1、1专题 16 对角互补模型破解策略1全等型之“90”如图， AOB DCE90， OC 平分 AOB，则 AO BD CE（1） CD CE；（2 ） OD OE OC；2（3） 21OCDES证明 方法一：如图，过点 C 分别作 CM OA， CN OB，垂足分别为 M， N由角平分线的性质可得 CM CN， MCN90所以 MCD NCE，从而 MCD NCE（ ASA） ，故 CD CE易证四边形 MONC 为正方形所以 OD OE OD ON NE2 ON OC所以 221OCDEMNSS正 方 形方法二：如图，过 C 作 CF OC，交 OB 于点 F易证 DOC EFC45， CO
2、 CF， DCO ECF所以 DCO ECF（ ASA）所以 CD CE， OD FE，可得 OD OE OF 2O所以 21OCDECFSS【拓展】如图，当 DCE 的一边与 AO 的延长线交于点 D 时，则：NMAO BD CEFAO BD CE2BA ECOD（1） CD CE；（2） OE OD OC；2（3） 21OCEDS如图，证明同上FDOC EA BNMDOC EA B2全等型之“1 20”如图， AOB2 DCE120， OC 平分 AOB，则：O BECDA（1） CD CE；（2） OD OE OC；（3） 234OCDESC证明 方法一：如图，过点 C 分别作 CM O
3、A， CN OB，垂足分别为 M， N所以 22OCDEONS易证 MCD NCE（ ASA） ，所以 CD CE， OD OE2 ON OC3NMADCEBO FADCEBO方法二：如图，以 CO 为一边作 FCO60，交 OB 于点 F，则 OCF 为等边三角形易证 DCO ECF（ ASA） 所以 CD CE， OD OE OF OC， S OCD S OCE S OCF OC 243【拓展】如图，当 DCE 的一边与 BO 的延长线交于点 E 时，则：（1） CD CE；（2） OD OE OC；（3） S OCD S OCE OC 243如图，证明同上EOBA CDNMEOBA CD
4、FEOBA CD3、全等型之“任意角”如图， AOB2 ， DCE1802 ， OC 平分 AOB，则：（1） CD CE；（ 2） OD OE2 OCcos ；（3） S ODC S OEC OC 2sin cos EO BACD证明：方法一：如图，过点 C 分别作 CM OA， CN OB，垂足分别为 M， N易证 MCD NCE（ ASA） CD CE， OD OE2 ON2 OCcos S ODC S OEC2 S ONC OC 2sin cos方法二：如图，以 CO 为一边作 FCO1802 ，交 OB 于点 FMNEO BACD4FEO BACD易证 DCO ECF（ ASA） C
5、D CE， OD OE OF2 OCcos S ODC S OEC S OCF OC 2sin cos【拓展】如图，当 DCE 的一边与 BO 的延长线交于点 E 时，则：（1） CD CE；（2） OD OE2 OCcos ；（3） S ODC S OEC OC 2sin cos如图，证明同上 EO BACD MNEO BACDFEO BACD4、相似性之“90”如图， AOB DCE90， COB ，则 CE CDtan DAO BCE方法一：如图，过点 C 分别作 CM OA， CN OB，垂足分别为 M、 N MNDAOCE易证 MCD NCE， ，即 CE CDtantanCMNDE
6、方法二：如图，过点 C 作 CF OC，交 OB 于点 FFDAO BCE5易证 DCO ECF， ，即 CE CDtantanCOFDE方法三：如图，连接 DE易证 D、 O、 E、 C 四点共圆 CDE COE ，故 CE CDtan【拓展】如图，当 DCE 的一边与 AO 的延长线交于点 D 时，则 CE CDtanEO BDCA如图，证明同上 MNEO BDCAFEO BDCAEO BDCA例题讲解例 1、已知 ABC 是 O 的内接三角形， AB AC，在 BAC 所对弧 BC 上任取一点 D，连接AD， BD， CD（1）如图 1，若 BAC120，那么 BD CD 与 AD 之间
7、的数量关系是什么？（2）如图 2，若 BAC ，那么 BD CD 与 AD 之间的数量关系是什么？图1AOB CD图2AOB CD解：（1） BD CD AD3图3FEAOB CD如图 3，过点 A 分别向 BDC 的两边作垂线，垂足分别为 E、 F由题意可得 ADB ADC30DAO BCE6易证 AEB AFC BD CD2 DE AD3 BD CD2 AD sin 2如图 4，作 EAD BAC，交 DB 的延长线于点 E则 EBA DCA，所以 BE CD， AE AD作 AF DE 于点 F，则 FAD 所以 BD CD DE2 DF2 ADsin 22例 2 如图 1，将一个直角三
8、角板的直角顶点 P 放在正方形 ABCD 的对角线 BD 上滑动，并使其一条直角边始终经过点 A，另一条直角边与 BC 相交于点 F求证： PA PE；如图 2，将中的正方形变为矩形，其余不变，且 AD10， CD8，求 AP： PE 的值；如图 3， 在的条件下，当 P 滑动到 BD 的延长线上时， AP： PE 的值是否发生变化？解：如图 4，过点 P 分别作 PM AB， PN BC，垂足分别为 M， N则 PM PN， MPN90，由已知条件可得 APE90，所以 APM EPN，所以APM EPN故 AP PE如图 5，过点 P 分别作 PM AB， PN BC，垂足分别为 M， N
9、则 PM AD， PN CD所以 BPM BDA， BNP BCD可得 ，所以 PBACD54PA易证 APM EPN，所以 54AMENDFBE OAC图 4图 3ADB EPFCA DBPCE图 2A DPB E C图 1图 4A DPB E CNM7 AP： PF 的值不变如图，理由同进阶训练1如图，四边形 ABCD 被对角线 BD 分为等腰 Rt ABD 和 Rt CBD，其中 BAD 和 BCD 都是直角，另一条对角线 AC 的长度为 2，则四边形 ABCD 的面积为_答案：四边形 ABCD 的面积为 2【提示】易证 A、 B、 C、 D 四点共圆，则 BCA BDA ABD ACD
10、，由“全等型之90”的结论可得 S 四边形 ABCD AC2212在 ABC 中， AB AC， A60， D 是 BC 边的中点， EDF120， DE 与 AB 边相交于点 E， DF 与 AC 边（或 AC 边的延长线）相交于点 F如图 1， DF 与 AC 边相交于点 F，求证： BE CF AB；12如图 2，将图 1 中的 EDF 绕点 D 顺时针旋转一定的角度，使 DF 与 AC 边的延长线交于点F，作 DN AC 于点 N，若 DN FN，求证： BE CF （ BE CF） 3答案：略图 5A DBPCE NM图 6A DB EPFCMNABCD第 1 题图第 1 题图 1A
11、EFCDBAEFCDBN第 1 题图 28【提示】过点 D 作 DG AC 交 AB 于点 G，证 DEG DFC，从而 BE CF BE EG BGAB12第 1 题答图 1AEFCDBG过点 D 作 DG AC 交 AB 于点 G，同可得 BE CF AB DC ，延长 AB 至点 H，23DN使得 BH CF，则 DH DF DE，从而 BE CF HE DE DN2 DN，所以BE CF （ BE CF） 3第 1 题答图 2AEFCDBNHG3在菱形 ABCD 中，两条对角线 AC， BD 相交于点 O， MON BCD180， MON 绕点 O旋转，射线 OM 交 BC 于点 E，
12、射线 ON 交 CD 于点 F，连结 EF如图 1，当 ABC90时， OEF 的形状是_；如图 2，当 ABC60时，请判断 OEF 的形状，并说明理由；如图 3，在的条件下，将 MON 的顶点移动到 AO 的中点 O处， MON 绕点 O旋转，仍满足 MON BCD180，射线 OM 交直线 BC 于点 E，射线 ON 交直线 CD 于点 F，当 BC4，且 时，求 CE 的长98OEFABCDSV四 边 形第 3 题图 1A DB COM EFNAB CDOFEM N第 3 题图 2A DB COO第 3 题图 3答案：等腰直角三角形； OEF 是等边三角形；线段 CE 的长为 3 3 或3 3【提示】由“全等型之120 ”的结论可得 OE OF两种情况，如图：9第 3 题答图A DBCOOF NEMEMF N
