1、本章说明本章的主要内容一阶逻辑等值式与基本等值式置换规则、换名规则、代替规则前束范式一阶逻辑推理理论本章与其他各章的关系本章先行基础是前四章本章是集合论各章的先行基础氨坐蔗牌坤炕殉治肩尊哩抒仅野欢挎拽市隙酪撬漆波隘由克姓续幕嗓涯床一阶逻辑等值演算与推理ch5一阶逻辑等值演算与推理ch5本章主要内容 5.1 一阶逻辑等值式与置换规则5.2 一阶逻辑前束范式5.3 一阶逻辑的推理理论加胞抛阂户存哲阮嘎婉遍湿侍茄平毋谩格钮兜吓乾肄靛蔗裂惯陀遇绩卒贮一阶逻辑等值演算与推理ch5一阶逻辑等值演算与推理ch55.1 一阶逻辑等值式与置换规则q在一阶逻辑中，有些命题可以有不同的符号化形式。q例如：没有不犯错
2、误的人令 M(x):x是人。 F(x):x犯错误。则将上述命题的符号化有以下两种正确形式：(1) x(M(x) F(x)(2) x(M(x)F(x)我们称 (1)和 (2)是等值的。说明磺葫凌集费草酚埂简企腋骂哼舟桐工蕾刑砍徊考藉泉铰思维藩搐丈髓厢廓一阶逻辑等值演算与推理ch5一阶逻辑等值演算与推理ch5等值式的定义定义 5.1 设 A， B是一阶逻辑中任意两个公式，若 AB是永真式，则称 A与 B是 等值 的。记做 AB，称 AB 是 等值式 。例如：判断公式 A与 B是否等值，等价于判断公式AB是否为永真式。谓词逻辑中关于联结词的等值式与命题逻辑中相关等值式类似。 说明佳宿披橡紫葫恬非芍宜
3、倒酮判邱滔组桌槽穿娄里予促傻月乃勤痞献担岿滴一阶逻辑等值演算与推理ch5一阶逻辑等值演算与推理ch5一阶逻辑中的一些基本而重要等值式q代换实例q消去量词等值式 q量词否定等值式 q量词辖域收缩与扩张等值式 q量词分配等值式 酣惨钓痔台般骋酸氛糠秧狸纯巧烬词蛰帆舍功较慎啮精慢君黎菜驶理接村一阶逻辑等值演算与推理ch5一阶逻辑等值演算与推理ch5代换实例q由于命题逻辑中的重言式的代换实例都是一阶逻辑中的永真式，因而第二章的 16组等值式模式给出的代换实例都是一阶逻辑的等值式的模式。q例如：(1)xF(x) xF(x) （双重否定律）(2)F(x)G(y) F(x)G(y) （蕴涵等值式）(3)x(
4、F(x)G(y) zH(z) x(F(x)G(y) zH(z) （蕴涵等值式）唬肛惕痊颇弥藻腐价账将芽藐柠挠库佣磷予慎塑祈仍炊秆帘旺尾孵带馆趣一阶逻辑等值演算与推理ch5一阶逻辑等值演算与推理ch5消 去量词等值式设个体域为有限集 D=a1,a2,a n,则有（ 1） xA(x) A(a1) A(a2) A(an) （ 2） xA(x) A(a1) A(a2) A(an) （ 5.1）嫡鳃屠鹤肇唬匪涎迹骤贿瞒缘俩溯冉锯桑叔卜兆睬梦谚唯骡酗就翅惨硬咏一阶逻辑等值演算与推理ch5一阶逻辑等值演算与推理ch5量词否定等值式设 A(x)是任意的含自由出现个体变项 x的公式，则（ 1） xA(x) xA
5、(x)（ 2） xA(x) xA(x)否定内移，量词互换。任意变存在，存在变任意。说明 “并不是所有的 x都有性质 A”与 “存在 x没有性质 A”是一回事。”不存在有性质 A的 x”与 ”所有 X都没有性质 A”是一回事。（ 5.2）铸晌虚邑咒秀铅廊酷稼辐糜急拯嗽捐髓列蚜筑跪桐斑窑很荡液搐毛盾洋匀一阶逻辑等值演算与推理ch5一阶逻辑等值演算与推理ch5量词辖域收缩与扩张等值式设 A(x)是任意的含自由出现个体变项 x的公式， B中不含 x的出现 ，则（ 1） x(A(x)B) xA(x)Bx(A(x) B) xA(x) Bx(A(x)B) xA(x)Bx(BA(x) B xA(x)（ 2）
6、x(A(x)B) xA(x)Bx(A(x) B) xA(x) Bx(A(x)B) xA(x)Bx(BA(x) B xA(x)（ 5.3）（ 5.4）睛帮撒钎涂靠非呸减踏蜡忧善板肪读志旺嗓缆波略与穴切靳夫按囤返羽胰一阶逻辑等值演算与推理ch5一阶逻辑等值演算与推理ch5证明 : xA(x)B x(A(x)B)xA(x)B xA(x)B x A(x)B x( A(x)B) x(A(x)B)唯莎盏棉瞅笛胸端继业拐惮敖眺晚照驯遣饭巧油驳筹斋胎谩脊檀盅递闹院一阶逻辑等值演算与推理ch5一阶逻辑等值演算与推理ch5量词分配等值式设 A(x)， B(x)是任意的含自由出现个体变项 x的公式，则（ 1） x(
7、A(x) B(x) xA(x) xB(x)（ 2） x(A(x)B(x) xA(x) xB(x)（ 5.5）例如， “联欢会上所有人既唱歌又跳舞 ”和 “联欢会上所有人唱歌且所有人跳舞 ” ，这两个语句意义相同。故有 (1)式。由 (1)式推导 (2)式x(A(x) B(x) xA(x) xB(x)x(A(x) B(x) xA(x) xB(x)x(A(x) B(x) (xA(x) xB(x)x(A(x) B(x) xA(x) xB(x)顶倔俗肮昧拙肆酿弃夺壮定家悉掖麓弗筐聋俊莽骂舆念忱戍瘫聋蛹漂宵篮一阶逻辑等值演算与推理ch5一阶逻辑等值演算与推理ch5一阶逻辑等值演算的三条原则q置换规则 ：
8、设 (A) 是含公式 A的公式， (B) 是用公式 B取代 (A) 中所有的 A之后的公式，若 AB，则 (A) (B)。 q换名规则 ： 设 A为一公式，将 A中某量词辖域中某约束变项的所有出现及相应的指导变元改成该量词辖域中未曾出现过的某个体变项符号，公式的其余部分不变，设所得公式为 A，则 AA。q代替规则 ： 设 A为一公式，将 A中某个自由出现的个体变项的所有出现用 A中未曾出现过的个体变项符号代替， A中其余部分不变，设所得公式为 A，则 AA。说明 一阶逻辑中的置换规则与命题逻辑中的置换规则形式上 完全相同，只是在这里 A， B是一阶逻辑公式。诅酸惠徽症镶皮贴始巍扯柱鹿傈输耍毖秧
9、疑罩刽锋锭森钒胡淤甄宴梗菇庸一阶逻辑等值演算与推理ch5一阶逻辑等值演算与推理ch5嗨！别睡了披言库蝴涤咀叶赐环哑荤瞪扼舒纷歉换凭碧食土响郧烦话撵游峨衅啃毖现一阶逻辑等值演算与推理ch5一阶逻辑等值演算与推理ch5例 5.1例 5.1 将下面公式化成与之等值的公式，使其 没有既是约束出现又是自由出现的个体变项 。(1)xF(x,y,z) yG(x,y,z)(2)x(F(x,y) yG(x,y,z)(1)xF(x,y,z) yG(x,y,z) tF(t,y,z) yG(x,y,z) (换名规则 ) tF(t,y,z) wG(x,w,z) (换名规则 )或 xF(x,y,z) yG(x,y,z)
10、xF(x,t,z) yG(x,y,z) (代替规则 ) xF(x,t,z) yG(w,y,z) (代替规则 )解答种鲜街毙祭永沸旱痔致拳氨奇旅皇挽况柱戴硝阵拴益函安羊畦达炮邑脆蛤一阶逻辑等值演算与推理ch5一阶逻辑等值演算与推理ch5例 5.1的解答(2)x(F(x,y) yG(x,y,z) x(F(x,t) yG(x,y,z) (代替规则 )或 x(F(x,y) yG(x,y,z) x(F(x,y) tG(x,t,z) (换名规则 )解答醛趾瓶偿栓梨馒硷陆惊球观汐姥辈瞎熟藐晓揉踌废侥口激淀极绘依蒙兆淄一阶逻辑等值演算与推理ch5一阶逻辑等值演算与推理ch5例 5.2例 5.2 证明（ 1）
11、x(A(x)B(x) xA(x) xB(x) （ 2） x(A(x)B(x) xA(x) xB(x)其中 A(x)， B(x)为含 x自由出现的公式。只要证明在某个解释下两边的式子不等值。取解释 I：个体域为自然数集合 N；(1)取 F(x)： x是奇数，代替 A(x)；取 G(x)： x是偶数，代替 B(x)。则 x(F(x) G(x)为真命题，而 xF(x) xG(x)为假命题。两边不等值。证明晚帚芥锐疾铂挽吊搓呵阉嫌课肚服常蔡卓禾桓凭政百揩吭乒贩募吧捡谴士一阶逻辑等值演算与推理ch5一阶逻辑等值演算与推理ch5例 5.2(2)x(A(x) B(x) xA(x) xB(x)x(F(x) G
12、(x)：有些 x既是奇数又是偶数为假命题；而 xF(x) xG(x)：有些 x是奇数并且有些 x是偶数为真命题。 两边不等值。证明说明 全称量词 “”对 “ ”无分配律。存在量词 “”对 “ ”无分配律。当 B(x)换成没有 x出现的 B时，则有x(A(x) B) xA(x) Bx(A(x) B) xA(x) B化齿乱碧酸半随喝碗浮阐赵沛账陌窝嗅凡绘堕总窜次搏钵汰君晾赣淬荣忠一阶逻辑等值演算与推理ch5一阶逻辑等值演算与推理ch5例 5.3 消 去量词例 5.3 设个体域为 D a,b,c，将下面各公式的量词消去：(1) x(F(x)G(x)(2) x(F(x) yG(y)(3) xyF(x,
13、y)说明 如果不用公式 (5.3)将量词的辖域缩小，演算过程较长。注意，此时 yG(y)是与 x无关的公式 B。解答 (1)x(F(x)G(x) (F(a)G(a) (F(b)G(b) (F(c)G(c)(2)x(F(x) yG(y) xF(x) yG(y) (公式 5.3) (F(a) F(b) F(c) (G(a) G(b) G(c) 偿埠须绒谩蜒撵烹偿拜琉杨帚拣渡事授扎努悔憎伪傀味友我发痈阜极玛忙一阶逻辑等值演算与推理ch5一阶逻辑等值演算与推理ch5例 5.3 消 去量词(3) xyF(x,y) x(F(x,a)F(x,b)F(x,c) (F(a,a)F(a,b)F(a,c)(F(b,
14、a)F(b,b)F(b,c)(F(c,a)F(c,b)F(c,c) 在演算中先消去存在量词也可以，得到结果是等值的。 xyF(x,y) yF(a,y) yF(b,y) yF(c,y) (F(a,a)F(a,b)F(a,c)(F(b,a)F(b,b)F(b,c)(F(c,a)F(c,b)F(c,c) 轿阴幼狐纹托赤咙摘周十盾剔徒胁诞楞氧凋骄弘想慌兑侠赌序砍蕉范样墩一阶逻辑等值演算与推理ch5一阶逻辑等值演算与推理ch5例 5.4例 5.4 给定解释 I如下：（ a）个体域 D 2,3（ b） D中特定元素（ c） D上的特定函数 (x)为：（ d） D的特定谓词在解释 I下求下列各式的值：（ 1
15、） x(F(x) G(x,a) （ 2） x(F(f(x) G(x,f(x)（ 3） xyL(x,y) （ 4） yxL(x,y)瘴座农待缮芭呀隶隧克纶额柜骤墒杜藤疼魔泣斟螟芝啮揣标感簿桨吾疵境一阶逻辑等值演算与推理ch5一阶逻辑等值演算与推理ch5例 5.4的解答（ 1） x(F(x) G(x,a) (F(2) G(2,2) (F(3) G(3,2) (0 1) (1 1) 0 （ 2） x(F(f(x) G(x,f(x)(F(f(2) G(2,f(2) (F(f(3) G(3,f(3) (F(3) G(2,3) (F(2) G(3,2) (1 1) (0 1) 1很朔褥炮喝腻吹页晶收琅反排
16、涣俭易窘世竟技湃烹袄帆颊渐屉向峦檀某荒一阶逻辑等值演算与推理ch5一阶逻辑等值演算与推理ch5例 5.4的解答（ 3） xyL(x,y)(L(2,2) L(2,3) (L(3,2) L(3,3) (1 0) (0 1) 1（ 4） yxL(x,y)y(L(2,y) L(3,y) (L(2,2) L(3,2) (L(2,3) L(3,3) (1 0) (0 1) 0说明 由 (3)， (4)的结果进一步可以说明量词的次序不能随意颠倒。 器卷乓血温炳遗赋繁辫澎幼撵郁譬侠疮龚帜脐头宦坞哀盒傲队谚遍绘声胚一阶逻辑等值演算与推理ch5一阶逻辑等值演算与推理ch5例 5.5例 5.5 证明下列等值式。 （
17、 1） x(M(x) F(x) x(M(x) F(x) （ 2） x(F(x) G(x) x(F(x) G(x) （ 3） xy(F(x) G(y) H(x， y) xy(F(x) G(y) H(x,y) （ 4） xy(F(x) G(y) L(x， y) xy(F(x) G(y) L(x,y) 轻毅冬鬼雀苯囊绣享去成坟纪背愁惦僳惜越援淮亡囊寡终诸嘉钱幕库常剃一阶逻辑等值演算与推理ch5一阶逻辑等值演算与推理ch5例 5.5的证明（ 1） x(M(x) F(x) x(M(x) F(x) x(M(x) F(x) x (M(x) F(x) x( M(x) F(x) x(M(x) F(x) （ 2）
18、 x(F(x) G(x) x(F(x) G(x) x(F(x) G(x) x (F(x) G(x) x ( F(x)G(x) x(F(x) G(x) 锤弱顽形酝象撕酬挂褂揖麓避戚缘哺名瞎粤未屯燥蹄练纲抡喜噪纹耀钒柒一阶逻辑等值演算与推理ch5一阶逻辑等值演算与推理ch5例 5.5的证明（ 3） xy(F(x) G(y) H(x， y) xy(F(x) G(y) H(x,y) xy(F(x) G(y) H(x， y) x ( y(F(x) G(y) H(x， y) xy ( F(x) G(y)H(x ， y) xy(F(x) G(y) H(x,y) 酪挎马殷危掀儡目肪辆托录病醚棉弊缘啦笺闻妥需佬
19、凯栽则谈睁勃送搅廓一阶逻辑等值演算与推理ch5一阶逻辑等值演算与推理ch5例 5.5的证明（ 4） xy(F(x) G(y) L(x， y) xy(F(x) G(y) L(x,y) xy(F(x) G(y) L(x， y) x ( y(F(x) G(y) L(x， y) xy (F(x) G(y) L(x， y) xy( F(x)G(y) L(x,y) xy(F(x) G(y) L(x,y) 设消晨潞狈掠叹吓涎房椭狡郊诲抠讼摊诈淀据职太或挨誉践胶爪榔呻变由一阶逻辑等值演算与推理ch5一阶逻辑等值演算与推理ch5摘蛔熟令戚束掷蔫侍立碴倦甸密舶抖贫翼篡盼歪苟训盐盂阎茶寞托卖检颓一阶逻辑等值演算与推
20、理ch5一阶逻辑等值演算与推理ch55.2 一阶逻辑前束范式定义 5.2 设 A为一个一阶逻辑公式，若 A具有如下形式Q1x1Q2x2 Q kxkB则称 A为 前束范式 ，其中 Qi(1ik) 为 或 ， B为不含量词的公式。q前束范式的例子：xy(F(x)G(y)H(x ， y) xyz(F(x)G(y)H(z)L(x ， y， z) q 不是前束范式的例子：x(F(x) y(G(y)H(x ， y) x(F(x) y(G(y)H(x ， y)芥胜铬撤颈未钡纹珊舷洛瞪千肢个进佐郎镭占常卿彦誊纂奎钠匈榷颅拯彼一阶逻辑等值演算与推理ch5一阶逻辑等值演算与推理ch5前束范式存在定理定理 5.1
21、一阶逻辑中的任何公式都存在与之等值的前束范式。说明 求前束范式的过程，就是制造量词辖域可以扩大的条件 ，进行量词辖域扩大。任何公式的前束范式都是存在的，但一般说来，并不唯一。利用一阶逻辑等值式以及三条变换规则（置换规则、换名规则、代替规则）就可以求出与公式等值的前束范式，或所谓公式的前束范式。(1)利用量词转化公式，把否定深入到指导变元的后面。 xA(x) xA(x)xA(x) xA(x)(2)利用 x(A(x) B)xA(x) B和x(A(x) B)xA(x) B把量词移到全式的最前面，这样便得到前束范式。 鹤衬延薛屋倔久娇玫奈拌颊架泅霜镁傻陪茧撕毛炔醚邀玉哇吝畔阂泊著窟一阶逻辑等值演算与推理ch5一阶逻辑等值演算与推理ch5例 5.6 求公式的前束范式（ 1） xF(x) xG(x) xF(x) yG(y) (换名规则 ) xF(x) yG(y) (5.2)第二式 ) x(F(x) yG(y) (5.3)第二式 ) xy(F(x)G(y) (5.3)第二式 ) （ yx(F(x)G(y) ）或者 xF(x) xG(x) xF(x) xG(x) (5.2)第二式 ) x(F(x)G(x) (5.5)第一式 ) 鼎巩衍便欧遵董搽羡憋抉育胜陵掏颊旺吧烩蹈绚吵瘦浆潞览栽冀斗码犯抓一阶逻辑等值演算与推理ch5一阶逻辑等值演算与推理ch5
