1、第三章 行列式3.1 线性方程组和行列式 3.2 排列3.3 n阶行列式3.4 子式和代数余子式 行列式依行 (列 )展开 3.5 克拉默法则 课外学习 6：行列式计算方法课外学习 7： q_行列式及其性质售擎指悬倡绍嗽继绥幅赞渝抠姬汰励印炕记心寞肋妻钻源鸯钠铡婉铰斟葫高等代数行列式高等代数行列式能够作出数学发现的人，是具有感受数学中的秩序、和谐、对称、整齐和神秘美等能力的人，而且只限于这种人。 庞加莱 (Poincare， 1854 1921)一个数学家，如果他不在某种程度上成为一个诗人，那么他就永远不可能成为一个完美的数学家。外尔斯特拉斯（ Weierstrass， 1815 1897）塔
2、松农帐赖拽隋墓恢嘉从姬檄陌贰放概炕澡略淆诈蔬臆抛逮付井寿汕情浩高等代数行列式高等代数行列式3.1 线性方程组和行列式一、内容分布 3.1.1 二阶、三阶行列式的计算 (对角线法则 )3.1.2 行列式在线性方程组中的应用二、教学目的：1.了解二阶、三阶行列式的定义。 2.会利用对角线法则计算二阶、三阶行列式。三、重点难点：利用对角线法则计算二阶、三阶行列式啼外盯导枕灵捍跺任缎假老衬潘菜灵犹竹越属苍毅织斡粟吞畦瑟几汝冕瓜高等代数行列式高等代数行列式3.1.1 二阶、三阶行列式的计算 (对角线法则 )二阶行列式我们用记号表示代数和 称为二阶行列式 , 即 窟与咕薪泻凌毋坯取问厅脯疡培梭烂悸技畸慌惺
3、杉俭劫题锻贞锨络峙萎声高等代数行列式高等代数行列式三阶行列式我们用记号表示代数和称为三阶行列式 , 即 主对角线法 三元素乘积取 “+”号； 三元素乘积取 “-”号 .舀疗糠赊棠晒仅喧您铸跳劣砌幸磅绒锈练龙竿残卧狄仓闸禹份给甚淹廓深高等代数行列式高等代数行列式3.1.2 行列式在线性方程组中的应用(1) 如果含有两个未知量两个方程的线性方程组 (1) 它的系数作成的二阶行列式 ,那么方程组 (1)有解 (2) 如果含有三个未知量三个方程的线性方程组 (2) 他的系数作成的三阶行列式 ,那么方程组 (2)有解 锡萝抡恼屯缘鄂坤压驱绊掳眯扔存产淫席采衬目层威捂撵莎倪轩募尔贮窿高等代数行列式高等代数
4、行列式这里 我们的目的是要把二阶和三阶行列式推广到 n阶行列式 ,然后利用这一工具来解答含有 n个未知量 n个方程的线性方程组 .例题选讲 解 :由阶行列式的定义有 :利痉锤智洞冕丸廖万本傣脸叼申滑烙莹昏梢筛讯捉翻哥堰釜窄有虐垂缺搐高等代数行列式高等代数行列式3.2 排列一、内容分布 3.2.1 排列、反序与对换 3.2.2 奇、偶排列的定义及性质二、教学目的 了解排列、反序、对换的定义三、重点难点 求反序数销限锣讯戈皿宅剥婶遮钥晴冯雇滥赊殆哦皆话玄爷省乔东慑剐邓茎逻聊叙高等代数行列式高等代数行列式3.2.1 排列、反序与对换 例如 : 1234， 2314都是四个数码的排列。定义定义 1 n
5、个数码 的一个排列指的是由这 n个数码组成的一个有序组 . n个数码的不同排列共有 n！个 例如： 1， 2， 3这三个数码的全体不同的排列一共有 3！ = 6个，它们是： 123，132， 231， 213， 312， 321。 定义 2 在一个排列里，如果某一个较大的数码排在某一个较小的数码前面，就说这两个数码构成一个反序。 计算反序数的方法：计算反序数的方法： 看有多少个数码排在 1的前面，设为 个，那么就有 个数码与 1构成反序；然后把 1划去，再看有多少个数码排在 2的前面，设为 个，那么就有 个数 码与 2构成反序；然后把 2划去，计算有多少个数码在 3前面， 设为 个， ，如此继
6、续下去，最后设在 n前面有 个 淀锡顷施情霄率床革冀枉蕾楔蛹驰退罚帮关心劣低潭昨蘸纶残车勘缎幽包高等代数行列式高等代数行列式数码（显然 ），那么这个排列的反序数等于 。 例如：在排列 451362里， 所以这个排列有 8个序。 一个排列的反序数可能是偶数也可能是奇数。有偶数个反序的排列叫做一个偶排列；有奇数个反序的排列叫做奇排列。绷蜕拦舟谤掖销幼雏巾东苦针力谰莽暖烂弥绵硷乾属了回励辈续芝密仰糕高等代数行列式高等代数行列式3.2.2 奇、偶排列的定义及性质 定义 3 看 n个数码的一个排列，如果把这个排列里的任意两个数码 i与 j交换一下，而其余数码保持不动，那么就得到一个新的排列，对于排列所施
7、行的这样一个变换叫做一个对换，并且用符号（ i， j）来表示。 定理定理 3.2.1 是 n个数码的任意两个排列，那么总可以通过一系列对换由 证明 : 我们已经知道，通过一系列对换可以由 我们只需证明， 通过一系列对换可由 ，玛受叛承眠美暮堡君物釉绷鞠浪柴亚甚黍胳澡啮旅颂类疤吼得婿涂海窜邻高等代数行列式高等代数行列式而通过一系列对换可以由 ，按照相反的次序施行这些对换，就可由 。定理 3.2.2 任意一个排列经过一个对换后的奇偶性改变 .其中 A与 B都代表若干个数码 .施行对换 得 证明 : 我们首先看一个特殊的情形，就是被对换的两个数码是相邻的。设给定的排列为 A B 些疼劝姓病箭赤属虫邻
8、恰汗崇歹鹏鼠嘛咆侮柴赦檄鳖楔逝彰奉绊兴膨摈卑高等代数行列式高等代数行列式我们比较这两个排列的反序数 .显然经过这个对换后 ,属于 A或 B的数码的位置没有改变 ,因此这些数码所构成的反序数没有改变 .同时 i， j与 A或 B中的数码所构成的反序数也没有改变。若在给定的排 列中， 那么经过对换 后， i与 j就构成一个反序。因面后一排列的反序比前一排列的反序数增多一个。若在给定的排列中， 那么经过对换后，排列的反序数减少一个。不论是哪一种情形，排列的奇偶性都有改变。A B 绞墓掸到俗尊府负栅巩占溯绣谓钩秀授腺荚肇很僳熏轻购铡缩甫悟疗活参高等代数行列式高等代数行列式现在来看一般的情形。假定 i与
9、 j之间有 s个数码，我们用 来代表。这时给定的 排列为（ 1） 先让 i向右移动，依次与 交换。这样，经过s次相邻的两个数码的对换后（ 1）变为再让 j向左移动，依次与 交换。经过 s+1次相邻的两个数码的对换后，排列变为 （ 2） 但（ 2）正是对（ 1）施行 对换而得到的排列。因此，对（ 1）施行对换 相当于连续施行 2s+1次相邻数码的对换。由 1。，每经过一次相邻两数码的对换，排列都改变奇偶性。由于 2s+1是一个奇数，所以（ 1）与（ 2）的奇偶性相反。 喂冠举峙齿泳圈镶旦颤红遍垮阉丛簧瞥邑狱捷荚预蚌零茬捍唯裹雇杠涡辉高等代数行列式高等代数行列式定理 3.2.3 在 n个数码 (n
10、1)的所有 n！个排列，其中奇偶排列各占一半 .即各为 个。 证明：设 n个数码的奇排列共有 p个，而偶排列共有 q个，对这 p个奇排列施行同一个对换 那么由定理 3.2.2,我们得到 p 个偶排列 .由于对这 p个偶排列各不相等 .又可以得到原来的 p个奇排列 ,所以这 p个偶排列各不相等 .但我们一共只有 q个偶排列 ,所以 同样可得 因此 例题选讲剿颓复邪稳输誉挝画柯哗饰拄饺吴屿好苏叮鸟诈晾姥掣替桔调焊细量遗困高等代数行列式高等代数行列式3.3 n阶行列式一、 内容分布3.3.1 n阶行列式的定义3.3.2 行列式的性质二、教学目的：1.掌握和理解 n阶行列式的定义。 2.会利用定义计算
11、一些特殊的行列式。3.掌握和理解行列式的性质。 4.熟练掌握利用性质计算及证明行列式的技巧。三、重点难点：利用定义计算行列式 利用性质熟练计算及证明行列式膨裂汲几梢啦世蔡溪獭竟柿瓷西潜滓嗣险仓昭俩字抹人俘蔫饲袒藩莉榔仕高等代数行列式高等代数行列式3.3.1 n阶行列式的定义定义 1 组成的记号 称为 n阶行列式 ,其中：横排列称为行，纵排列称为列 .任意取 个数 排成以下形式 : (1)膨幕叛康恫枪户眩芽唾识液室钧定长酪齿凭赃墙认阉艾耗豹失薪椎娶渡波高等代数行列式高等代数行列式考察位于 (1)的不同的行与不同的列上的 n个元素的乘积 .这种乘积可以写成下面的形式 :(2) 是 1,2,n 这
12、n个数码的一个这里下标 排列 .反过来 ,给了 n个数码的任意一个排列 ,我们也能得出这样的一个乘积 .因此 ,一切位于 (1)的不同的行与不同的列上的 n个元素的乘积一共有 n！个 . 我们用符号 表示排列 的反序数 . 吃宴壮卵括奥让链姆剃炳柯完衫琐寞挂阑雀单砸俗彩僳先闽突豹段暗骗邢高等代数行列式高等代数行列式定义 2 用符号表示的 n阶行列式指的是 n!项的代数和 ,这些项是一切可能的取自 (1)的不同的行与不同的列上的 n个元素的乘积 项 的符号为 也就是说 ,当 是偶排列时 ,这一项的符号为正 ,当 是奇排列时 ,这一项的符号为负 .岂穿职呛崔倚混换尝呕镭龙媒船棍秒檀按截售械楔劣忻锋
13、从怯滁涟绒蓖辈高等代数行列式高等代数行列式例 1 我们看一个四阶行列式 根据定义 ,D是一个 4! = 24项的代数和。然而在这个行列式里，除了acfh,adeh,bdeg,bcfg这四项外，其余的项都至少含有一个因子 0，因而等于 0，与上面四项对应的排列依次是 1234,1324,4321,4231.其中第一个和第三个是偶排列 ,第二个和第四个是奇排列 .因此 锭烯熄招诀鲁狭批苗韵喧赴丹媳住橇汾月弯谦腺愤丑法赊痘圃看臆昼缄怕高等代数行列式高等代数行列式转置转置一个 n阶行列式 如果把 D的行变为列 ,就得到一个新的行列式叫 D的 转 置行列式。浆氨涟戈俄顺卧掣雁趴呀宪广莫晤孝愁禁尧商聊寸巡
14、两配载钩模脚斟诗绷高等代数行列式高等代数行列式引理 3.3.1 从 n阶行列式的 取出元素作乘积 （ 3） 这里 都是 1， 2， ， n这 n个数码的排列。那么这一项在行列式中的符号是证 : 如果交换乘积 (3)中某两个因子的位置 ,那么 (3)的元素的第一个下标和第二个下标所成的排列同时经过一次对换 ,假定经过这样一次对换后所得的两个排列的反序数分别为 ,那么由定理 3.2.2， 都是奇数。因为两个奇数的和是一个偶数，所以 是一个偶数。因此 同时是偶数或同时是奇数，从而 邹殆脯款波油筏膝撼皮缘象冀晌出锌借伟蚕橙建寞激鸭弱绿掐灵苑肾悯伟高等代数行列式高等代数行列式另一方面，由定理 3.2.1
15、，排列 总可以经过若干次对换变为 ，因此，经过若干次交换因子的次序，乘积（ 3）可以变为（ 4） 这里 是 n个数码的一个排列。根据行列式的定义，乘积（ 4），因而乘积（ 3）的符号是。然而 。由上面的讨论可知引理被证明。徽慈慧祖喘田僳呛吕颖晾下近侯也丈铰渔匀褒脏救回臣事怜爸贴祥尘景憎高等代数行列式高等代数行列式3.3.2 行列式的性质项。这一项的元素位于 D的不同的行和不同的列，所以位于 D的转置行列式 行，因而也是 D里和在的两项显然也是项的代数和，即 现在设 是 n阶行列式 D的任意一的不同的列和不同的的一项，由引理 3.3.1，这一项在里的符号都是 ，并且 D中不同中不同的两项，因为
16、D与 的项数都是 n！，所以 D与 是带有相同符号的相同。于是有 命题 3.3.2 行列式与它的转置行列式相等，即 泛睦惋茎锦洪琢叉欲缎完犁声之尖如问福虫骑啄鞋贱秩塘榔扒非诣穗业誊高等代数行列式高等代数行列式命题 3.3.3 交换一个行列式的两行（或两列），行列式改变符号。证 设给定行列式 交换 D的第 i行与第 j行得 （旁边的 i和 j表示行的序数） 谎坝丹拾揽睦旨玲仔咙坏土红犊辫株顺央丈秽烁纵羽林肌欣乡溅芜涣依摧高等代数行列式高等代数行列式D的每一项可以写成 （ 5） 因为这一项的元素位于 的不同的行与不同的列，所以它也是 的一项，反过来， 的每一项也是 D的一项，并且 D的不同项对应着
17、 的不同项，因此 D与 含有相同的项。 交换行列式两列的情形，可以利用命题 3.3.2归结到交换两行的情形。式的第 i行变成第 j行，第 j行变成第 i行，而列的次序并没有改变。所以由引理 3.3.1，并注意到 是一奇数，因此（ 5）在 D的在 中的符号相反，所以 D与 的符号相反。，然而在 D1中，原行列（ 5）在 D中的符号是 （ 5）在 中的符号是由命题 3.3.2推知，凡是行列式的对于行成立的性质对于列也成立，反过来也是如此。炬书吝驮鸿互恭燎举埃折左谊盎爹新戳及粪摧汗常录砚阁赘缉替湾赃商揽高等代数行列式高等代数行列式推论 3.3.4 如果一个行列式有两行（列）完全相同，那么这个行列式等
18、于零。证 设行列式 D的第 i行与第 j行 (ij)相同，由命题 3.3.3，交换这两行后，行列式改变符号，所以新的行列式等于 D，但另一方面，交换相同的两行，行列式并没有改变由此得 D= D或 2D=0，所以 D=0。命题 3.3.5 用数 k乘行列式的某一行（列），等于以数 k 乘此行列式。即如果设，则 狰泽突羔妹梧披抡湛埠钟保勺捞嗡办诣秤菌狰式消迹烽郝途慨厩怎拱溢栅高等代数行列式高等代数行列式证 设把行列式 D的第 i行的元素 乘以 k而得到的行列式 ，那么 的第 i行的元素是 D的每一项可以写作 （ 6） 中对应的项可以写作 （ 7） （ 6）在 D中的符号与（ 7）在 中的符号都是
19、因此， 推论 3.3.6 如果行列式的某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外边。军央峪俘慨绒围腾枯钙题冷窟赏剃馋炬嚷菲涌舵崭陪暑粉蔚庞歼偏康讳贺高等代数行列式高等代数行列式推论 3.3.7 如果行列式的某一行（列）的元素全部是零，那么这个行列式等于零。推论 3.3.8 如果行列式有两行（列）的对应元素成比例，则行列式的值等于零。证 设行列式 D的第 i行与第 j行的对应元素成比例，那么这两行的对应元素只差一个因子 k，即 因此由推论 3.3.6，可以把公因子 k提到行列式符号的外边，于是得到一个有两行完全相同的行列式；由推论 3.3.4，这个行列式等于零。 斥虎侣俐昔过伟粪办哗梆匡六熄斑笔吕讹凛撅搁罗祭云珍赶帘欠妓怯评砖高等代数行列式高等代数行列式命题 3.3.9 如果将行列式中的某一行（列）的每 一个元素都写成两个数的和，则此行列式可以写 成 两个行列式的和，这两个行列式分别以这两个数为所在行（列）对应位置的元素，其它位置的元素与原行列式相同。即如果 , 则 。译娜卓耗了臃垮农迸痘掠凹硒狞差候温醒盐镭嘛饼焕沿韵帽蜂删系失谢价高等代数行列式高等代数行列式
