1、1专题 6 轴对称之最短路径破解策略用轴对称思想解决线 段最值问题是常用的方法，本质是利用三角形三边关系解决问题常见的题型有：1已知：在直线 l 同恻有 A B 两点，在 l 上找一点 P，使得 AP PB 最小作法：如图作点 A 关于直线 l 的对称点 A，连结 AB，与直线，的交点就是点 P2已知：在直线 l 同侧有 A， B 两点，在 l 上找一点 P，使得| AP PB|最小作法：如图，连结 AB，作线段 AB 的垂甫平分线与直线 l 的交点就是点 P3已知：在直线 l 同侧有 A， B 两点，在 l 上找一点 P使得| AP PB|最大作法：如图，连结 BA 并延长，与直线，的交点就
2、是点 PABlBAP lAABlABlPABllA BP24已知：在直线 l 同侧有 A， B 两点在 l 上找两点 C， D（其中 CD 的长度固定，等于所给线段 d） ，使得 AC CD DB 最小，作法：如图，先将点 A 向右平移口个单位长度到点 A，作 A关于直线 l 的对称点 A“，连结 A“B，与直线 l 的交点就是点 D连结 AD，过点 A 作 AC AD，交直线 l 于点 C则此时 AC CD DB 最小5已知：在 MON 内有一点 P，在边 ON， OM 上分别找点 Q， R，使得 PQ QR RP 最小作法：如图，分别作点 P 关于射线 OM 的对称点 P， P“，连结 P
3、P“，与射线 ON，OM 的交点就是点 Q， R6已知：在 MON 内有一点 P，在边 OM， ON 上分别找点 R， Q使得 PR QR 最小ABlaA“AlBAC DO NMPPPP“O NMRQO NMP3作法：如图，作点 P 关于射线 OM 的对称点 P，作 PQ ON，垂足为 Q， PQ 与射线 ON 的交点就是 R7已知：在 MON 内有两点 P， Q，在边 OM， ON 上分别找点 R， S使得 PR RS SQ 最小作法：如图，作点 P 关于射线 OM 的对称点 P，作点 Q 关于射线 ON 的对称点 Q，连纳 PQ与射线 OM， ON 的交点就是 R， S例题讲解例 1 （1
4、）如图 1，等边 ABC 中， AB2， E 是 AB 的中点， AD 是高，在 AD 上作出点P，使 BP EP 的值最小，并求 BP PE 的最小值（2）如图 2，已知 O 的直径 CD 为 2， 的度数为 60，点 B 是 的中点，在直径ACACCD 上作出点 P，使 BP AP 的值最小，并求 BP AP 的最小值（3）如图 3，点 P 是四边形 ABCD 内一点， BP m， ABC ，分别在边 AB， BC 上作出点 M， N，使 PMN 的周长最小，并求出这个最小值（用含 m， 的代数式表示） B DCAB DCA POEDCBAPPQO NMRPO NMQPPQO NMQSR4
5、图 1 图 2 图 3解 HNMFEPA CDBEP OAC DBAB CDE（1） （作法是：作点 B 关于 AD 的对称点，恰好与点 C 重合，连接 CE 交 AD 于一点，这3点就是所求的点 P） ；（2） （作法是：作点 B 关于 CD 的对称点 E，连 接 AE 交 CD 于一点，这点就是所求的点 P） ；（3）分别作点 P 关于边 AB， BC 的对称点 E， F，连结 EF，分别与边 AB， BC 交于点M， N，线段 EF 的长度即为 PMN 的周长的最小值如图，连 结 BE， BF， EBF2 ABC2 ， BE BF BP m过点 B 作 BH EF 于点 H，所以 EBH
6、 EBF ， EH FH1在 Rt BEH 中，sin ，EB所以 EH BEsin msin ，所以 EF2 msin ，即 PM PN MN EF2 msin 例 2 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，分别以点 A（2，3） ， B（3，4）为圆心，以 1，3为半径作 A， B， M， N 分别是 A， B 上的动点，点 P 为 x 轴上的动点，求 PM PN 的最小值xyPMNBAOMAOABNMPy x5解 如图，作 A 关于 x 轴的对称图形 A，连结 AB，与 x 轴交于点 P，与 A交点为M，与 B 交点为 N，连结 PA， PA 与 A 交点为 M，则此时 PA PB 值最小
7、，从而 PM PN 值也最小，最小值为线段 MN 的长如图，易得 A（2，3） ，由两电间距离公式得 AB5 2故 MN5 4，即 PM PN5 42例 3 如图 1，等边 ABC 的边长为 6， AD， BE 是两条边上的高，点 O 为其交点P， N 分别是 BE， BC 上的动点QON EPB DCAA CDBPENO图 1 图 2（1）当 PN PD 的长度取得最小值时，求 BP 的长度；（2）如图 2，若点 Q 在线段 BO 上， BQ1，求 QN NP PD 的最小值QDACDBP ENOQD ON EPB DCA图 3 图 4解 （1）由等边三角形轴对称的性质可得，点 D 关于 B
8、E 的对称点 D在 AB 上，且为 AB的中点如图 3，过点 D作 BC 的垂线，垂足为 N， DN 交 BE 于点 P，连结 PD，则 PD PD此时 DN 的长度即为 PN PD 长度的最小值显然 DN AD，即点 N 为 BD 的中点所以 BN BC ，1432从而 BP cos（2）如图 4，作点 Q 关于 BC 的对称点 Q，则 BQ1， CBQ30点 D是点 D 关于 BE 的对称点，连接 DQ，交 BE 于点 P，交 BC 于点 N此时 DQ即为 QN NP PD 的最小值6显然 DBQ90，所以 DQ ，2B10即 QN NP PD 的最小值为 进阶训练1两平面镜 OM， ON
9、 相交于点 O，且 OM ON，一束光线从点 A 出发，经过平面镜反射后，恰好经过点 B，光线可以只经过平面镜 OM 反射后过点 B，也可以只经过平面镜 ON 反射后过点 B除了这两种作法外，还有其他方法吗？如果有，请在图中画出光线的行进路线，保留作图痕迹，并简要说明理由AOB MNDC AB NMBO A答案：作点 A 关于 OM 的对称点 A，作点 B 关于 ON 的对称点 B，连接 AB，与 OM， ON 分别交于点 D，C光线行进路线如图2 （1）在 A 和 B 两地之间有一条河，现要在这条河上建一座桥 CD，桥建在何处才能使从 A 到 B 的路径最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要
10、与河岸垂直）（2）如图 2，在 A 和 B 两地之间有两条河，现要在这两条河上各建一座桥，分别是 MN 和PQ， 桥分别建在何处才能使从 A 到 B 的路径最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直）解：（1）如图，过点 B 作 BB垂直于河岸，且使 BB长度等于这条河宽，连接 AB交河的一岸于点 C，过点 C 作 CD 垂直于河岸，与另一岸交点为 D，则 CD 即为架桥最合适的位置（ 2）如图，过点 A 作 AA垂直于距点 A 较近的河岸，且使 AA长等于该河宽，同样，过点 B 作 BB垂直于距点 B 较近的河岸，且使 BB长等于河宽，连接 AB分别交两条河相邻的河岸于点 N， P，
11、过点 N 作 NM 垂直于该河河岸，与另一岸交点为 M， 过 P 作 PQ 垂7直于该河河岸，与另一岸交点为 Q， 则 MN， PQ 即为架桥最合适的位置ABBA图 1 图 2DCBA MQPNA B3 如图，直线 分别与 x 轴， y 轴交于点 A， B，抛物线 y x22 x1 与 y34yx轴交于点 C 若点 E 在抛物线 y x22 x1 的对称轴上移动，点 F 在直线 AB 上移动，求 CE EF 的最小值xyCBAO提示：作点 C 关于对称轴 x1 的对称点 C， 则 C（2，1） 过点 C作 CF AB 于点F， 且于对称轴交于点 E， 此时 FC的长为 CE EF 的最小值 连接 CB， CA， 作CK x 轴于点 K， 则 S ABC S ABD S梯形 CKOB S CKA AB FC，解得 FC ， 145则 CE EF 的最小值是 458xyx=1EFKCCBAO
