1、高三数学第一轮总复习讲义 讲义 34 椭 圆一、基本知识体系：1、 椭圆的定义：第一定义：|PF 1|+|PF2|=2a (2a|F1F2)注意焦点三角形的应用；第二定义： =e (椭圆的焦半径公式：|PF 1|=a+ex0, |PF2|=a-ex0)|PF1|d2、 椭圆的的方程：焦点在 x 轴上的方程： （ab0） ；2xyab焦点在 y 轴上的方程： （ab0） ； 21yab当焦点位置不能确定时，也可直接设椭圆方程为：mx 2+ny2=1(m0,n0) 、参数方程： cosinxy3、 椭圆的几何性质：标准方程 （ab0）21xab（ab0）21yxab简图中心 O（0，0） O（0，
2、0）顶点 （a,0) (0,b) (0,a) （b,0)焦点 (c,0) (0,c)离心率e= (01)|PF1|d2、双曲线的方程：焦点在 x 轴上的方程： （a0，b0） ；焦点在 y 轴上的方程： 21xyab21yxab（a0，b0） ； 当焦点位置不能确定时，也可直接设椭圆方程为：mx 2-ny2=1(mn0，b0）2xyab（a0，b0）21yxab简图中心 O（0，0） O（0，0）顶点 （a,0) (0,a) 焦点 (c,0) (0,c)离心率e= (e1)cae= (e1)ca范围 xa 或 x-a ya 或 y-a准线方程x=a2cy=a2c渐近线y= xbay= xab焦
3、半径P(x0,y0)在右支上时：|PF1|=ex0+a,|PF2|=ex0-a; P(x0,y0)在左支上时：|PF 1|= -ex0-a,|PF2|= -ex0+a;P(x0,y0)在上支上时：|PF1|=ey0+a,|PF2|=ey0-a; P(x0,y0)在下支上时：|PF1|= -ey 0-a,|PF2|= -ey0+a;9、 几个概念：焦准距： ; 通径： ; 等轴双曲线 x2-y2= (R,0)：渐近线是 y=x,离心率为：b2c 2b2a； 焦点三角形的面积：b 2cot (其中F 1PF2=)；弦长公式：|AB|=221xya2；注意；椭圆中：c 2=a2-b2,而在双曲线中:
4、c 2=a2+b2,211()4kx10、 直线与双曲线的位置关系：讨论双曲线与直线的位置关系时通常有两种处理方法：代数法：通常设出直线与双曲线的方程，将二者联立，消去 x 或 y，得到关于 y 或 x 的一元二次方程，再利用根与系数的关系及根的判别式等知识来解决，：、数形结合法。注意直线与双曲线有两个交点时，两交点可能在双曲线的一支上，也可能在两支上。11、 双曲线中的定点、定值及参数的取值范围问题：定点、定值问题：通常有两种处理方法：第一种方法是从特殊入手，先求出定点（或定值） ，再证明这个点（值）与变量无关；第二种方法是直接推理、计算；并在计算的过程中消去变量，从而得到定点（定值） 。关
5、于最值问题：常见解法有两种：代数法与几何法。若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形的性质来解决，这就是几何法；若题目中的条件和结论难以体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值，求函数的最值常用的方法有配方法、判别式法、重要不等式法、函数的单调性法等。参数的取值范围问题：此类问题的讨论常用的方法有两种：第一种是不等式（组）求解法根据题意结合图形列出所讨论的参数适合的不等式（组） ，通过解不等式（组）再得出参数的变化范围；第二种是函数的值域求解法：把所讨论的参数表示为某个变量的函数，通过讨论函数的值域求得参数的变化范围。二、典例剖析：【题 1】双曲线
6、的渐近线方程是( C )2149xy（A） （B） （C） （D）34x32yx94yx【题 2】已知双曲线 的焦点为 、 ，点 在双曲线上且 轴，则 到直线 的距离为 216xy1FM1F12FM( C ) （A） （ B） （C） （D ）356556【题 3】已知双曲线 的焦点为 ，点 在双曲线上且 ，则点 到 轴的距离为（ 21yx12F、 120FxC ）A B C D 45333解：由 ,得 MF1MF 2,不妨设 M(x,y)上在双曲线右支上，且在 x 轴上方,则有(ex-a) 2+(ex+a)2=4c2，即120MF(ex)2+a2=2c2,a=1,b= ,c= ,e= ,得
7、x2= ,y2= ,由此可知 M 点到 x 轴的距离是 ,选(C)353 3【题 4】已知 F1、F 2 是双曲线 的两焦点，以线段 F1F2 为边作正三角形 MF1F2，若边 MF1)0,(12bay的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ）A B C D3241321313解：设 E 是正三角形 MF1F2 的边 MF1 与双曲线的交点,则点 E 的坐标为( ),代入双曲线方程,并将 c=ae 代入,整2c理得 e4-8e2+4=0,由 e!,解得 e= ,选(D) 3【题 5】若双曲线的渐近线方程为 ，它的一个焦点是 ，则双曲线的方程是_。xy0,1192yx【题 6】设双曲线 的右焦点
8、为 ，右准线 与两条渐近线交于 P、 两点，如果 是21(0,)xyabFl QPF直角三角形，则双曲线的离心率 . _e2e解：双曲线 的右焦点为 (c, 0)，右准线 与两条渐近线交于 P( )、 ( )两点，21(0,)xyabl 2,abc2,abc FPFQ ， ， a= b, 即双曲线的离心率 e= .221c2【题 7】双曲线 的虚轴长是实轴长的 2 倍，则 （ A ）2mxymA B C D144414【题 8】若双曲线 上的点到左准线的距离是到左焦点距离的 ，则 m=（ C）12y 3(A) (B) (C) (D)23889【题 9】已知双曲线 ,则双曲线右支上的点 P 到右
9、焦点的距离与点 P 到右准线的距离之比等于( C ) 92yxA. B. C. 2 D.43【题 10】过双曲线 的左顶点 作斜率为 1 的直线 , 若 与双曲线 的两条渐近线分别相交于点1:2byxMAlM, 且 , 则双曲线 的离心率是( A )CB|BAA B C D10531025【题 11】已知双曲线 =1(a )的两条渐近线的夹角为 ,则双曲线的离心率为( )x2a2 y22 2 3A.2 B. C. D.3263 233解：已知双曲线 (a )的两条渐近线的夹角为 ，则 ， a2=6，双曲线的离心率为 21xy2 3 3tan6 233，选 D【题 12】已知双曲线 的一条渐近线
10、方程为 ，则双曲线的离心率为( A )2xyab43yx（A） （B） （C ） （ D）534352解：双曲线焦点在 x 轴,由渐近线方程可得 ,故选 A345,bceaa可 得【题 13】 为双曲线 的右支上一点， ， 分别是圆 和 上的点，P2169yMN2()4xy2(5)1xy则 的最大值为（ B ） MN6789解：设双曲线的两个焦点分别是 F1（5，0）与 F2（5，0） ，则这两点正好是两圆的圆心，当且仅当点 P 与 M、 F1 三点共线以及 P 与 N、F 2 三点共线时所求的值最大，此时|PM|PN|（|PF 1|2）（|PF 2|1）817 【题 14】已知三点 P（5，
11、2） 、 （6，0） 、 （6，0） ；12（）求以 、 为焦点且过点 P 的椭圆的标准方程；（）设点 P、 、 关于直线 yx 的对称点分别为 、1 1F2 P、 ，求以 、 为焦点且过点 的双曲线的标准方程。1F2F2解：（1）由题意可设所求椭圆的标准方程为 (ab0),其半焦距 c=6；21xyab ,b2=a2-c2=9.所以所求椭圆的标准方程为2212165aPF3 21459xy（2）点 P(5,2)、F 1(-6,0)、F 2(6,0)关于直线 y=x 的对称点分别为点 P， (2，5)、F 1， (0，-6)、F 2， (0，6).设所求双曲线的标准方程为 由题意知，半焦距 c
12、1=611(0,)xyab22122 45aP,b12=c12-a12=36-20=16. 所以所求双曲线的标准方程为152106yx【题 15】已知双曲线 的右焦点为 F，若过点 F 且倾斜角为 的直线与双曲线的右支有且21(0,)xyab 60o只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ）（A） （B） （C） （D）(1,2(,2),)(2,)解：已知双曲线 的右焦点为 F，若过点 F 且倾斜角为 的直线与双曲线的右支有且只有一21(0,)xyab 60o个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率 ， ，离心率 e2= ， e2，ba32cab 4选 C【题 16】设动点 到
13、点 和 的距离分别为 和 ，P1(0)F， 2()， 1d2，且存在常数 ，使得 （1）12F 21sin证明：动点 的轨迹 为双曲线，并求出 的方程；（2）如图，过点C的直线与双曲线 的右支交于 两点问：是否存在 ，使2CAB，是以点 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出 的值；1AB 若不存在，说明理由解：（1）在 中， ；12PF 122 22112114cos()4sinddd； （小于 的常数） ；故动点 的轨迹 是以 ， 为焦点，实轴长2()4ddPCF2的双曲线方程为 1a21xy（2） 、在 中，设 ， ， ， 假设 为等腰直角三角形，则1AFB 1d2AF13Bd24F1
14、AB；由 与得 ，则 由得 ，123421324sindad 2da1342(21)daa342d； ， ；故存在 满足题设条件2(1)a(842)(112(01)7， 127高三数学第一轮总复习讲义 讲义 36 抛 物 线一、基本知识体系：1、抛物线的定义： =e （其中 e=1，注意：定点 F 不能在定直线 L 上）|PF|d2、抛物线的的标准方程和几何性质：标准方程 y2=2px (p0) y2= -2px (p0) x2=2py (p0) x2= -2py (p0)1Fyx2OAPB图象顶点 (0,0) (0,0) (0,0) (0,0)对称轴 x 轴 x 轴 y 轴 y 轴焦点F（
15、,0)p2F（- ,0)p2F（0, )p2F（0,- )p2准线x=- p2x= p2y= - p2y= p2焦半径 +x0p2-x0p2+y0p2-y0p2离心率 e=1 e=1 e=1 e=13、几个概念： p 的几何意义：焦参数 p 是焦点到准线的距离，故 p 为正数； 焦点的非零坐标是一次项系数的 ； 方程中的一次项的变量与对称轴的名称相同，一次项的系数符号决定抛物线的开口方向。通径：2p 14二、典例剖析：【题 1】 、抛物线 y=4x2 上的一点 M 到焦点的距离为 1，则点 M 的纵坐标是( B )（A） （B） （C ） （D）0 7615678【题 2】 、 抛物线 y2
16、= 2px(p0)上有 A（ x1， y1） ， B（ x2， y2） ， C（ x3， y3）三点， F 是它的焦点，若|AF|、| BF|、| CF|成等差数列，则（A ） A x1、 x2、 x3成等差数列 B y1、 y2、 y3成等差数列C x1、 x3、 x2成等差数列 D y1、 y3、 y2成等差数列【题 3】 、在平面直角坐标系 中，抛物线 上异于坐标原点 的两不同动点 、 满足 =0（如oO图所示） ；（）求 得重心 （即三角形三条中线的交点）OBG的轨迹方程；（） 的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由 A解：（）直线 的斜率显然存在， 设直线
17、的方程为 ，ABbkxy，依题意得： ，),(),(21yxBA 0,22xybk得消 去由 ， ；又 ， ，即 ， kx21 b21 OBA21yx021x由得， ， ；则有直线 的方程为0b)(0舍 去或 k从而可化为 ， ，不妨设 的重心 G 为 ，则有12kx12x),(yx ， ，3021x 32)(3021kxkyxyOAB图 4由、得： ，即 ，这就是 得重心 的轨迹方程32)(xy32xyAOBG（）由弦长公式得 ；把代入上式，得 ，设点212124)(|kAB 41|22kAB到直线 的距离为 ，则 ， ， 当 ， 有最小值，Od224|kdABSAOB 0AOBS 的面积存
18、在最小值，最小值是 A1【题 4】 、设 为抛物线 的焦点， 为该抛物线上三点，若 ，则F24yxC， ， FBC（ B ）A9 B6 C4 D3C【题 5】 、抛物线 上的点到直线 距离的最小值是（ ）2yx380xyA B C D43755解：设抛物线 上一点为 (m，m 2)，该点到直线 的距离为 ，当 m= 时，取2yx4380xy2|438|5m32得最小值为 ，选 A.43【题 6】 、已知抛物线 y2=4x,过点 P(4,0)的直线与抛物线相交于 A(x1，y 1),B(x2，y 2)两点，则 的最小值是 32 .21y解：显然 0，又 4（ ）8 ，当且仅当 时取等号，所以所求
19、的值为 32。 （注意12,x1212x124联系均值不等式！）【题 8】 、过抛物线 y2=4x 的焦点做直线 L 交抛物线于 A,B 两点,若线段 AB 的中点的横坐标是 3,则|AB|=_(答案:8)抛物线 y2=2px(p0)焦点弦 AB 的两个端点的坐标是 A(x1,y1),B(X2,y2),则 之值是( B ) A 4 B -4 y1y2x1x2C p2 D p2抛物线 x2=4y 的焦点 F 和点 A(-1,8),P 为抛物线上一点,则|PA|+|PF|最小值是(B )A 6 B 9 C 12 D 16 在题中,若将条件改为 A(3,1),其它不变,则是_(答案:3)直线 y=2
20、x+m 与圆 x2+y2=1 相交于 A,B 两点,以 x 轴正半轴为始边,OA 为终边(O 为坐标原点)的角为,OB 为终边的角为,则 sin(+)=_(答案: )-45【题 9】 、过直角坐标平面 xoy 中的抛物线 y2=2px(p0)的焦点 F 作一条倾斜角为 的直线与抛物线相交于 A，B 两 4点。 （1）用 P 表示 A，B 之间的距离；（2）证明：AOB 的大小是与 P 无关的定值，并求出这个值。解：（1）焦点 F（1，0） ，过抛物线的焦点且倾斜角为 的直线方程是 y = x - ； 4 p2设点 则有： (,)(,)ABxy22pxy0322px234ABpx则 有4ABx由
21、 抛 物 线 定 义 可 知（2）由于 cosAOB = = 22223414ABABABBppxxxy 的大小是与 p 关的定值，即 =-arccos【题 10】 、已知抛物线 y2=2(x+ )的焦点为 F，准线为 l，试判断：是否存在同时满足以下两个条件的双曲线1C：（1）双曲线 C 的一个焦点是 F，相应 F 的准线为 l；（2）直线 m 垂直于 x y=0，双曲线 C 截直线 m 所得的线段的长为 2 ，并且截得线段的中点恰好在直线 x y=0 上；若存在，求出这条双曲线的方程；若不存在，说明理由.解： y2=2(x+ )；焦点为 F（0，0） ，准线 l： x= 1；设双曲线 C
22、存在，其离心率为 e，点（ x,y)为双曲线 C 上1任意一点，由条件 =e,得：（1 e2） x2+y2 2e2x e2=0；又设与 x y=0 垂直的直线 m 为 y= x+b,则双曲线2yC 应与 m 有两个交点，设为 A（ x1,y1） 、 B(x2,y2),且| AB|=2 .由 .bxyey)e( 02122得(2 e2)x2 2(e2+b)x+b2 e2=0.则 (*) 成立，且 x1+x2= ,x1x2= ；又| AB|=2 ，所以 2(., 0480222 )(eb2e)2 4( ) =8；所以 =1.；又 AB 的中点 M（ ）在直线eb2e22)(eb 22,ebx y=
23、0 上， .；由、解得22b.,此时（*）成立，所以满足条件的双曲线 C 存在，其方程为 3x2 y2+8x+4=0. 【题 11】已知 AB 是抛物线 x2=2py(p0)的任一弦，F 为抛物线的焦点，L 为准线.m 为过 A 点且以 =(0,-1)为方向向量的直线.若过 A 点的抛物线的切线与 y 轴相交于 C 点，求证：|AF|=|CF|；若 +p2=0（A，B 异于原点） ，直线 OB 与 m 相交于点 P，试求 P 点的轨迹方程；若 AB 为焦点弦，分别过 A，B 点的抛线物的两条切线相交于点 T，求证：ATBT，且 T 点在 L 上. 解：（1）如图，设 A（x 1,y1）,则直线
24、 m 为：x=x 1, 又y=k AC= ，于是 AC 的方程为：y-y 1= (x-x1),即 y= x-y1.令 x=0,得 y=-y1,即 C（0,-y 1）.由定义，,xp1 xpxp|AF|=y1+ ,又|CF|= -(-y1)=y1+ , 故|AF|=|CF|.（2）设 A（x 1,y1）,B(x 2,y2),P(x,y)； 2p2 +p2=0x1x2+y1y2+p2=0x1x2+ +p2=0 ； x 1x2=-2p2. 直线 OB 的方程：y=x12x224p2 210.p；又直线 m 的方程：x=x 1 2,xyp：xy= x0,y=-p.故 P 点的轨迹方程为 y=-p.12
25、0,ypx（3）设 A（x 1,y1）,B(x 2,y2),T(x0,y0). 则 kAT= 由于 AB 是焦点弦，可设 AB 的方程为:y=kx+ 代入12,.BTxp ,2px2=2py，得：x 2-2pkx-p2=0；x 1x2=-p2,于是 kATkBT= 故 ATBT.12,由（1）知，AT 的方程：y= y 0= ，即 x0x1-py1=py0,同理：1,yp1xypx0x2-py2=py0.AB 的方程为：x 0x-py=py0，又AB 过焦点，- 即 y0=- ,故 T 点在准线 l 上.t2,p2p【题 12】 、如图，过抛物线 x2=2y 的准线上任一点 P，做抛物线的两条
26、切线，切点分别为 A、B，抛物线的焦点为F，试推断是否存在常数，使得 =| |2 成立，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由。解；设点 A（x 1, ),B(x2, ),y=x,切线 PA 方程为；y- = x1(x- x1),即 y= x122 x222 x122 x1x- ；同理有切线 PB 方程为 y= x2x- ；联立两方程解得点 P（ ， ） ，由于x122 x222 x1+x22 x1x22点 P 在准线 y= 上，则有 x1x2=-1；又焦点 F（0，） ， =（x 1, ） ，-12 12 x12-12=（x 2 , ） ，点 P（ ， ） ， = x1x2+ （x 12-1） （x 22-1）= -1- x22-12 x1+ x12 -12 14（x 1+ x2） 2，又 =（ ，-1） ，| |2= （x 1+ x2） 2+1，从而14 x1+ x22 14 有 =-| |2，故存在 =-1 满足题设条件。
