1、1专题 22 直角三角形的存在性破解策略以线段 AB 为边的直角三角形构造方法如右图所示：A BABECFEFABC直角三角形的另一个顶点在以 A 在以 AB 为直径的圆上，或过 A、 B 且与 AB 垂直的直线上（ A， B 两点除外） 解直角三角形的存在性问题时，若没有明确指出直角三角形的直角，就需要进行分类讨论通常这类问题的解题策略有：（1）几何法：先分类讨论直角，再画出直角三角形，后计算如图，若 ACB90过点 A、 B 作经过点 C 的直线的垂线，垂足分别为 E、 F则AEC CFB从而得到线段间的关系式解决问题（2）代数法：先罗列三边长，再分类讨论直角，根据勾股定理列出方程，然后解
2、方程并检验有时候将几何法和代数法相结合可以使得解题又快又好！例题讲解例 1 如图，抛物线 l： y ax22 x3 与 r 轴交于 A， B（3，0）两点（点 A 在点 B 的左侧） 与 y 轴交于点 C（0，3） 已知对称轴为 x1（1）求抛物线的表达式；（2）设点 P 是抛物线 l 上任意一点，点 Q 在直线 x3 上，问： PBQ 能否成为以点 P为直角顶点的等腰直角三角形？若能，求出符合条件的点 P 的坐标；若不能，请说明理由xyC BAOlxyCM NABOQl P xylQAONBPM解：（1 ）由题意可得点 A 的坐标为（1，0） 所以抛物线表达式可变为 y a（ x3） （ x
3、1） ax22 ax3 a 由点 C 的坐标可得3 a3， a1所以抛物线的表达式为 y x22 x3（2）如图，过点 P 作 PM 垂直于直线 l，垂足为 M过点 B 作 BN 垂直于直线 PM垂足为 N2若 PBQ 是以点 P 为直角顶点的等腰直角三角形，无论点 P 在 BQ 的上方或下方，由“弦图模型”均可得 PQM BPN 所以 PM BN设点 P 的坐标为（ m， H， m22 m3） 则 PM| m3|， BN| m22 m3|，所以|m3| m22 m3|解得 m10， m21， m3 ， m4+23所以点 P 的坐标为（0，3） ， （1，4） ， （ ， ） ， （ ， ）
4、9 2 3+ 9例 2 如图，一次函数 y2 x10 的图象与反比例函数 y （ k0）的图象相交于xA、 B 两点（点 A 在点 B 的右侧） ，分别交 x 轴 y 轴于点 E， F若点 A 的坐标为（4 ，2） 问：反比例函数图象的另一支上是否存在一点 P 使 PAB 是以 AB 为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由，xyBAFPOE xyOP EBFA解：将点 A（4，2）代入反比例函数表达式，得 k8，所以反比例函数为 y ， 8x联立方程纽组 ， 解得 ，210y142xy18所以点 B 的坐标为（1，8） 由题意可得点 E F 的坐标
5、分剐为（5，0） ， （0，10） ，以 AB 为直角迎的直角三角形有两种情况：如图 1，当 PAB90时，连结 OA，则 OA 245而 AE ， OE5，所以 OA2 AE2 OE2，21即 OA AB所以 A， O， P 三点共线由 O、 A 两点的坐标可得直线 AP 的表达式为 y x13联立方程组 解得 ，812yx142xy所以点 P 的坐标为（4，2） 如图 2，当 PBA90时，记 BP 与 y 轴的交点为 G易证 FBC FOE，所以 ，FBOGE而 FO10 FE ， FB 25105215可求得 FG ，所以点 G 的坐标为（0， ） 由 B， G 两点的坐标可得直线 B
6、P 的表达式为 y x ，12联立方程组 解得1528yx ， ， 18xy ， ； 216 ， .所以点 P 的坐标为（16， ） ；2综上可得，满足条件的点 P 坐标为（4，2）或（16， ） 12图2FG xyAEOP例 3 如图，抛物线 C1： y a（ x2） 25 的顶点为 P，与 x 轴相交于 A， B 两点（点A 在点 B 的左侧） ，点 A 的横坐标是1 D 是 x 轴负半轴上的一个动点，将抛物线 C1绕点D 旋转 180后得到抛物线 C2抛物线 C2的顶点为 Q，与 x 轴相交于 E， F 两点（点 E 在点F 的左侧） 当以点 P， Q， E 为顶点的三角形是直角三角形时
7、，求顶点 Q 的坐标4C1BADOF EQC2 Pxy解 由题意可得点 A（1，0） ， P（2，5） ， B（5，0） 设点 D 的坐标为（ m，0） ，则点 Q 的坐标为（2 m2，5） ， E 的坐标为（2 m5，0） ，所以 PQ2（2 m4） 2 10 2， PE2（2 m7） 25 2， EQ23 25 234 PQE 为直角三角形有三种情况：当 PQE 90时，有 PE2 PQ2 EQ2，即（2 m7） 25 2（2 m4） 210 234，解得 m ，所以点 Q 的坐标为（193，5） ；43当 QEP90时，有 PQ2 PE2 EQ2，即（2 m4） 210 2（2 m7）
8、25 234，解得 m ，所以点 Q 的坐标为（23，5） ；103当 QPE 90时，有 EQ2 PE2 PQ2，即（2 m7） 25 2（2 m4） 210 234，方程无解，所以此种情况不成立，综上可得，当 PQE 为直角三角形时，顶点 Q 的坐标为（ ，5）或43（ ，5） 103例 4 如图在直角梯形 ABCD 中， AD BC， B 90， AD2， BC6， AB3 E为 BC 边上一点，当 BE2 时，以 BE 为边作正方形 BEFG，使 正方形 BEFG 和梯形 ABCD 在BC 的同侧当正方形 BEFG 沿 BC 向右平移，记平移中的正方形 BEFG 为正方形 B EFG，
9、当点 E 与点 C 重合时停止平移设平移的距离为 t，正方形 BEFG 的边 EF 与 AC 交于点 M，连结 B D， BM， DM问：是否存在这样的 t，使 BDM 是直角三角形，若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由EB MFG CDAB5解 存在满足条件的 t理由如下：如图，过点 D 作 DH BC 于点 H，过点 M 作 MN DH 于点 N，则 BH AD2， DH AB3所以 BB HE t， HB| t2|， EC4 t 易证 MEC ABC，可得 ，即 ，所以 ME2 tMEABC3E6t 1在 Rt B ME 中，有 B M2 ME2 B E2 t22 t84在 Rt
10、 DHB中，有 B D2 DH2 B H2 t24 t13在 Rt DMN 中， DN DH NH t1则 DM2 DN2 MN2 t2 t154若 DBM90，则 DM2 BM2 BD2，即 t2 t1（ t22 t8）（ t24 t13） ，54解得 t1 ；07若 BMD90，则 BD2 BM2 DM2，即 t24 t13（ t22 t8）（ t2 t1） ，1454解得 t23 ， t33 （舍） ；77若 BDM90，则 BM2 BD2 DM2，即 t22 t8（ t24 t13）（ t2 t1） ，1454此方程无解综上所得，当 t 或3 时， BDM 是直角三角形0717NHBA
11、 D CGFMB E进阶训练1如图，在平面直角坐标系 xOy中，Rt OAB 的直角顶点 A 在 x 轴上， OA 4， AB3动点 M 从点 A 出 发，以每秒 1 个单 位长度的速度，沿 AO 向终点 O 移动；同时点 N 从点 O 出发，以每秒 125 个单位长度的速度，沿 OB 向终点 B 移动当两个动点运动了 x（0 x4）时，解答下列问题：（1）求点 N 的坐标（用含 x 的代数式表示） ；6（2）在两个动点运动过程中，是否存在某一时刻，使 OMN 是直角三角形？若存在，求出 x 的值；若不存在 ，请说明理由 yxMNA BO解：（1） N（ x， x） ；34（2）当 OMN 是
12、直角三角形时， x 的值为 2 或 641【提示】 （1）过点 N 作 NP OA 于点 P，由 PON AOB 即可求得；（2）分类讨论，通过 OMN 和 OAB 相似即可列出等式求得 x 的值PO BA NMxy2如图，在平面直角坐标 xOy 中，直线 y kx3 与双曲线 y 的两个交点为4xA，B其中 A（1， a） 若 M 为 x 轴上的一个动点，且 AMB 为直角三角形，求满足条件的点 M 的坐标A xy BO解：满足条件的点 M 的坐标为（5，0） ， （5，0） ， （ ，0）或（ ，0） 3412 3412【提示】先求出点 A， B 的坐标，再设点 M 的坐标，从而用待定字母
13、表示AM2， BM2， AB2然后讨论直角，根据勾股定理列方 程即可3如图，抛物线 与 x 轴交于 A， B 两点（点 A 在点 B 的左侧） ，与 y 轴2384yx=-+7交于点 C（1）求点 A， B 的坐标；（2）若直线 l 过点 E（4，0） ， M 为直线 l 上的一个动点，当以 A， B， M 为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线 l 的表达式OCBA y xD EM32M1OCBAy x解：（1） A（4，0） ， B（2，0） ；（2）直线 l 的表达式为 或 34yx=-+34yx=-【提示】 （2）若 ABM 是直角三角形，则点 M 在以 AB 为直径的圆上，或过
14、 A， B 且与 AB 垂直的直线上（ A， B 两点除外） 由题意可得直线 l 与以 AB 为直径的圆相切（如图） ，点M1， M2， M 3即为满足条件的三个点，此时直线 l： ；根据对称性，直线 l 还34yx-+可以为 4yx=-4，如图，顶点为 P（4，4）的二次函数图象经过原点 O（0，0） ，点 A 在该图象上， OA交其对称轴 l 于点 M，点 M， N 关于点 P 对称，连结 AN， ON（1）求该二次函数的表达式；（2）当点 A 在对称轴 l 右侧的二次函数图象上运动时，请回答下列问题：证明： ANM ONM； ANO 能否为直角三角形？如果能，请求出所有符合条件的点 A
15、的坐标；如果不能，请说明理由 yxO AMNPDllDHPNMAO xy解：（1） ；（2）略； ANO 能为直角三角形，符合条件的点 A 的坐标14yx=-为 (2,)+8【提示】 （2）过点 A 作 AH l 于点 H，令 l 与 x 轴的交点为 D设点 A（ m， ） ，214-则直线 AO 的表达式为 ，从而求得点 M 的坐标为（4， m8） ， N 的坐标为1(2)4ymx=-（4， m） ，只需证明 tan ANHtan OND 即可；分类讨论：当 ANO90时， ANM ONM45，点 N 与点 P 重合，点 M 与点 D 重合，不满足 M， N 关于点 P 对称，故此时不存在这
16、样的点 A；当 NOA90时，有 ，求得满足条件的点 A ；12OMN=(42,)+当 NAO90时，有 ，即 ，解得 m4，A2221(4)(mm-=-此时点 A， P 重合，不满足题意5抛物线 y x22 x3 的顶点为 C，点 A 的坐标为（1，4） ，其对称轴 l 上是否存在点 M，使线段 MA 绕点 M 逆时针旋转 90得到线段 MB，且点 B 恰好落在抛物线上？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由解：存在，点 M 的坐标为（1，2）或（1，5） 【提示】如图，连结 AC，则 AC l，作 BD l 于点 D，则 MCA BDM，从而MD AC2， BD MC无论点 A， B 在 l 同侧还是异侧，设点 M（1， m） ，都 可得B（ m3， m2） ，代入抛物线表达式即可求得 m2 或 5，从而点 M 的坐标为（1，2）或（1，5） B2M2M1D2D1OCB1Aly x
