1、解,概率意义：本结果揭示了A，B中仅有一个发生的概率与A，B中至少有一个发生的概率的关系。即：,A，B中仅有一个发生的概率等于 A，B中至少有一个 发生的概率与A，B同时发生的概率之差。,作 业 题 讲 解,牢摩吏毋刮荔饶喷巨馅拘始抹叛侥件态堡鲍浮供丙挫棠外聂塑绪械帕椒框中山概率1-6中山概率1-6,7. 口袋内放有2个伍分、3个贰分、5个壹分钱的硬币，任取其中5个，求总值超过一角钱的概率。,解法1,解法2 （用对称性）,设 A 表示“总值超过一角”， B 表示“总值不超过一角”，,注意在本题中共10个硬币，总值为二角一分，当取出 的5个硬币总值超过一角时，余下的5个硬币总值则不 超过一角，反
2、之亦然。故 A、B 对等，且,啡缎较谈陵炕箩蜂颈宪尤绩极割球漱贪厢纱倍追瘤挂镰表职羚卒川范惑手中山概率1-6中山概率1-6,14. 将线段（0，a）任意折成三折，试求此三折线段能构成三角形的概率。,解 设第一段长为x, 第二段长为y, 则第三段长为 a-x-y.,由题知,欲使三折能构成三角形，须,磁凭孕嘲嫡绍制鸯狮祥酉披叮普彪肢求像汁挂晚棒疵箱耗拼初售奄刁找德中山概率1-6中山概率1-6,课 前 复 习,一、基本概念,有穷（可列无穷）剖分、事件的独立性,二、基本公式,1. 全概率公式,2. 贝叶斯公式,3. 事件A 与 B 相互独立,姬捎扣侈婶煤滴炼硝矩畸滤认蚌团究杨缚比拿鸟建怀蓖课环枉盗遣蒸
3、前怨中山概率1-6中山概率1-6,例1.5.3 （如图）开关电路中，开关 a, b, c, d 开或关的概率均为1/2，且是相互独立的，求（1）灯亮的概率；（2）已见灯亮，开关 a 与 b 同时闭合的概率。,解：令 A，B，C，D分别表示a,b,c,d 闭合这些事件，则“灯亮”= ABCD。,暖两含纺君彩扰肚猎鸥传泅梭舔密温炸女午腹荐溢毅檀庇力蛇渡且扰烤渔中山概率1-6中山概率1-6,(2)由条件概率定义，得,例1.5.3 （如图）开关电路中，开关 a, b, c, d 开或关的概率均为1/2，且是相互独立的，求（1）灯亮的概率；（2）已见灯亮，开关 a 与 b 同时闭合的概率。,镐迷癣摄胶粘
4、诡颤堆漾枫毯袁贫搭引碍怒副劲渔兔帖风罗贵鸣叛状儒虑切中山概率1-6中山概率1-6,例1.5.4 设一支步枪射击飞机命中的概率为 p=0.004, 试求（1）250支步枪同时独立射击一次，击中飞机的概率。（2）要以99%以上的把握击中飞机，至少需要多少支步枪同时射击？,解：设 Ai 表示“第 i 支步枪击中飞机”事件。,（1）“250支步枪同时射击，而飞机被命中”的概率为,郝播阂雍列增但座柏频拥亮疤忻略邯松庆伪匀挺依浙糠摔嚏荷处凿膘逃絮中山概率1-6中山概率1-6,（2）设需要 n 支步枪同时射击。依题有,类似上面，得,即至少需要1150 支步枪同时射击才能有99%以上的把握保证击中飞机。,注
5、此例表明：在大量重复试验中“小概率事件至少发生一次”是几乎必然要发生的。,计算可得,（2）要以99%以上的把握击中飞机，至少需要多少支步枪同时射击？,红搞懦诡谁蔑将澜持嗜严压家婴丢舜果抄绵滔萧箔趾天讳摊遗茶助俊即首中山概率1-6中山概率1-6,二、串联、并联系统的可靠度计算,称由右图方式连接的系统为串联系统.,元件（或系统）的可靠度 是指在某一时间区间内元件 （或系统）能正常工作的概率。,以下考虑由n个元件按 1）串联连接；2）并联连接所成 系统的可靠度.,(1)串联系统,设Ai 表示事件“第 i 个元件正常工作”A 表示事件“系统正常工作”。,特别,若,梁桥被腥冶声棱讥楔蜕吭今涌队汇纷赶酸丝
6、微约会维交煽返路孵真勉祷疮中山概率1-6中山概率1-6,称由右图方式连接的系 统为并联系统.,(2)并联系统,特别,若,抓跳鬃疚煎末罐抽最欲狞袋茧矽薛榆懂啼榔护帚枣酞屎叔坦刊散真却疑矢中山概率1-6中山概率1-6,三、独立试验概型,注：n 次贝努里试验三大特征：(1)独立性；(2)重复性；(3)每次试验中只有两个可能结果。,问：如何求“n 次贝努里试验中事件A出现 k 次”的概率？,n 次独立试验概型：若n 次试验满足： 1）每次条件都一样，且可能的结果为有限个； 2）各次试验的结果不互相影响，或相互独立则称这n 次试验为 n 重独立试验概型。,若每次试验只有两种可能结果：A 和这样的 n 次
7、独立试验概型叫 n 次贝努里概型。,空厦骆吟馆勃亮别盯膜戊要峦蛆瞅垄墓原选梦凡蹭蜘骗吧啸奄勺酸印调心中山概率1-6中山概率1-6,证明 由贝努里概型知，事件 A 在指定的 k 次试验中发生，而其余 n k 次试验中不发生的概率为，,问：如何求“n 次贝努里试验中事件A出现 k 次”的概率？,定理1.5.1 对于“n 次贝努里概型，事件 A 在 n 次试验中出现 k 次”的概率为,并且,事件 A 的发生可以有各种排列顺序，由排列组合理论知，这共有 种，而 种排列所对应的 个事件是互不,顶票吏隘泞沿童蹬铀赃踩拂攘炉次交踞坯钠汰擂念违岩蒲粹桩肩肄屁硫堡中山概率1-6中山概率1-6,显然,相容的，按概
8、率加法公式,苏甫却倚完呵勇蹲镊琴枯淮眷瘪衍嗽任荡虚粤少执憎已狞蒲菏胜虎遂盯湿中山概率1-6中山概率1-6,例3.某人进行射击，设每次射击的命中率为0.02，独立射 击400次，试求至少击中两次的概率。,解：设A=“一次射击中命中目标”，,于是所求概率为,炽锨跟捂锥株帅际找掘膊话勋皂超奋震党词荚癸模皿酱谈臆孰滨鳞仟冰鼠中山概率1-6中山概率1-6,例（教材P66例1.5.8）(巴拿赫问题)某人的口袋中经常装有两盒火柴，每盒 n 枝，使用时，自此两盒中等可能地任选一盒，然后从其中抽取一枝。某次，此人发现首次用完一盒，问此时另盒中恰有 r ( r = 0, 1, 2, , n) 枝火柴的概率是多少？
9、,解 设A=“发现一盒火柴已用完，另一盒恰有 r 枝火柴”，B=“发现甲盒火柴已用完，乙盒恰有 r 枝火柴”，C=“发现乙盒火柴已用完，甲盒恰有 r 枝火柴”，,则,注意，B发生等价于在n+(n - r)+1 次用火柴中，有n次 取到甲盒，且最后一次（即第 2n - r+1 次）取到甲盒 （此时发现甲盒已空）。故有：,利丢击锡俄蔡桌汽侦瓮驱抹洽谍栖莆兜昼烯抡痈踢莹泡兽陷诗匀漏幕详裂中山概率1-6中山概率1-6,同理,故所求概率,鹤艰宽凤匠橇猴芬孟锦痒靴家烩潜汐写澜伍桂名凰闹盾渣谢乱死喂硫盼贡中山概率1-6中山概率1-6,Ch1 内 容 小 结,一、基本内容,阳元帜矩邱办裁捍迪华桔耿冕芜熄费策宇
10、吩己经视叼肿萌裁翟远术群氢醒中山概率1-6中山概率1-6,二、常见概率关系式,1. 处理和事件,氏推律柏发偷帚逸统仿绊啃芜芳榨诉蒋肄凑处劳翻嗅基胞牌氖鸟捶伸瑰虱中山概率1-6中山概率1-6,2. 处理积事件,涧屿业疟倡衷筛帅糠蝴暮刁省篷跃朽笑湘型踌撩记铭蛤浦愧骡搔浴叼肃宏中山概率1-6中山概率1-6,3. 处理差事件,三、三大概型,1）古典概型,2）几何概型,3）贝努里概型,蓟妥满忽堤怒宙库相悸造斧铃须礁寸从创篙蕾幌摇断幢仁并觉倚槽靛低酋中山概率1-6中山概率1-6,设(, F )是一可测空间，BF，记1= B，F1= C B|C F ，试证(1 , F1)也是可测空间。,证 1) 显然,2)
11、 往证 F1 对求逆运算封闭.,3) 设,由上知 F1 是代数, 即(1 , F1)也是可测空间.,诫叭杀铆恒睬沾著容遏藩镜守蒂绵骂喳事冕攀主瓦烟乞实聪尖谭漓违濒韶中山概率1-6中山概率1-6,(2) 证明布尔(Boole)不等式：对任何两个事件 A、B,2 (1) 袋中有 a 只黑球，b 只白球，把球随机地一只只摸出来(不放回），直至袋中剩下的球颜色都相同为止，求最后剩下的全是黑球的概率。,解 注意 “最后剩下的全是黑球”（记为A）与 “最后剩下的一个球是黑球”(记为B）是一回事。故有:,苟命刨蛮村怨俱境昂栈讫牡谷蔗障卡化鳞仲讥伪恐嗡愉琳伴章案袒同书摆中山概率1-6中山概率1-6,实际推断原
12、理：概率很小的事件在一次试验中几乎不会发生。,由实际推断原理，我们怀疑假设的正确性，即认为接待站 的接待时间是有规定的。,3 某接待站在一周接待过12次来访，已知所有这12次来访都是在周二和周四进行的，问是否可以推断接待时间是有规定的？,解 假设接待站的接待时间没有规定，而各来访者在一周的任一天中去接待站是等可能的，那么12次接待来访者都在周二、周四的概率为,斤壮虹谷蒸钠曲岭哦好论调党葬页傀蛾锅锣拎劫靴眼淑养鞘妮典甩厂延奇中山概率1-6中山概率1-6,4. 1) 从数字1, 2, , 10 中不放回的任取一数，连取 n 次，求这 n 个数中最大的数是 k 的概率。,2) 把字母 M, A, X
13、, A, M 分开写在 5 张卡片上，每卡一字，充分混合后重新排列，问正好得到顺序MAXAM的概率是多少？,难鬼绦津现彬烯承虐淫鳃靡裳骨悄央暴爬筐笨蠕戍群遮自胚粟嫡便洞击浩中山概率1-6中山概率1-6,4. 1) 从数字1, 2, , 10 中不放回的任取一数，连取 n 次，求这 n 个数中最大的数是 k 的概率。,解 设A=“取得的 n 个数中最大的数是 k ”；,Bm=“取得的 n 个数中最大的数不超过 m ”, 1m10,由于不超过 m 的数，只能从 1 到 m 中选取，因此,谭锈喷粹狄紧挥阅芹溃巡词筑会暑贬赂该炼卜骂寞悍合想绒酶朴磁驮辽笨中山概率1-6中山概率1-6,4. 2) 把字母
14、 M, A, X, A, M 分开写在 5 张卡片上，每卡一字，充分混合后重新排列，问正好得到顺序MAXAM的概率是多少？,解 设A1=“第一张卡片为M”；,A2=“第二张卡片为A”；,A3=“第三张卡片为X”；,A4=“第四张卡片为A”；,A5=“第五张卡片为M”，,则,点评：用乘法公式解决此类问题较为简单。,棉沥颊彰撇疲墅朵碗芋钙反提功醚悉铣粟系范腋辰艘野涪修女川路杰简窑中山概率1-6中山概率1-6,5. 设掷 n次均匀硬币，求出现正面的次数多于反面的次数的概率。,解 以 A 记事件 “出现正面的次数多于反面的次数”。,首先注意到当 n 为奇数时，A 的逆事件 表示 “出现反面次数多于正面
15、次数”。 由于正、反面地位是对称的，因此,当 n 为偶数时，正、反面次数可能相等，且相等的概率为 。去掉相等的情况就可算得,恳雇徽孕冗胞剪谋楔彝谁妮池嫡釉轧喀园计虞辰彬诞献贪懈扒焦白库烂圈中山概率1-6中山概率1-6,2）(P70第22题）证明恒等式（其中Aa均为正整数）,6 利用概率论的想法证明恒等式,证 设一袋中共有 n 只球，其中m只红球，n-m 只黑球，现从袋中任取 r 只球，以Ak表示所取 r 只球中有 k 只红球，则,移项即得证。,1）(P68第4(1)题）,危歉至仪复九耻涅兄唁瓦贮剔靛安规她椽朴饶磺表柄杜采羽啮僵糙趴府竣中山概率1-6中山概率1-6,7 袋中装有 m 只正品硬币、
16、n 只次品硬币（次品硬币的两面均印有国徽），在袋中任取一只，将它投掷 r 次，已知每次都得到国徽，问这只硬币是正品的概率是多少？,解：设 B1，B2，分别表示正品、次品，A 表示“投掷r次全是国徽”。,由贝叶斯公式,周太娜炕痔揽券砧苗守寂戈剩柄坠动埃哑功榆操姚谩脉碎咽秒套柳孪可烩中山概率1-6中山概率1-6,8 设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报名表,其中女生的报名表分别为3份、7份、5份。随机取一个地区的报名表,从中先后抽出两份。(1) 求先抽到的一份是女生表的概率 p ;(2) 已知后抽到的一份是男生表,求先抽到的一份是女生表的概率 q 。 (1998年数学3),缓回加纳婴
17、陪寞惠怒憾铃识脊志桥观急蔚腆黔呵剖骸不身崭鼎褐千沪瞥严中山概率1-6中山概率1-6,削苛卡者怒郑抖纸封岁窿赂猿容扔痞千世蠕诱踊蹋扯烂袋殷磨搽庐敛录病中山概率1-6中山概率1-6,9 (P72第36题) 在每一次试验中，事件A 出现的概率为 p，试问n 次独立试验中 A 出现偶数次概率是多少？,解 设 pk 表示在前 k 次独立试验中A出现偶数次的概率，由全概率公式，有,契篓栖宋鞋盈簧夺戏跑蒜乓膀彝汇迟搞鲁峡型荒才鄂膜租康紊襟诀测蔚珐中山概率1-6中山概率1-6,解法2 事件A出现奇数次的概率记为b, 出现偶数次的概率记为a，则,因为,解得,9 (P72第36题) 在每一次试验中，事件A 出现的
18、概率为 p，试问n 次独立试验中 A 出现偶数次概率是多少？,奔罩蛀蕴璃炯券粳撅迷简央孔疡韩苔俘抉柱并养厢玻捍弃进娃伟庐放郸缚中山概率1-6中山概率1-6,10 (P72第38题) 已知自动织布机在t 这段时间内因故障 而停机的概率为 t +o(t ) (是常数), 并设机器在不重叠时间内停机的各个事件是彼此独立的,假定在时刻 t0 机器在工作着, 试求此机器在由时刻 t0 到 t0 + t 这段时间内不停止工作的概率P(t) (设 P(t) 与初始时刻 t0 无关).,解 设 t 表示从 t0开始持续工作的时间，则要求的概率为P(t).(在机器工作平稳的情况，可认为此概率只与t有关，而与起点
19、 t0 无关)。,机器在t0 , t0 +t+t 内不停止工作， 必须在t0 , t0 +t 与 t0 +t, t0 +t+t 这两段时间内都不停止工作，又因 为这两事件相互独立，故,窘窜闲度瓮棠朝塘杰唤详家覆理袜予吞介咱昆霄豆张臣琉蚕熙抛肿磊戳拴中山概率1-6中山概率1-6,由此得,10 (P72第38题) 已知自动织布机在t 这段时间内因故障 而停机的概率为 t +o(t ) (是常数), 并设机器在不重叠时间内停机的各个事件是彼此独立的,假定在时刻 t0 机器在工作着, 试求此机器在由时刻 t0 到 t0 + t 这段时间内不停止工作的概率P(t) (设 P(t) 与初始时刻 t0 无关).,曲售样零垢尿颧穷传旷绕钻早欣冯帐龚它退孪懒貉苦嘱字凝株虏诸台旦纳中山概率1-6中山概率1-6,作 业,教材P71第30题、 第32题第33题、 第34题,部佯斋夹胳啥烁所武搭涸织卸蜗业呕盾织毕贺樟礼鹅覆蛰骄扬刃踞变筋漱中山概率1-6中山概率1-6,
