1、咨询电话：400-886-0085- 1 -新阳光 GCT 辅导，数学常用公式汇总更多资料：新阳光教育 http:/一、初等数学部分 .- 2 -二、 微积分部分 .- 11 -三、线性代数部分 .- 16 -算术应用题部分植树问题1 非封闭线路上的植树问题主要可分为以下三种情形:如果在非封闭线路的两端都要植树,那么:株数段数1全长株距1全长株距(株数1)株距全长(株数1)如果在非封闭线路的一端要植树,另一端不要植树,那么:株数段数全长株距全长株距株数株距全长株数如果在非封闭线路的两端都不要植树,那么:株数段数1全长株距1全长株距(株数1)株距全长(株数1)2 封闭线路上的植树问题的数量关系如
2、下株数段数全长株距全长株距株数株距全长株数盈亏问题(盈亏) 两次分配量之差参加分配的份数(大盈小盈) 两次分配量之差参加分配的份数(大亏小亏) 两次分配量之差参加分配的份数相遇问题相遇路程速度和相遇时间相遇时间相遇路程速度和速度和相遇路程相遇时间追及问题追及距离速度差追及时间追及时间追及距离速度差速度差追及距离追及时间流水问题顺流速度静水速度水流速度逆流速度静水速度水流速度静水速度(顺流速度逆流速度 )2水流速度(顺流速度逆流速度 )2咨询电话：400-886-0085- 2 -浓度问题溶质的重量溶剂的重量溶液的重量溶质的重量溶液的重量100%浓度溶液的重量浓度溶质的重量溶质的重量浓度溶液的重
3、量利润与折扣问题利润售出价成本利润率利润成本100%(售出价成本1)100%涨跌金额本金涨跌百分比折扣实际售价原售价100%( 折扣1)利息本金利率 时间税后利息本金利率 时间(120%)一、初等数学部分1.德摩根公式 .();()UUUUCABCABC2.ABUCABR3. ()cardcardcard().()()BAcardB4.二次函数的解析式的三种形式 一般式 ; 顶点式 20fxbc;零点式 .2()0fxahka1()5.设 那么121,xb上是增函数；2()()ff12()0(),fxffxab在上是减函数.1210x12,在设函数 在某个区间内可导，如果 ，则 为增函数；如果
4、)(xfy)(xf)(xf，则 为减函数.0f6.函数 的图象的对称性:函数 的图象关于直线 对称f yfa.函数 的图象关于直线()()ax(2)(fax()fx对称 .2bfmbfabm7.两个函数图象的对称性:函数 与函数 的图象关于直线()y()yf(即 轴 )对称.函数 与函数 的图象关于直线0xyfxx对称.函数 和 的图象关于直线 y=x 对称.2ab)()(1咨询电话：400-886-0085- 3 -8.分数指数幂 （ ，且 ）.1mna0,anN1（ ，且 ）.1mna0,19. .log(,0)baNa10.对数的换底公式 .推论 .loglmNloglmnaab11.
5、( 数列 的前 n 项的和为 ).1,2nnsn 12nns12.等差数列的通项公式 ；*11()()adaN其前 n 项和公式 .(nns221d13.等比数列的通项公式 ；1*()nnq其前 n 项的和公式 或 .1(),nasq1,nnaqs14.等比差数列 : 的通项公式为n11,(0)ndb；(),nbdaqq其前 n 项和公式为 .(1),1nnbdsqq15.分期付款(按揭贷款) 每次还款 元 (贷款 元, 次还清,每期利率为()nabxan).b16.同角三角函数的基本关系式 ， = ， .22sico1tcosit1cot17.正弦、余弦的诱导公式 21()sin,sin(2
6、co21()s,s(innco18.和角与差角公式 为偶数 为奇数 为偶数 为奇数咨询电话：400-886-0085- 4 -;sin()sicosin;co.tanta()1t(平方正弦公式);22sinsi()siin.co()co= (辅助角 所在象限由点 的象限决定,iab2i)ab()ab).tn19.二倍角公式 .sinicos. .2222cos 1in2tanta120.三角函数的周期公式 函数 ，xR 及函数 ，s()yxcos()yxxR(A, 为常数，且 A0，0)的周期 ；函数 ，Tta(A, 为常数，且 A0，0)的周期 .,2xkZ21.正弦定理 .2sinisin
7、abcRBC22.余弦定理 ; ; 22o2cosbaB.2ccb23.面积定理（1） （ 分别表示 a、b、c 边上的11abcShhabch、 、高）.（2） .sinsisin2SabCcAB(3) .21(|)()OABBO24.三角形内角和定理 在ABC 中，有.()CA2()CAB25.平面两点间的距离公式= (A ，B ).,ABd|B2211()()xy1(,)xy2(,)26.向量的平行与垂直 设 a= ,b= ，且 b 0，则,a b b=a .:1210ya b(a 0) ab=0 .2xy27.线段的定比分公式 设 ， ， 是线段 的分点, 是1(,)P2(,)xy(,
8、)Px12P实数，且 ，则12P咨询电话：400-886-0085- 5 -（ ）.12xy12OP12()tOPt1t28.三角形的重心坐标公式 ABC 三个顶点的坐标分别为 、 、1A(x,y)2B,则ABC 的重心的坐标是 .3C(x)123123(,xyG29.点的平移公式 (图形 F 上的任意一 xhhykyk OP点 P(x，y)在平移后图形 上的对应点为 ，且 的坐标为 ).F(,)xy (,)hk30.常用不等式：（1） (当且仅当 ab 时取“=”号),abR2ba（2） (当且仅当 ab 时取“=”号)（3） 330,).cc（4）柯西不等式 222()(,.abdcdR（
9、5） 31.极值定理 已知 都是正数，则有yx,（1）如果积 是定值 ，那么当 时和 有最小值 ；pyxp2（2）如果和 是定值 ，那么当 时积 有最大值 .sx41s32.一元二次不等式 ，如果 与20()axbc或 20,0)abaca同号，则其解集在两根之外；如果 与 异号，则其解集2axbc x在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.；121212()()x., 0x或33.含有绝对值的不等式 当 a 0 时，有.2xaa或 .xa34.无理不等式（1） .()0()()fxfgfg（2） .20()0()()fxxfxgfg或（3） .2()()0xfxf咨询电话：400-8
10、86-0085- 6 -35.指数不等式与对数不等式 (1)当 时,1a; .()()()fxgxafgx()0lo()lg()aafxfxfg(2)当 时,01;()()()fxgxafgx()0lo()lg()aafxffg36.斜率公式 （ 、 ）.21yk1(,)Py2(,)xy37.直线的四种方程 （1）点斜式 (直线 过点 ，且斜率为 )11)xl1(,)Pk（2）斜截式 (b 为直线 在 y 轴上的截距).ykb（3）两点式 ( )( 、 ( ).112221(,)x2,)xy12x（4）一般式 (其中 A、B 不同时为 0).0AxBC38.两条直线的平行和垂直 （1）若 ，1
11、1:lykb22:lkb ; .1212,lkb:2l(2)若 , ,且 A1、A 2、B 1、B 2 都不为零,1xy2:0x ； ；1122ABlC121l39.夹角公式 .( ， , )21tan|k:ykxb22:lykxb1( , , ).121tanAB1:0lx 0ABC120AB直线 时，直线 l1 与 l2 的夹角是 .12l40.点到直线的距离 (点 ,直线 ： ).02|AxByCd0)Pxyl0xy41. 圆的四种方程（1）圆的标准方程 .2()()abr（2）圆的一般方程 ( 0).xyDEF24EF（3）圆的参数方程 .cosinr（4）圆的直径式方程 (圆的直径的
12、端点是1212()()0xy、 ).1(,)Axy2(,)By42.椭圆 的参数方程是 .0abcosinxayb咨询电话：400-886-0085- 7 -43.椭圆 焦半径公式 ， .21(0)xyab)(21caxePF)(22xcaePF44.双曲线 的焦半径公式2,， .1|()|PFexc22|()|PFexc45.抛物线 上的动点可设为 P 或 P ，其中 py2),(2yp或)2,(pt(,)xy.2x46.二次函数 的图象是抛物线：（1）顶2224()bacyabxc(0)点坐标为 ；（2）焦点的坐标为 ；（3）准线4(,)24,)bac方程是 .1cya47.直线与圆锥曲线
13、相交的弦长公式 或2211()()ABxy（弦端点 A22212()|tan|tABkxxco，由方程 消去 y 得到 ， , 为,21yx0)y,(Fbk02bxa直线 的倾斜角， 为直线的斜率）. 48.圆锥曲线的两类对称问题：（1）曲线 关于点 成中心对称的曲线是 .(,)0Fxy0(,)Px0(2-,)Fxy（2）曲线 关于直线 成轴对称的曲线是AByC.22(, )0ABC49.“四线”一方程 对于一般的二次曲线 ，用220xByDxEy代 ，用 代 ，用 代 ，用 代 ，用 代 即得方0x20y20xy00程，曲线的切线，切点弦，中000002xyABCDEF 点弦，弦中点方程均是
14、此方程得到.50.共线向量定理 对空间任意两个向量 a、b (b0 )，ab 存在实数 使a=b51.对空间任一点 O 和不共线的三点 A、B、C，满足 ，OPxAyBzOC则四点 P、A、B、C 是共面 1xyz52. 空间两个向量的夹角公式 cos a，b= （ a123221abb咨询电话：400-886-0085- 8 -，b ）.123(,)a123(,)53.直线 与平面所成角 ( 为平面 的法向量).ABsin|ABmarc54.二面角 的平面角 或 （ ， 为lo|cos|mnar平面 ， 的法向量）.55.设 AC 是 内的任一条直线，且 BCAC，垂足为 C，又设 AO 与
15、 AB 所成的角为 ，AB 与 AC 所成的角为 ，AO 与 AC 所成的角为 则 .1212coscos56.若夹在平面角为 的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是 , ,与二面角的棱所成的角是 ，则有 ;222112sinsiniin(当且仅当 时等号成立).1212|80) 9057.空间两点间的距离公式 若 A ，B ，则1,)xyz2(,)xyz= .,ABd|B2211(58.点 到直线 距离 (点 在直线 上，直线 的方向向Ql 2|)|habPll量 a= ，向量 b= ).P59.异面直线间的距离 ( 是两异面直线，其公垂向量为 ，|CDnd12,l n分别是 上任一
16、点， 为 间的距离).CD、 12,l12,l60.点 到平面 的距离 （ 为平面 的法向量， 是经过面 的一B|ABnAB条斜线， ）.A61.异面直线上两点距离公式 22cosdmn(两条异面直线 a、b 所成的角为 ，其公垂线段 的长度为 h.在直线 a、b 上分别取两点 E、F， , , ). AFnEd62. 2213ll22213coscos1（长度为 的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为 ，夹角分123l、 、别为 ） （立几中长方体对角线长的公式是其特例）.123、 、63. 面积射影定理 cosS(平面多边形及其射影的面积分别是 、 ，它们所在平面所成锐二面角的为
17、).S64.欧拉定理(欧拉公式) (简单多面体的顶点数 V、棱数 E 和面数 F)2VFE65.球的半径是 R，则其体积是 ,其表面积是 34R24SR66.分类计数原理（加法原理） .12nNm67.分步计数原理（乘法原理） .咨询电话：400-886-0085- 9 -68.排列数公式 = = .( ， N *，且 )mnA)1()n ！ )(mnmn69.排列恒等式 （1） ;（2） ;（3） ; nA1nnA1nA（4） ;（5） .nn11m70.组合数公式 = = = ( ， N *，且mCA2)() ！ ！ ).71.组合数的两个性质(1) = ;(2) + =mnCmnC1mn
18、72.组合恒等式（1） ;（2） ;（3） ; 1mn1mnnC（4） = ;（5） .nrC02 11rnrr73.排列数与组合数的关系是： .mnnAC！74.二项式定理 ;nrnrn babaab 210)(二项展开式的通项公式： .rrnrT1 )0(， 75.等可能性事件的概率 .()P76.互斥事件 A，B 分别发生的概率的和 P(AB)=P(A)P(B)77. 个互斥事件分别发生的概率的和nP(A1A 2A n)=P(A1)P(A 2)P(A n)78.独立事件 A，B 同时发生的概率 P(AB)= P(A)P(B).79.n 个独立事件同时发生的概率 P(A1 A2 An)=P
19、(A1) P(A2) P(An)80.n 次独立重复试验中某事件恰好发生 k 次的概率 ()().knknnPCP81.离散型随机变量的分布列的两个性质：（1） ;（2）0,i.2P82.数学期望 12nExPxP 83.数学期望的性质：（1） ；（2）若 ，则()(abE(,)Bnp.np84.方差 22211 nnDxpxpx 85.标准差 = .86.方差的性质(1) ;(2) ；（3）若 22()E2Dab，则 .(,)Bnp()n87.正态分布密度函数 式中的实数21,xfxe， （ 0）是参数，分别表示个体的平均数与标准差.咨询电话：400-886-0085- 10 -88.标准正
20、态分布密度函数 .21,xfxe89.对于 ，取值小于 x 的概率 .2(,)NF1201 PxP21x.2190.回归直线方程 ，其中 .yabx1122nniiiii iixyxyaybx91.相关系数 .1221()()niiiniiiixry1221()()niiini ixy|r|1，且|r|越接近于 1，相关程度越大；|r|越接近于 0，相关程度越小.92.特殊数列的极限 （1） .0|lim|1nqq不 存 在 或（2） .10()lim()kktttn ktanabbt 不 存 在 （3） （ 无穷等比数列 ( )的和）.11linnqSS1naq|93. .这是函数极限存在的
21、一个充要条件.0()xfa00li()lim()xxff94.函数的夹逼性定理 如果函数 f(x)，g(x) ，h(x)在点 x0 的附近满足：（1） ;（2） （常数）,则 .()()gfh00li(),li()xxgah0lim()xfa本定理对于单侧极限和 的情况仍然成立.95.两个重要的极限 （1） ；（2） (e=2.718281845).0sinl1x1lixxe96. 在 处的导数（或变化率或微商）)(xf0.0 000 ()(limlixxffyyx97.瞬时速度 .00)()ttstss咨询电话：400-886-0085- 11 -98.瞬时加速度 .00()()limlit
22、tvtvav99. 在 的导数 .)(xf,bdyffxx00()(limlixyffx100.函数 在点 处的导数是曲线 在 处的切线的斜率)(fy0 )(,P，相应的切线方程是 .)(0f 00f101.几种常见函数的导数(1) （C 为常数）.(2) .1()()nxQ(3) .xcossi(4) .i(5) ； .)ln eaxlog1)(l(6) ; .xean102.复合函数的求导法则 设函数 在点 处有导数 ，函数()ux()xu在点 处的对应点 U 处有导数 ，则复合函数 在点)(ufy yfyf处有导数，且 ，或写作 .xxuxy ()xf103.可导函数 的微分 .)(f
23、d)(104. .（ ）,abicdiacb,acR105.复数 的模（或绝对值） = = .z|z|bi2a106.复数的四则运算法则(1) ;()()()icicdi(2) ;abdab(3) ;i ai(4) .22()()(0)ci cd107.复平面上的两点间的距离公式 （221211|()()zxy， ）.11zxyi22zxyi108.向量的垂直 非零复数 ， 对应的向量分别是 ，1zabi2cdi 1OZ，则2OZ的实部为零 为纯虚数1212z 21z2211|zz( 为非|z1|z0acbd2i零实数).109.实系数一元二次方程的解 实系数一元二次方程 ，若0axbc咨询电
24、话：400-886-0085- 12 -,则 ;若 ,则 ;240bac21,24bacx240bac12bxa若 ，它在实数集 内没有实数根；在复数集 内有且仅有两RC个共轭复数根 .22()(0)ica2、 微积分部分导数公式： axactgxxctgln1)(logs)(es)(2 221)(1)(arcosinxarctgxxCaxaxdshcxadCxctgxctgddx)ln(lnsseesineco2222CaxadxaxadxCrctgtxxdctgCrcsinl21n1slsenilcs22Caxxadxa axaxdaxIndInnn rcsin22l)(221cossi2
25、 22 22020咨询电话：400-886-0085- 13 -基本积分表：三角函数的有理式积分： 222 11cos1sin udxtguxux ， ， ， 一些初等函数： 两个重要极限：三角函数公式：诱导公式：函数角 A sin cos tg ctgxarthcxsechstxeshxxx1ln2)(l:2:2）双 曲 正 切双 曲 余 弦双 曲 正 弦 .59047182.)1(limsin0exx咨询电话：400-886-0085- 14 - -sin cos -tg -ctg90- cos sin ctg tg90+ cos -sin -ctg -tg180- sin -cos -t
26、g -ctg180+ -sin -cos tg ctg270- -cos -sin ctg tg270+ -cos sin -ctg -tg360- -sin cos -tg -ctg360+ sin cos tg ctg和差角公式： 和差化积公式： 2sini2cosco2sin2sincoictgtctg1)(1sincos)cos(ini 咨询电话：400-886-0085- 15 -倍角公式：半角公式： cos1insico12cos1insico12 scsssin tgtg 正弦定理： 余弦定理： RCBbAa2sinisin Cab22反三角函数性质： rctgxarctgxxx
27、arcosrci 高阶导数公式莱布尼兹（Leibniz）公式： )()()2()1()(0)()( !)1()! nknnnnnkk uvuknvuvuCv 中值定理与导数应用： 拉 格 朗 日 中 值 定 理 。时 ， 柯 西 中 值 定 理 就 是当柯 西 中 值 定 理 ：拉 格 朗 日 中 值 定 理 ：xFfabfab)(F)()( )23313cos4cosiniintgt22 2221sicosin1cossinitgtt咨询电话：400-886-0085- 16 -三、线性代数部分1、 行 列 式1. 行列式共有 个元素，展开后有 项，可分解为 行列式；n2n!n2n2. 代数
28、余子式的性质：、 和 的大小无关；ijAija、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为 0；、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为 ；A3. 代数余子式和余子式的关系： (1)(1)ij ijiji ijiMAM 4. 设 行列式 ：nD将 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为 ，则 ；1D(1)21nD将 顺时针或逆时针旋转 ，所得行列式为 ，则 ；90 2()2将 主对角线翻转后（转置），所得行列式为 ，则 ；33将 主副角线翻转后，所得行列式为 ，则 ；D445. 行列式的重要公式：、主对角行列式：主对角元素的乘积；、副对角行列式：副对角元素的乘积 ；(1)2n、上
29、、下三角行列式（ ）：主对角元素的乘积； 、 和 ：副对角元素的乘积 ； (1)2n、拉普拉斯展开式： 、AOCABB(1)mnOABC:、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积；、特征值；6. 对于 阶行列式 ，恒有： ，其中 为 阶主子式；nA1()nknESkS7. 证明 的方法：0、 ；、反证法；、构造齐次方程组 ，证明其有非零解；0Ax、利用秩，证明 ；()rn、证明 0 是其特征值；2、 矩 阵1. 是 阶可逆矩阵：An咨询电话：400-886-0085- 17 -（是非奇异矩阵）；0A（是满秩矩阵）()rn的行（列）向量组线性无关；齐次方程组 有非零解；0x， 总有唯一解；nbRb
30、与 等价；AE可表示成若干个初等矩阵的乘积；的特征值全不为 0；是正定矩阵；T的行（列）向量组是 的一组基；nR是 中某两组基的过渡矩阵；AnR2. 对于 阶矩阵 ： 无条件恒成立；*AE3. 1*111*()()()TTA *11TABBB4. 矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；5. 关于分块矩阵的重要结论，其中均 、 可逆：若 ，则：12sAA、 ；12、 ；1121sA、 ；（主对角分块）11AOB、 ；（副对角分块）1、 ；（拉普拉斯）11ACACBOB、 ；（拉普拉斯）111O3、 矩 阵 的 初 等 变 换 与 线 性 方 程 组1. 一个 矩阵 ，总可
31、经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：mnA；rnEOF等价类：所有与 等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最咨询电话：400-886-0085- 18 -简单的矩阵；对于同型矩阵 、 ，若 ；AB()rAB:2. 行最简形矩阵：、只能通过初等行变换获得；、每行首个非 0 元素必须为 1；、每行首个非 0 元素所在列的其他元素必须为 0；3. 初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）、 若 ，则 可逆，且 ；(,)(,)rAEX:A1XA、对矩阵 做初等行变化，当 变为 时， 就变成 ，即：BEB1；1(,),)cAB、求解线形方程组：对于 个未
32、知数 个方程 ，如果 ，则 可逆，nxb(,),rbEx:A且 ；1xb4. 初等矩阵和对角矩阵的概念：、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；、 ，左乘矩阵 ， 乘 的各行元素；右乘， 乘 的各列元12nAiiA素； 、对调两行或两列，符号 ，且 ，例如：(,)Eij1(,)(,)ijEij；1、倍乘某行或某列，符号 ，且 ，例如：()Eik1()()ikEi；1(0)kk、倍加某行或某列，符号 ,且 ，如：()Eijk1()()ijEijk；1(0)kk5. 矩阵秩的基本性质：、 ；0()min(,)rA、 ；T、若 ，则 ；B:()r、若 、 可逆
33、，则 ；（可逆矩阵不影响矩阵的秩）PQ()()rPAQrPA咨询电话：400-886-0085- 19 -、 ；（）max(),(,)()rABrArB、 ；（）、 ；（）()in(),、如果 是 矩阵， 是 矩阵，且 ，则：（）ns0、 的列向量全部是齐次方程组 解（转置运算后的结论）；BAX、 ()rA、若 、 均为 阶方阵，则 ；()()rBrn6. 三种特殊矩阵的方幂：、秩为 1 的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量） 行矩阵（向量）的形式，再采用结合律；、型如 的矩阵：利用二项展开式；01acb二项展开式：；01 10() nnnmnnmnabCabCababCab 注：、 展开后有
34、项；()、 01)!1123() :m nn n、组合的性质：；1 11 0 2 nmnmmrnrrnn nCCCC、利用特征值和相似对角化：7. 伴随矩阵：、伴随矩阵的秩： ；*()()110rArAn、伴随矩阵的特征值： ；*1*(, )AXX 、 、*1A1*n8. 关于 矩阵秩的描述：、 ， 中有 阶子式不为 0， 阶子式全部为 0；（两句话）()rn1n、 ， 中有 阶子式全部为 0；、 ， 中有 阶子式不为 0；()A9. 线性方程组： ，其中 为 矩阵，则：xbAmn、 与方程的个数相同，即方程组 有 个方程；mxb、 与方程组得未知数个数相同，方程组 为 元方程；nAn10.
35、线性方程组 的求解：、对增广矩阵 进行初等行变换（只能使用初等行变换）；B咨询电话：400-886-0085- 20 -、齐次解为对应齐次方程组的解；、特解：自由变量赋初值后求得；11. 由 个未知数 个方程的方程组构成 元线性方程：nmn、 ；121212nmnmaxaxb 、 （向量方程， 为 矩阵， 个方程，11221mmnmaaxbAx Amn个未知数）n、 （全部按列分块，其中 ）；1212nxa 12nb、 （线性表出）12nxax、有解的充要条件： （ 为未知数的个数或维数）(),)rAn4、 向 量 组 的 线 性 相 关 性1. 个 维列向量所组成的向量组 ： 构成 矩阵 ；
36、mn12,m n12(,)mA个 维行向量所组成的向量组 ： 构成 矩阵 ；B12,TTm 12TTmB含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；2. 、向量组的线性相关、无关 有、无非零解；（齐次线性方程组）0Ax、向量的线性表出 是否有解；（线性方程组）b、向量组的相互线性表示 是否有解；（矩阵方程）XB3. 矩阵 与 行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组 和 同解；(mnAlB 0AxB例 14)10P4. ；( 例 15)()Trr10P5. 维向量线性相关的几何意义：n、 线性相关 ；、 线性相关 坐标成比例或共线（平行）；,、 线性相关 共面；6. 线性相关与无关的两套定理：若
37、 线性相关，则 必线性相关；12,s 121,s若 线性无关，则 必线性无关；（向量的个数加加减减，二者 咨询电话：400-886-0085- 21 -为对偶）若 维向量组 的每个向量上添上 个分量，构成 维向量组 ：rAnrnB若 线性无关，则 也线性无关；反之若 线性相关，则 也线性相关；（向量组的BBA维数加加减减）简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；7. 向量组 （个数为 ）能由向量组 （个数为 ）线性表示，且 线性无关，则 ；rs rs向量组 能由向量组 线性表示，则 ； AB()rAB向量组 能由向量组 线性表示有解；X(),)r向量组 能由向量组 等价AB()(,)rABr
38、8. 方阵 可逆 存在有限个初等矩阵 ，使 ；12,lP 12lAP、矩阵行等价： （左乘， 可逆） 与 同解r0xB、矩阵列等价： （右乘， 可逆）；cABQ、矩阵等价： （ 、 可逆）；P9. 对于矩阵 与 ：mnl、若 与 行等价，则 与 的行秩相等；ABAB、若 与 行等价，则 与 同解，且 与 的任何对应的列向量组具有0xAB相同的线性相关性；、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；、矩阵 的行秩等于列秩；10. 若 ，则：msnABC、 的列向量组能由 的列向量组线性表示， 为系数矩阵；AB、 的行向量组能由 的行向量组线性表示， 为系数矩阵；（转置）BTA11. 齐次方程组 的解一定是
39、的解，考试中可以直接作为定理使用，而无需0x0x证明；、 只有零解 只有零解；AB、 有非零解 一定存在非零解；A12. 设向量组 可由向量组 线性表示为： 12:,nrrb 12:,nssa（ ）12(,)(,)rbK BA其中 为 ，且 线性无关，则 组线性无关 ；（ 与 的列向量组具KsrB()rK有相同线性相关性）（必要性： ；充分性：反证法）()(,),()BrAKr咨询电话：400-886-0085- 22 -注：当 时， 为方阵，可当作定理使用；rsK13. 、对矩阵 ，存在 ， 、 的列向量线性无关； mnAnmQmAE()rAQ、对矩阵 ，存在 ， 、 的行向量线性无关；Pn
40、nP14. 线性相关12,s存在一组不全为 0 的数 ，使得 成立；（定义）12,sk 120skk有非零解，即 有非零解；1212(,)sx 0Ax，系数矩阵的秩小于未知数的个数；12,sr15. 设 的矩阵 的秩为 ，则 元齐次线性方程组 的解集 的秩为：mnArn0xS；()S16. 若 为 的一个解， 为 的一个基础解系，则 线*xb12,nr A*12,nr性无关； 5、 相 似 矩 阵 和 二 次 型1. 正交矩阵 或 （定义），性质：TAE1T、 的列向量都是单位向量，且两两正交，即 ；1(,12,)0Tij ijan、若 为正交矩阵，则 也为正交阵，且 ；1TA A、若 、 正
41、交阵，则 也是正交阵；AB注意：求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化和单位化；2. 施密特正交化： 12(,)ra；1ba;122,b: 1211,rrrr rbabab: :3. 对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关；对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交；4. 、 与 等价 经过初等变换得到 ；ABAB， 、 可逆；PQ， 、 同型；()r、 与 合同 ，其中可逆；TC与 有相同的正、负惯性指数；xx、 与 相似 ；AB1AB5. 相似一定合同、合同未必相似；若 为正交矩阵，则 ，（合同、相似的约束条件不同，相似的更CT:严格）；6. 为对称阵，则 为二次型矩阵；7. 元二次型 为正定：nTxA咨询电话：400-886-0085- 23 -的正惯性指数为 ；An与 合同，即存在可逆矩阵 ，使 ；ECTAE的所有特征值均为正数；的各阶顺序主子式均大于 0；( 必要条件)0,ia
