1、1专题 8 “PA kPB”型的最值问题破解策略“PA kPB”型的最值问题，当 k1 时通常为轴对称之最短路径问题，而 当 k0 时，若以常规的轴对称的方式解决，则无法进行，因此必须转换思路1 当点 P 在 直线上如图，直线 BM， BN 交于点 B， P 为 BM 上的动点，点 A 在射线 BM， BN 同侧，已知sin MBN k过点 A 作 AC BN 于点 C，交 BM 于点 P，此时 PA kPB 取最小值，最小值即为 AC 的长PCBAMN证明 如图，在 BM 上任取一点 Q，连结 AQ，作 QD BN 于点 DNMAB CPDQ由 sin MBN k，可得 QD kQB所以 Q
2、A kQB QA QD AC，即得证2 当点 P 在圆上如图， O 的半径为 r，点 A， B 都在 O 外， P 为 O 上的动点，已知 r kOB在 OB 上取一点 C，使得 OC kr，连结 AC 交 O 于点 P，此时 PA kPB 取最小值，最小值即为 AC 的长 AB CPO证明 如图，在 O 上任取一点 Q，连结 AQ， BQ，连结 CQ， OQ2OPCBAQ则 OC kOQ， OQ kOB而 COQ QOB，所以 COQ QOB，所以 QC kQB所以 QA kQB QA QC AC，即得证例 1 如图，矩形 ABCD 中， AB6cm， BC cm，对角线 AC、 BD 相交
3、于点 O，5COD 关于 CD 的对称图形为 CED若点 P 为线段 AE 上一动点（不与点 A 重合） ，连接 OP，一动点 Q 从点 O 出发，以 1cm/s 的速度沿线段 OP 匀速运动到点 P，再以 15cm/ s 的速度沿线段 PA 匀速运动到点 A，到达点 A 后停止运动，当点 Q 沿上述路线运动到点 A 所需要的时间最短时，求 AP 的长和点 Q 走完全程所需的时间解：由题意可得，点 Q 运动到带你 A 的时间为217过点 E 作 EF AD，交 AD 的延长线于点 F则 EF3cm， AF cm523 AE cm，从而 sin EAF 9AFEA32过点 P 作 PG AD 于
4、点 G，则有 PG PA32过点 O 作 OH AD 于点 H，则 OH CD31而 OP PA PO PG OH， 所 以 t 最 小 3s32显 然 AH AF，所以 AP AE cm13123综上所述，当点 Q 沿上述路线运动到点 A 所需要的时间 最短时， AP 的长为 cm，点 Q23走完全程所需的时间为 3s4例 2 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y x22 mx m2 m 的顶点为 C直线y x2 与抛物线交于 A、 B 两点，点 A 在抛物线的对称轴左侧抛物线的对称轴与直线 AB交于点 M，作点 B 关于直线 MC 的对称点 B以 M 为圆心， MC 为半径的圆上存在一
5、点 Q，使得 QB QB 的值最小， 则这个最小值为多少？解： y x22 mx m2 m （ x m） 2 m顶点 C 的坐标为（ m， m），从而点 M 的坐标为（ m， m2）连结 MQ，则 MQ MC2联立方程组 2xy可得点 A（ m1， m 1）， B（ m2， m 4） BM ，即 MQ MB)4()2( 2取 MB 的 中 点 N， 则 MN MB MQ21连 结 QN， 易 证 QMB NMQ QN QB2连 结 B N， 则 QB QB QB QN B N2易 得 直 线 AB 与 y 轴 的 夹 角 为 45， 所 以 AMC 45连 结 B M， 则 B MB 2 AMC 90在 RtB MN 中 ， B N 1)(2即 QB QB 的 最 小 值 为21051.如图在 ACE 中， CA CE， CAE30， O 经过点 C，且圆的直径 AB 在线段 AE 上，设 D 是线段 AC 上任意一点 （不含端点） ，连接 OD，当 CD OD 的最小值为 6 时，求 O 的21直径 AB 的长2如图，在 ABC 中， B90， AB BC2，以点 B 为圆心作 B 与 AC 相 切， P 为B 上任意一点，求 PA PC 的最小值2
