1、 灵感与谬误-杨飞我国荣获戴维逊奖的青年数学家侯振挺有这样一段生动的描述：“我一头扎进了对巴尔姆断言的证明。一次又一次似乎到了解决的边缘，但是一次又一次都没有达到最终的目的，我早起晚睡，夜以继日，利用了全部可以利用的时间，吃饭、睡觉、走路头脑中也总是萦绕着巴尔姆断言 。难啊，确实是太难！ 时间一天一天地过去，一个证明的轮廓逐渐在头脑中形成了，但是一些问题还证明不了，又象一座大山挡住了去路。我把已经得到的进展整理成一篇文章。当时我正在外地实习，就托一位同学带回学校去请教老师。我送那位同学上火车站。就在火车将要开动之前，在我那始终考虑着这个证明的头脑里闪过了一星火花，似乎在那挡路的大山里发现了一条
2、幽径。于是，我把那篇文章留下，立刻在车站旁的石条上坐下，拿出笔推导起来，果然一星火花照亮了前进的道路，曲折的幽径越走越宽。十几分钟后，这最后一座大山终于抛在我的身后， 巴尔姆断言完全得到了证明。啊，好容易，只十几分钟就完成了。 ”灵感，如黑夜中的灯塔，如饥饿中的馅饼，让人豁然开朗，使人欣喜激动。我们在问题研究和问题解决的过程中，常常会遇到各种困难和障碍，有些人因此而终止，有些人却执着到尽头，能否克服困难冲出障碍，仅靠丰富的认知经验和一点小聪明是不够的，还与我们对问题迷恋的程度有关。侯振挺老师能产生灵感并取得成功，正是他痴恋数学和顽强拼搏的结果。笔者喜爱数学，常以业余时间钻研一些初等数学问题，其
3、间也历经了不少困难和快乐，虽然没有侯老师那样的动人经历，但对灵感的产生也有一些真切的体验。1996 年，我在对一种火材棍游戏的研究中（详见第 19 课） ，很快解决了定理 1、定理 2、定理3，但定理 4 却如同一座大山，挡住了我前进的脚步，用火材棍试验过，在草稿上演算过，反复探究了 3 天，没有丝毫进展。在第 4 天的睡梦中，似乎有人向我提示：“从反面入手” ，我被这一妙想惊醒，我想那就是灵感，第二天沿着这一思路探索，果真成功了。1998 年，我在研究一个不等式问题：如 Rbai,， Pan21（常数） ，)(Nk，求 knkabab21的极值问题（详见第 23 课）时。首先从特殊情况入手，
4、希望能从特例中找到一点规律，在探讨 121， Rba21,，求 21ab的极值问题时，由于寻旧思想的指导，我令 ) ,0( ,sin ,cos21 a，实施三角变换，可惜没有成功。与同事交流，大都认为应该用三角变换法，但是我们都失败了。后来我想：即使用三角变换法获得成功，也只能解决特例，就整个问题的解决作用不大，对于 n 个变量，还是利用均值不等式较好。苦苦思考几天，仍然没有进展，我几乎失去信心。突然，在一天睡觉时，不小心头撞在床缘上，此时大脑中突然产生一丝灵感我找到了取极值时 21,a的取值。陕西安振平老师提出一个猜想，四川师范学院杨定华给予否定并加以改进，提出两个新的猜想：设 ,4 ,21
5、Nni 1)( 2121 aaaf nn 1213232 aaann 13121 nnnaaa ，证明或否定， （1）当 i时， )(f；（2）当 0i时， .)(f对于猜想（2） ，很快就发现不成立，反例为：当 4时，令 21，) 12,0(43ma，易知 165)(maf. 但对于猜想（1） ，开始我以为不正确，取了几组数据利用计算器验算，没有找出反例。于是我想：猜想（1）可能是正确的。断断续续研究了几个小时，没有找到证明方法。有一天，因放学较晚急于回家，在跑步的过程中我突然产生一种想法构造函数，后来沿着这一思路探讨，果真解决了这一个问题。 （此题证明省略）从上述案例可以看出：灵感就是问题
6、与大脑多次碰撞的产物。当一个人苦苦思考一个问题，如果执着到废寝忘食的程度，常常会奇迹般的产生灵感，可能在休息时，也可能在睡梦中。虽然研究者自觉已远离问题，但是，大脑深处的潜意识仍持续地为问题的解决而工作。常常因外界的偶然刺激促使断断续续的研究信息和思路得到有效的组织，迸发出思维的火花。所以，天才出于勤奋，灵感在于拼搏，只有努力学习、执着探索的人才可能在研究中有所收获。我们也发现：一个人在执着研究问题时，因外界的偶然刺激而产生的奇思妙想，常以为找到了解决问题的钥匙。让人遗憾的是它有可能不是灵感，而是错觉、谬误。中学数学教学 （皖）有奖解题擂台（33）：已知 1 ,0cb,a. 用初等方法证明或否
7、定：45a)c1()b()a1( 222 .我苦苦思索也没有找到问题解决的有效方案，一次在朋友家中听音乐，突然产生一丝思绪先用排序定理放缩，再用二次函数分类讨论。我想这肯定是灵感，立即回家沿此思路研究，很快找到了问题解决的方案。但第二天就发现了论证过程中存在疏漏，我多么想弥补这一缺陷，又苦战数日，这一小小缺陷，挫伤了我取胜的信心。直至 2002 年我改用微分方法才彻底解决，可惜它不是初等方法。 （此题的解答省略）一次次经历，一次次快乐，使我明白：当一个人执着地研究一个问题时，肯定会产生许多想法，这些想法通常是突发的、奇异的，让人兴奋不已。其间既有灵感也不乏谬误。面对这些灵感和谬误，还需要我们努力探究和检验，才可能冲出谬误的雾区，奔向成功的大道。
