4 条 ，则r 的取值 范围 是 （ ） （A ） 1,3 （B ） 1, 4 （C ） 2,3 （D ） 2,
5、 4 二 填空题：本大题 共 5 小题 ，每 小题 5 分 ，共 25 分。 11 在 5 21 x 的展开 式中 ， 含 2 x 的项 的系 数是_ （用 数字 作答） 。 12 00 sin15 sin 75 _ 。 13 某 食品 的保 鲜时 间y （单 位： 小时 ） 与 储存 温 度x （单 位： 0 C ） 满 足函 数关 系 b kx e y （ 718 . 2 e 为自 然对 数的 底数 ， , kb 为常数） 。 若 该食 品在 0 0 C 的保 鲜 时间设 计 192 小 时， 在 0 22 C 的保 鲜时 间 是 48 小时 ， 则该食 品在 0 33 C 的保 鲜时 间
6、是_小时 。 14 如 图，四 边形ABCD 和ADPQ 均为正 方形， 它们 所在的 平面互 相垂直 ，动 点M 在 结束2015 年高考真题理科数学（解 析版） 四川卷 - 2 - / 6 线段PQ 上， , EF 分别 为 , AB BC 的中点 。 设 异面直 线EM 与AF 所成的 角为 ，则 cos 的最 大值 为_ 。 15 已知函数 2 x fx ， 2 g x x ax a R 。 对于不 相等的 实数 2 1 ,x x ，设 12 12 f x f x m xx ， 12 12 g x g x n xx 。 现有如 下命 题： 对 于任 意不相 等的 实数 2 1 ,x x
7、 ，都 有 0 m ； 对 于 任 意 的a 及任意不相等的实数 2 1 ,x x ， 都 有 0 n ； 对于 任意的a ， 存 在不 相等 的实 数 2 1 ,x x ， 使 得 n m ； 对 于任 意的a ， 存在不 相等 的实 数 2 1 ,x x ， 使得 n m 。 其中 的真 命题 有_ 。 （ 写出 所有 真 命题的 序号 ） 三 解答题：本大题 共 6 小题 ，共 75 分。 解答 应 写出文 字说 明， 证明 过程 或演算 步骤 。 16 （本 小题 满分 12 分） 设数 列 n a 的前n 项和 1 2 nn S a a ，且 1 2 3 , 1, a a a 成等差
8、 数 列 。 求 数列 n a 的通 项公 式 ； 记数 列 1 n a 的前n 项和 n T ， 求 得 1 | 1| 1000 n T 成立 的n 的最小 值 。 17 （ 本小 题满 分 12 分）某市 , AB 两所中 学的 学生 组队参 加辩 论赛 ，A 中学推 荐 3 名男 生，2 名 女生 ，B 中学 推荐 了 3 名 男生 ，4 名 女生 ， 两 校推荐 的学 生一 起参 加集 训， 由于 集训 后队员 的水 平相 当， 从参 加集训 的男 生中 随机 抽 取 3 人， 女生 中随 机抽 取 3 人组成 代表 队 。 求A 中学至 少 有 1 名 学生 入选代 表队 的概 率
9、； 某场 比赛 前， 从代 表队 的 6 名 队员 中随 机抽 取 4 人参赛 ， 设X 表示参 赛的 男 生人数 ， 求X 的分布 列和数 学期 望 。 18 （ 本小 题满分 12 分 ） 一个正 方体 的平 面 展开图及该正方体的直 观图的示意图如图所示 ， 在正方 体中 ， 设BC 的中 点为M ，GH 的中 点为 N 。 请将字母 , F G H 标 记在正方体相应的 顶 点处（不需说明理由） ； 证明：直线 / MN 平 面BDH ； 求二 面角A EG M 的余 弦值 。 19 （本 小题 满分 12 分 ） 如图 ， , , , A B C D 为平面 四边 形ABCD 的四
10、个内 角 。 证 明： 1 cos tan 2 sin AA A ；若 AC ， 6 AB ， 3 BC ， 4 CD ， 5 AD ，求 tan tan tan tan 2 2 2 2 A B C D 的值 。 20 （ 本小 题满 分 13 分）已 知椭 圆E ： 22 22 1 xy ab （ 0 ab ）的 离心 率是 22 ，过 点 0,1 P ）的动直 线l 与 椭圆相 交于 , AB 两点 ， 当 直线l 平行与x 轴时 ， 直 线l 被椭圆E 截得 的 线段 长为22 。 求椭圆E 的方程； 在平 面直 角 坐标 系xOy 中， 是 否存 在与 点P 不同 的定点Q ， 使得
11、| | | | | | | | QA PA QB PB 恒成立 ？若 存在 ，求 出点Q 的坐标 ；若 不存 在， 请说 明理由 。 21 （ 本小 题满 分 14 分） 已知函 数 22 2 ln 2 2 0 f x x a x x ax a a a 。 M E D C B A H G F E D C B A D C B A2015 年高考真题理科数学（解 析版） 四川卷 - 3 - / 6 设 gx 是函数 fx 的导函数，讨论 gx 的单调性 ； 证明：存在 0,1 a ， 使 得 0 fx 在区间 1, 内恒 成立 ，且 0 fx 在 1, 内有唯一 解 。 2015 年 普通高 校招
12、 生全国 统考 数学 试卷 四 川卷 解答 一ACDAD BCBBD 二11 40 ；12 62 ；1324 ；1425 ；15 16 解： 因 1 2 nn S a a ， 故 11 2 2 2 n n n n n a S S a a n ，即 1 22 nn a a n 。 因此 21 2 aa ， 31 4 aa 。又 1 2 3 , 1, a a a 成等 差数 列 ， 故 1 3 2 21 a a a ， 即 1 1 1 4 2 2 1 a a a ， 解得 1 2 a 。 所以 n a 是首项 为 2 ， 公比 为 2 的 等比 数列，知 2 n n a ； 由 得 11 2 n
13、n a ， 故 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 n n nn T 。由 1 | 1| 1000 n T ，得 11 2 1000 n ， 即 2 1000 n ， 解得 10 n 。 因此 使成 立的n 的 最小 值 为 10。 17 解： 参加 集训 的男 女生各 有 6 名， 参赛 学生 全从B 中抽取 （等 价于A 中 没 有学生 入选代 表队 ）的 概率 为 33 34 33 66 1 100 CC CC 。 故A 中学 至少 1 名 学生 入选 的概率 为 1 99 1 100 100 ； 由题X 的可能 取 值为1,2,3 ，且 13 33
14、4 5 1 1 5 CC PX C ， 22 33 4 5 3 2 5 CC PX C ， 31 33 4 5 1 3 5 CC PX C 。因 此， 可得X 的 分布列 如右 表所 示， 且X 的期望 为 1 3 1 1 2 3 2 5 5 5 EX 。 18 解： 点 , F G H 的位置 如图 所示； 连结BD ，设O 为BD 的中点， 因 , MN 分别为 , BC GH 的中 点， 故 / OM CD ，且 1 2 OM CD ， / NH CD ， 且 1 2 NH CD 。 所以 / OM NH ，OM NH 。因 此MNHO 是平行 四边 形 ，从 而 / MN OH 。 又
15、MN 平面BDH ，OH 平面BDH ， 所 以 / MN 平面BDH ； 连接AC ，过M 作MP AC 于P ， 过P 作PK EG 于 K ，连接KM 。在 正方 体ABCD EFGH 中， / AC EG ， 故 MP EG ，因此EG 平面PKM ，从而KM EG ，所以 X 1 2 3 P 1 53 51 5M E D C B A H G F O N M E D C B A H G F2015 年高考真题理科数学（解 析版） 四川卷 - 4 - / 6 PKM 是二面 角A EG M 的平面 角。设 2 AD ，则 1 CM ， 2 PK 。在 Rt CMP 中， 0 sin 45
16、 2 2 PM CM 。在Rt KMP 中， 22 3 2 2 KM PK PM 。所以 cos 2 2 3 PKM PK KM ，即二 面角A EG M 的余 弦值为 2 2 3 。 19 解： 2 sin 2sin 1 cos 22 tan 2 sin cos 2sin cos 2 2 2 AA AA A A A A ； 由题知CA ，DB ，结合 得 1 cos tan tan tan tan 2 2 2 2 sin A B C D A A 1 cos 1 cos 1 cos 2 2 sin sin sin sin sin AB B B A B A B 。 连BD ，在 ABD 和 AB
17、D 中 ，有 222 2 cos BD AB AD AB AD A ， 222 2 cos BD AB AD AB AD A 。故 2 11 2 ln 2 ln 2 a ，解得 2 2 a 。故 21 1 d a a ，从 而 n an ， 2 n n b 。故 2 2 2 2 3 cos 27 AB AD BC CD A AB AD BC CD ， 于是 2 2 10 sin 1 cos 7 AA 。连 AC ， 同理 可 得 2 2 2 2 1 cos 2 19 AB BC AD CD B AB BC AD CD ，于是 2 6 10 sin 1 cos 19 BB 。所以 2 2 4 1
18、0 tan tan tan tan 2 2 2 2 sin sin 3 A B C D AB 。 20 解： 由题 2 2 2 22 21 1 22 a b c ab ca ，解 得 2 4 a ， 2 2 b 。故 22 :1 42 xy E ； 当直 线l 与x 轴平 行 时 ，设l 与椭圆 交于 , CD 两点 ，如 果存 在定点Q 满足 条件 ，则 有 | | | | 1 | | | | QC PC QD PD ， 即| | | | QC QD 。 所以Q 点在y 轴上， 可 设 0 0, Qy 。 当 直线l 与x 轴垂 直时， 设l 与椭圆 交于 0, 2 , 0, 2 MN ，由
19、 | | | | | | | | QM PM QN PN 得 0 0 | 2 | 21 | 2 | 2 1 y y ， 解得 0 1 y 或 0 2 y 。 所以，若 存在 不 同于点P 的定点Q 满足条件 ， 则Q 点的 坐标 只可 能是 0, 2 。下面 证明 ：对 任意 的直 线l ，均有 | | | | | | | | QA PA QB PB 。当直线l 的斜率 不存在 时， 由上 可2015 年高考真题理科数学（解 析版） 四川卷 - 5 - / 6 知结论 成立 ； 当 直线l 的 斜 率存在 时， 设l ： 1 y kx ，且 1 1 2 2 , , , A x y B x y
20、，联 立 22 1 1 42 y kx xy 得 22 2 1 4 2 0 k y kx ，显 然 0 ，故 12 2 4 21 k xx k ， 12 2 2 21 xx k 。因此 12 1 2 1 2 11 2 xx k x x xx 。 易 知点B 关于y 轴的 对称 点 的 坐标为 22 , B x y ，且 1 11 2 1 QA y kk xx ， 2 2 2 1 2 11 QB QA y k k k k x x x ，即 , Q A B 三点共 线。 所以 1 2 | | | | | | | | | | | | | | | x QA QA PA QB QB x PB ，从而 存
21、在 定点 0, 2 Q 满足 题意 。 21 解： 由题 fx 的定 义 域为 0, ， 2 2 2ln 2 1 a g x f x x a x x ， 故 2 22 2 22 2 x x a a gx x x x 。 当 1 0 4 a 时， 令 0 gx ， 可得 1 1 4 2 a x ， 且 1 1 4 0 2 a x 或 1 1 4 2 a x 时 0 gx ， 1 1 4 1 1 4 22 aa x 时 0 gx 。当 1 4 a 时， 0 gx 。 因此，当 1 0 4 a 时， gx 在 1 1 4 0, 2 a 和 1 1 4 , 2 a 单调递 增 ， 在 1 1 4 1
22、1 4 , 22 aa 单调递 减； 当 1 4 a 时， gx 在 0, 单调递 增 ； 由 0 fx 可得 1 1 ln 1 xx a x ，令 2 1 1 ln 2 ln 1 xx x x x x x 2 1 1 1 1 ln 1 ln 1 ln 22 1 1 1 x x x x x x x x x x ，则 2 11 2 2 20 11 ee e e ee ， 1 1 0 ，故存在 0 1, xe ，使得 0 0 x 。令 00 0 1 0 1 ln 1 xx a x ， 1 ln 1 u x x x x ， 由 1 10 u x x 知 ， 函 数 ux 在区间 1, 单调 递增 。
23、 所2015 年高考真题理科数学（解 析版） 四川卷 - 6 - / 6 以 0 0 1 1 1 0 1 2 01 1 1 1 1 1 u u x u e e a x e e ， 即 0 0,1 a 。当 0 aa 时， 有 0 0 fx ， 00 0 f x x 。由 知， 函数 fx 在 1, 单调递增 ，故 当 0 1, xx 时，有 0 0 fx ，从而 0 0 f x f x ；当 0 , xx 时， 有 0 0 fx ，从而 0 0 f x f x 。所以 ，当 1, x 时， 0 fx 。综 上 所 述，存 在 0,1 a ，使得 0 fx 在区间 1, 内恒 成立 ，且 0 fx 在 1, 内有唯一 解 。
