1、1专题 10 平移破解策略经过平移，对应线段平行（或共线）且相等；对应角相等；对应点所连结的线段平行（或共线）且相等；平移前后的图形全等平移是几何中的一种重要变换，运用平移可以将 分散的线段、角或图形汇集到一起，也可以把不太明朗的关系明朗化通过平移构造辅助线是研究和解决几何问题的常用方法，其中，通过平移构造辅助线比较线段 大小的常见类型有：（1）比较两条线段的大小关系，可以利用直角三角形中斜边大于直角边来比较，也可以把其中一条线段转化成三角形的两条边，再利用三角形三边关系比较大小；（2）比较三条线段的大小关系，可以把三条线段平移到同一个三角形中，再利用三角形三边的关系来比较大小；（3）比较四条
2、线段的大小关系，可以转化成“飞镖形”或“8”字形（如图）来比较线段的大小关系ABDCABACBD DCOA BC DADBCAB CD例题讲解例 1 已知：在 ABC 中， P 为 BC 边的中点（1）如图 1，求证： ；()12ABC（2）延长 AB 至点 D，使得 BD AC，延长 AC 至点 E，使得 CE AB，连结 DE如图 2，连结 BE，若 BAC60 ，请你探究线段 BE 与 AP 之间的数量关系写出你的结论， 并加以证明；请在图 3 中证明： 12BCE2PAB C图 1PCBAD E图 2P ED AB C图 3证明（1）如图 4，延长 AP 至点 F，使得 PF AP，连
3、结 BF易证 APC FPB，所以 AC BF从而 AB AC AB BF AF，即 ()12APBCPCB AF图 4（2） BE2 AP证明如下：因为 BD AB AC CE， BAC60 ，所以 ADE 为等边三角形如图 5，在 DE 上取一点 G，使得 DG DB，连结 BG，则 BDG 为等三角形连结 CG， PG，则四边形 ABGC 为平行四边形，所以点 A， P， G 共线，故 AG2 AP易证 DGA DBE则 BE AG2 APP ED AB CG图 53如图 6，过点 C 作 CH AB，且 CH BD，连结 DH， HE则四边形 BDHC 为平行四边形，易证 ABC CE
4、H，所以 DH BC EH由三角形三边关系定理可得 DH EH DE而当 D， H， E 三点共线时，有 DH EH DE，所以 12BCDEPHCBAD E图 6例 2 在 ABC 中， ACB90 ， AC BC， D 是 AC 边上的点， E 是 BC 边上的点，AD BC， CD BE点 E 与点 B， C 不重合，连结 AE， BD 交于点 F，求 BFE 的度数FCA BDE解 如图，过点 A 作 AG AC，使得 AG CD BE，连结 BG， GD可得四边形 AEBG 是平行四边形，则 BG EA易证 GAD DCB（ SAS） ，所以 GD DB， GDA DBC所以 GDA
5、 BDC90 ，可得 BGD 是等腰直角三角形，又因为 BG EF，所以 BFE GBD45 FA CG BDE例 3 如图， ABC 的三条中线分别为 AD， BE， CF，若 ABC 的面积为 1，则以4AD， BE， CF 的长度为三边长的三角形的面积等于 DEFAB C答案 34解 如图，过点 C 作 CP AD，且 CP AD，连结 AP， PF， EP， FEDFECBAP由辅助线作法，可得四边形 ADCP 为平行四边形，所以 AP CD， AP CD由 D， E， F 为 ABC 三边中点，可得 AP EF， AP EF所以四边形 AFEP 为平行四边形，则 PE AF FB，
6、PE FB所以四边形 PEBF 为平行四边形，则 BE FP因而 FPC 为以 AD， BE， CF 的长度为三边长的三角形，所以 113444FPCEFPCEABCABABCABSSSS进阶训练1 如图，两条长度都为 1 的线段 AB 和 CD 相交于点 O，且 AOC60 ，求证：AC BD1 5OB DC A【提示】分别过点 C， B 作 AB， AC 的平行线，两线交于点 E，连结 DE，则四边形 ABEC是平行四边形， CDE 是等边三角形，从而 AC BE， DE DC1，即得证OAC DBE2、已知：在 Rt ABC 中，点 D、 E 分别在 CB、 CA 的延长线上，连接 BE
7、， AD 交于点 P，若AC BD， CD AE，求 APE33解： APF30【 提示】过点 D 作 DF BE，且 DF BE，连接 EF、 AP则四边形 EFBD 为平行四边形，易证 AEF DCA，从而 FAD90， AD AF，所以3 APE ADF3063、如图， 已知 ABC 的面积为 1，分别以 ABC 的三边 AB、 AC、 BC 为边向外作正方形ABDE， ACFG， BCHI，连接 EG、 FH、 ID，则以 EG、 FH、 ID 长度为三边的三角形的面积为_解：3 【提示】如图，分别过点 I， H 作 AB、 AC 的平行线，两线段交于点 M，连AM、 EM、 GM则 EGM 是以 EG、 FH、 ID 的长度为三边的一个三角形，由“等腰直角三角形共顶点”中的结论知： S DOI S CFH S EAG S ADG
