1、2016-2017 学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷高三年级数学学科201612一填空题（本大题满分 54 分）本大题共有 12 题，其中第 1 题至第 6 题每小题 4 分，第 7 题至第 12 题每小题 5 分，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得 4 分（或 5 分），否则一律得 0 分1. 2lim1n_【解答】 5lin2nli10=22. 已知抛物线 C的顶点在平面直角坐标系原点，焦点在 x轴上，若 C经过点 (1,3)M，则其焦点到准线的距离为_【解答】由题意可知：由焦点在 x 轴上，若 C 经过点 M（1，3） ，则图象经过第一象限，设抛物线的方程：y 2
2、=2px，将 M（1，3）代入 9=2p，解得：p=92，抛物线的标准方程为：y 2=9x，由焦点到准线的距离 d=p=p，3. 若线性方程组的增广矩阵为 ba102，解为 21xy，则 ba_【解答】解：由题意知 xy是方程组 的解，即 ，则 a+b=1+1=2，故答案为：24. 若复数 z满足： 3izi（ 是虚数单位） ，则 z=_【解答】解：由 iz= +i，得 z= =1 i，故|z|= =2，故答案为：25. 在 62()x的二项展开式中第四项的系数是 _ （结果用数值表示）【解答】解：在（x+ ） 6 的二项展开式中第四项：=8C x3=160x3在（x+ ） 6 的二项展开式中
3、第四项的系数是 160故答案为：1606. 在长方体 1ABCD中，若 1,2ABC，则异面直线 1BD与 C所成角的大小为_【解答】解：如图，连接 D1B1；CC 1BB 1；BD 1 与 CC1 所成角等于 BD1 与 BB1 所成角；B 1BD1 为异面直线 BD1 与 CC1 所成角；在 RtBB 1D1 中，cosB 1BD1= ；异面直线 BD1 与 CC1 所成角的大小为 故答案为： 7. 若函数 2,0()xfm的值域为 ,1，则实数 m的取值范围是_【解答】解：x0 时：f（x） =2x1x0 时，f（x）= x2+m，函数的对称轴 x=0，f（x）在（ ，0）递增，f（x）
4、= x2+mm，函数 f（x）= 的值域为（ ，1，故 m1，故答案为：（，18. 如图：在 ABC中，若 13,cos,2ABCDB，则 AC=_【解答】解：根据条件：= = = ； = = 9. 定义在 R上的偶函数 ()yfx，当 0时， 2()lg3)fxx，则 ()fx在 R上的零点个数为_个【解答】解：当 x0 时，f（ x）=lg（x 23x+3） ，函数的零点由：lg（x 23x+3）=0，即 x23x+3=1，解得 x=1 或 x=2因为函数是定义在 R 上的偶函数 y=f（x） ，所以函数的零点个数为： 4 个故答案为：410. 将 6辆不同的小汽车和 2辆不同的卡车驶入如
5、图所示的 10个车位中的某 8个内，其中 2辆卡车必须停在 A与 B的位置，那么不同的停车位置安排共有_种？（结果用数值表示）【解答】解：由题意，不同的停车位置安排共有 A22A86=40320 种故答案为 4032011. 已 知 数 列 na是 首 项 为 1， 公 差 为 m的 等 差 数 列 ， 前 n项 和 为 nS 设 *()2nbN，若数列nb是递减数列，则实数 的取值范围是_【解答】解：S n=n+ 2m=mn2+（1 m）nb n= = ，数列b n是递减数列，b n+1b n， ，化为：mn，对于nN *，即可得出因此 m1则实数 m 的取值范围是（，1） 故答案为：（，1
6、） 12. 若使集合 2|(6)(40,AxkxZ中的元素个数最少，则实数 k的取值范围是_【解答】解：集合 A=x|（kxk 26） （x4）0，x Z，方程（kxk 26） （x4）=0，解得： ，x 2=4，（kxk 26） （ x4）0，xZ当 k=0 时，A=（，4） ；当 k0 时，4k+ ，A=（，4）（k+ ，+） ；当 k0 时，k+ 4，A=（k+ ，4） 当 k0 时，集合 A 的元素的个数无限；当 k0 时，k+ 4，A=（k+ ，4） 集合 A 的元素的个数有限，此时集合 A 的元素个数最少则有： ，解得：k0故答案为：（，0） 二选择题（本大题满分 20 分）本大题
7、共有 4 题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 分，否则一律得 0 分13. “ ()4xkZ”是“ tan1x”成立的（ ） （A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件（C）充要条件 （D）既非充分也非必要条件【解答】解：tanx=1，x=k+ （kZ）x=k+ （kZ）则 tanx=1，根据充分必要条件定义可判断：“x=k+ （k Z） “是“tanx=1”成立的充分必要条件故选：C14. 若 12i（ 是虚数单位）是关于 x的实系数方程 20xbc的一个复数根，则（ ）（A） ,3bc （B） 2,1bc （C） ,1 （D） 2,
8、3c【解答】解：1 i 是关于 x 的实系数方程 x2+bx+c=0 的一个复数根，1+ i 是关于 x 的实系数方程 x2+bx+c=0 的一个复数根， ，解得 b=2，c=3故选：D15. 已知函数 xf为 R上的单调函数， xf1是它的反函数，点 3,1A和点 ,B均在函 数 xf的图像上，则不等式 21xf的解集为（ ）（A） 1, （B） ,3 （C） 20,log3 （D） 2,log【解答】解：点 A（1，3）和点 B（1，1）在图象上，f（ 1）=3， f（1）=1 ，又 f1（x）是 f（x）的反函数，f 1（3）=1，f 1（1）=1，由|f 1（2 x）|1，得1f 1（
9、2 x）1，即 f1（3）f 1（2 x）f 1（1） ，函数 f（x）为 R 的减函数，f 1（x）是定义域上的减函数，则 12 x3，解得：0xlog 23不等式|f 1（2 x）|1 的解集为（0，log 23） 故选：C16. 如图，两个椭圆2159xy，2159x内部重叠区域的边界记为曲线 C， P是曲线 上的任意一点，给出下列三个判断： P到 1(4,0)F、 2(,)、 1(0,4)E、 2(,)四点的距离之和为定值； 曲线 C关于直线 yx、 均对称； 曲线 所围区域面积必小于 36.上述判断中正确命题的个数为（ ）（A） 0个 （B） 1个 （C） 2个 （D ） 3个【解答
10、】解：对于，若点 P 在椭圆 + =1 上，P 到F1（4，0） 、F 2（4，0）两点的距离之和为定值、到 E1（ 0，4） 、E2（0，4）两点的距离之和不为定值，故错；对于，两个椭圆 + =1， + =1 关于直线 y=x、y=x 均对称，曲线 C 关于直线 y=x、y=x 均对称，故正确；对于，曲线 C 所围区域在边长为 6 的正方形内部，所以面积必小于 36，故正确故选：C三解答题（本大题满分 76 分）本大题共有 5 题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17. （ 本 题 满 分 14 分 ） 本 题 共 有 2 个 小 题 ， 第 1 小 题 满 分 8
11、 分 ， 第 2 小 题 满 分 6 分 如图，已知 PA平面 BC， A， 2BCP，30CB， D是 的中点（1）求 与平面 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（2）求 绕直线 旋转一周所构成的旋转体的体积（结果保留 ）18. （ 本 题 满 分 14 分 ） 本 题 共 有 2 个 小 题 ， 第 1 小 题 满 分 6 分 ， 第 2 小 题 满 分 8 分 已知函数 3cosin()xfx（1）当 0,2时，求 ()f的值域；（2）已知 ABC的内角 ,的对边分别为 ,abc，若 ()3,452Afabc，求 的面积19. （ 本 题 满 分 14 分 ） 本 题 共 有 2
12、个 小 题 ， 第 1 小 题 满 分 6 分 ， 第 2 小 题 满 分 8 分 某 创 业 团 队 拟 生 产 A、 B 两 种 产 品 ， 根 据 市 场 预 测 ， A 产 品 的 利 润 与 投 资 额 成 正 比 （ 如 图 1） ， B 产 品 的利 润 与 投 资 额 的 算 术 平 方 根 成 正 比 （ 如 图 2） （ 注 ： 利 润 与 投 资 额 的 单 位 均 为 万 元 ）（1）分别将 A、B 两种产品的利润 ()fx、 g表示为投资额 x的函数；（2）该团队已筹集到 10 万元资金，并打算全部投入 A、B 两种产品的生产，问：当 B 产品的投资额为多少万元时，生
13、 产 A、 B 两 种 产 品 能获得最大利润，最大利润为多少？20. （本题满分 16 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 6 分如图：双曲线 ：213xy的左、右焦点分别为 12,F，过 作直线 l交 y轴于点 Q（1）当直线 l平行于 的一条渐近线时，求点 1F到直线 l的距离；（2）当直线 的斜率为 1时，在 的右支上是否存在点 P，满足 10FQ？若存在，求出 P点的坐标；若不存在，说明理由；（3）若直线 l与 交于不同两点 AB、，且 上存在一点 M，满足 4OABM（其中 O为坐标原点），求直线 l的方程21. （本题满
14、分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 8 分正数数列 na、 b满足： 1ab，且对一切 2,*kN， ka是 1与 kb的等差中项， kb是1ka与 b的等比中项（1）若 2,1，求 1,的值；（2）求证： n是等差数列的充要条件是 na为常数数列；（3）记 |cab，当 *2()N时，指出 2nc 与 1c的大小关系并说明理由参考答案一、填空题：(共 54 分，第 1 题至第 6 题每小题 4 分；第 7 题至第 12 题每小题 5 分)1. 2 2. 9 3. 2 4. 2 5. 160 6. 4 7. 01m 8. 3
15、 9. 10. 32 11. 12. , 二、选择题：(共 20 分，每小题 5 分)13. C 14. D 15. C 16. C 三、解答题17、解：（1） PA平面 B， AP，又 AB，平面 C，所以 D就是 与平面 所成的角.4 分在 Rt中， 23,D，6 分所以 4arctnPA，即 D与平面 C所成的角的大小为 43arctn.8 分（2） B绕直线 旋转一周所构成的旋转体，是以 AB为底面半径、 AP为高的圆锥中挖去一个以 为底面半径、 P为高的小圆锥. 10 分所以体积 23)(312)(31V. 14 分.18、解：（1）由条件得： 21cos()cosincosin2x
16、fxxx ，即 313()cos2ifx 2 分sin(2)，3 分因为 0,x，所以 sin(2),12x因此 3()i)f的值域是 30,6 分（2）由 ()Af，化简得 sin()2A，因为 0,，所以 4,3，所以 3，即 3A.8 分由余弦定理得： 216bc，所以 2()16bc，又 5c，解得 ，12 分所以 13sin24ABCS.14 分19、解：（1） 1()0)4fx.3 分，5(g.6 分（2）设 B 产品的投资额为 x万元，则 A 产品的投资额为（ 10x）万元，创业团队获得的利润为 y万元，则 51()10)(0)4ygxf x.10 分令 t， 22tt，即 21
17、56()(01)4ytt，当 52，即 6.5x时， y取得最大值 4.62513 分答：当 B 产品的投资额为 .万元时，创业团队获得的最大利润为 .625万元.14 分20、解：（1）易得 1(2,0)F， 2(,)， 的渐近线方程为 3yx，由对称性，不妨设 3:() lyx,即 30y，-2 分所以， 1(2,0)F到 l的距离 |2|1d.-4 分（2）当直线 l的斜率为 时， l的方程为 2yx，-5 分因此， (0,2)Q， -6 分又 1F，故 1(,2)，设 右支上的点 P的坐标为 ,(0)xy，则 1(2,)FPxy，由 10Q，得 ()， -8 分又23xy，联立消去 y得2150x， 由根与系数的关系知，此方程无正根，因此，在双曲线 的右支上不存在点 P，满足 1FQ. -10 分（3）设 12(,)(,) AxyB，则 122(,)4xyM， -11 分由 M点在曲线上，故2121()3x(*) 设 :(2)lyk
