1、,达朗伯原理,质点的达朗伯原理,质点系的达朗伯原理,刚体惯性力系的简化,绕定轴转动刚体的轴承动反力,1.预 备 知 识,一 刚体质心的定义,质量均匀分布的规则刚体： 质心就是几何中心,定义,刚体对z轴的转动惯量。 ：回转半径,二 刚体对定轴的转动惯量,例1 求简单物体的转动惯量。(平行移轴）,解：由转动惯量的定义：,平行移轴公式,求均质圆盘的J0、 Jx 、Jy,P173 均质物体的转动惯量,2.质点的达朗伯原理,惯性力,2.1 原理的描述,如果在质点上除作用有主动力及约束力外，再假想地加上惯性力，则这些力构成平衡力系。质点的达朗伯原理,令,质点的达朗伯原理表明，如果在运动着的质点上加上假想的
2、惯性力，则质点处于平衡，因而可将动力学问题在形式上化成静力学问题动静法。,2.2 动静法,求解惯性力就是求解运动；,求解FN就是求解未知的约束力（包括动反力）,在已知运动求约束力的问题中，动静法往往十分方便,3.质点系的达朗伯原理,一 原理描述,质点i:,质点系的主动力系，约束力系和惯性力系组成平衡力系：,各质点间内力成对出现：,作用于质点系上的主动力系，约束力系和惯性力系在形式上组成平衡力系。质点系的达朗伯原理。,六个平衡方程, Fx = 0 Fy = 0 Fz = 0, Mx = 0 My = 0 Mz = 0,所有惯性力组成的力系，称为惯性力系。,所有惯性力的矢量和称为惯性力系的主矢：,
3、所有力向同一点简化，所得力矩矢量和，称为惯性力系的主矩：,一、刚体平动,向质心简化：,4.刚体惯性力系的简化,二、平面刚体做定轴转动,取转轴上任意一点O为简化中心,主矢,主矩,平面刚体做定轴转动,刚体对z轴的惯性积,? 如果刚体有质量对称面且该面与转轴z垂直； 向质量对称面进行简化，取转轴与该面交点为简化中心,平面刚体做定轴转动,如果刚体有质量对称面且该面与转轴z垂直； 向质量对称面进行简化，取转轴与该面交点为简化中心,如果刚体有质量对称面且该面与转轴z垂直； 向质量对称面进行简化，取转轴与该面交点为简化中心,平面刚体做定轴转动,结论,三、刚体做平面运动（设运动平行于质量对称面）,向质量对称面
4、进行简化 一般取质心C为简化中心,平面运动可以分解为平动定轴转动,合力偶矩：平动部分为零,合力：,刚体作平动时（向质心简化）,刚体作定轴转动时 （转轴与质量对称面垂直，向质量对称面与转轴交点简化）,简化结果：,刚体作平面运动时 （设运动平行于质量对称面、向质心C简化),例1：,例2：,2011级机电 图示均质AB杆，质量为m， 杆长为l。可绕O轴转动。图示瞬时的角速度为，角加速度为，试求在此瞬时该杆惯性力系向O点简化的结果。（方向标在图中）。,解：（1）分析OA、AB杆的运动：,例3长均为l，质量均为m的均质杆OA、AB铰接于O，在图示水平位置由静止释放，求初始瞬时OA、AB的角加速度。,（2
5、）将OA杆的惯性力向O点简化，AB杆的惯性力向其质心C2简化，做整个系统的受力图：,？确定惯性力大小,OA作定轴转动， AB作平面运动。设初始瞬时两 杆的角加速度分别为1及2 。质心加速度分别为ac1及ac2.,（3）考虑系统平衡,？列什么方程,例3长均为l，质量均为m的均质杆OA、AB铰接于O，在图示水平位置由静止释放，求初始瞬时OA、AB的角加速度。,(4)考虑AB杆平衡:,联立(1), (2)求解:,例 题 4 均质圆柱体重为W，半径为R，沿倾斜平板从静止状态开始，自固定端O处向下作纯滚动。平板相对水平线的倾角为 ，忽略板的重量。试求： 固定端O处的约束力。,解题分析 以整体为研究对象，
6、画受力图。,？确定惯性力大小,解：1. 首先确定圆柱体的质心加速度和角加速度,以圆柱体为研究对象，画出包括真实力和惯性力系的受力图。,对A点取矩：,例 题 4 均质圆柱体重为W，半径为R，沿倾斜平板从静止状态开始，自固定O处向下作纯滚动。平板相对水平线的倾角为 ，忽略板的重量。试求： 固定端O处的约束力。,2. 确定固定端的约束力以整体为研究对象：,平衡方程：,例 题4 均质圆柱体重为W，半径为R，沿倾斜平板从静止状态开始，自固定O处向下作纯滚动。平板相对水平线的倾角为 ，忽略板的重量。试求： 固定端O处的约束力。,要点与讨论：,在用动静法解题时，应充分运用静力学的解题技巧:,让某些未知力通过
7、某个矩心;某些未知力垂直某个投影轴;避免某些未知量在平衡方程中出现，争取一个方程求解一个未知数等。,例5 均质直角构件 ABC ，AB、BC的质量各为3.0kg， l=1.0m 。假若突然剪断绳子AE ，求此瞬时连杆AD、BE所受的力。连杆AD、BE质量忽略不计。,解：研究ABC杆，作受力图：,解得,由达朗贝尔原理,ABC作平移运动 初瞬时连杆AD、BE：0,例6 在图示机构中，沿斜面向上作纯滚动的圆柱体和鼓轮O均为均质物体，各重为P和Q，半径均为R，绳子不可伸长，其质量不计，斜面倾角，如在鼓轮上作用一常力偶矩M，试求：圆柱体A的角加速度。,列出平衡方程：,取轮A为研究对象，惯性力FIA 和惯
8、性力偶MIA,解：取轮O为研究对象，惯性力偶矩,列出动静方程,运动学关系,轮A受力图？,例6 在图示机构中，沿斜面向上作纯滚动的圆柱体和鼓轮O均为均质物体，各重为P和Q，半径均为R，绳子不可伸长，其质量不计，斜面倾角，如在鼓轮上作用一常力偶矩M，试求：圆柱体A的角加速度。,拓展：,已知：均质圆盘 纯滚动.均质杆,求：F 多大,能使杆B 端刚好离开地面? 纯滚动的条件?,F,A,加惯性力 画受力图,a,刚好离开地面时,地面约束力为零.,研究 AB 杆,解:,研究整体,例 题7,长为l、重为W 的均质杆AB，其A端铰接在铅垂轴z上，并以匀角速绕此轴转动。求: 当杆AB与轴间的夹角60时， 的数值及
9、铰链A处的约束力。,? 刚体作定轴转动时 （转轴与质量对称面垂直，向质量对称面与转轴交点简化）,惯性力合力的大小,惯性力合力作用线通过三角形的形心,应用动静法，列平衡方程,画AB受力图,例 题7 长为l、重为W 的均质杆AB，其A端铰接在铅垂轴z上，并以匀角速绕此轴转动。求: 当杆AB与轴间的夹角60时， 的数值及铰链A处的约束力。,5.绕定轴转动刚体的轴承动反力,FIFI,FI1FI2,刚体绕定轴转动时，轴承处除有由主动力引起的约束反力外，由于刚体质量分布不均衡，还可因转动引起附加约束反力，此附加部分称为轴承附加动反力。,例8 匀速转动的传动轴上安装有两个齿轮，质量分别为m1、m2，偏心距分
10、别为e1和e2。在图示瞬时，C1D1平行于z轴，该轴的转速是n 。求此时轴承A、B的附加动约束力。,解：研究AB轴，受力图?,根据达朗贝尔原理,附加动约束力？,例9 匀速转动的传动轴上安装有两个齿轮，质量分别为m1、m2，偏心距分别为e1和e2。在图示瞬时，C1D1平行于z轴，该轴的转速是n 。求此时轴承A、B的附加动约束力。,附加动约束力,附加动约束力如何消除？,惯性力自身成为平衡力系,例10 图示装有圆盘的轴可绕水平轴转动。已知：两个质点的质量分别为m10.5kg、m21kg。圆盘的厚度为2cm。密度为7.8103kg/m3， ce9cm，b18cm。为了动平衡，在盘上离轴d8cm处各钻一
11、孔。求孔的直径d1、d2和方位角1、2。,解：研究圆盘与轴，其惯性力分别为,其中,1-18.42-71.6,将惯性力系向点A简化,刚体对z轴的惯性积,xc，yc为质心在所选坐标系中的坐标,应用达朗伯原理列写平衡方程。设刚体上作用有若干主动力Fi,若附加动反力为零,转轴必须通过转动刚体的质心，且刚体对该轴的惯性积为零时刚体（转子）是平衡的。,物理意义?,惯性力自身成为平衡力系,若附加动反力为零,转轴必须通过转动刚体的质心，且刚体对该轴的惯性积为零时刚体（转子）是平衡的。,刚体的中心惯性主轴：通过转动刚体质心，且为刚体主轴的转轴。,刚体的惯性主轴：惯性积为零的转轴。,转轴为刚体的中心惯性主轴（转轴
12、通过转动刚体的质心，且为刚体的一根主轴）时刚体（转子）是平衡的（图（a）。 当转轴不通过质心时（图（b），产生轴承动反力，转子不平衡；由于这种不平衡可以用静力学的方法发现,故称静不平衡。 当转轴不是主轴时（图（c），转子是动不平衡的，因为这种不平衡必须通过转动发现。借助动平衡机，用在转子上钻孔的方法改变刚体质量的分布，可以使转子成为动平衡的（图（d）、（e）。,习题 6-16,习题要求,1）基本公式要列明；,2）分别画出运动状态参量图和受力图；,1. 刚体作平动时（向质心简化）,2. 刚体作定轴转动时转轴与质量对称面垂直，向质量对称面与转轴交点简化,写出刚体做以下运动时，各惯性力系的简化结果：
13、,3. 刚体作平面运动时 设运动平行于质量对称面、向质心C简化,质点系的达朗伯原理,作用于质点系上的主动力系，约束力系和惯性力系 在形式上组成平衡力系。质点系的达朗伯原理,复习总结,平衡方程, Fx = 0 Fy = 0 Fz = 0, Mx = 0 My = 0 Mz = 0,根据质点系的达朗伯原理，可将动力学问题在形式上化成静力学问题，用静力学的方法求解动力学问题动静法。求解惯性力就是求解运动；求解FN就是求解未知的约束力（包括动反力）。,动静法,在用动静法解题时，应充分运用静力学的解题技巧:,让某些未知力通过某个矩心;某些未知力垂直某个投影轴;避免某些未知量在平衡方程中出现，争取一个方程
14、求解一个未知数等。,刚体作平动时（向质心简化）,刚体作定轴转动时 （转轴与质量对称面垂直，向质量对称面与转轴交点简化）,常见运动惯性力的简化结果：,刚体作平面运动时 （设运动平行于质量对称面、向质心C简化),简单物体的转动惯量,平行移轴公式,均质圆盘,P173 均质物体的转动惯量,例11 已知：均质杆AB的质量为m，球铰链A和绳子BC与铅垂轴OD相连，绳子的重量略去不计，小环可沿轴滑动，如图示。设ACBCl，CDOAl/2，匀角速度为，求绳子的张力、铰链A的约束力及轴承O、D的附加动约束力。,解：研究AB杆 ，画受力图,作用点在距A点(2/3)处,以整体为研究对象,作受力图,求惯性力,由达朗贝
15、尔原理,例 11 已知：均质杆AB的质量为m，球铰链A和绳子BC与铅垂轴OD相连，绳子的重量略去不计，小环可沿轴滑动，如图示。设ACBCl，CDOAl/2，匀角速度为，求绳子的张力、铰链A的约束力及轴承O、D的附加动约束力。,FOymg,附加动约束力,以整体为研究对象,例12 在悬臂梁AB的B端装有质量为mB、半径为r的均质鼓轮，如图示，一主动力偶，其矩为M，作用于鼓轮以提升质量为mC的物体。设AB =l，梁和绳子的自重都略去不计。求A处的约束力。,解：研究鼓轮及物块mc,根据达朗贝尔原理,鼓轮角加速度为 =a/r，惯性力分别为,?鼓轮及物块mc受力图,整体受力图 ?,例12 在悬臂梁AB的B
16、端装有质量为mB、半径为r的均质鼓轮，如图示，一主动力偶，其矩为M，作用于鼓轮以提升质量为mC的物体。设AB =l，梁和绳子的自重都略去不计。求A处的约束力。,研究整体,受力图 ?,例13：,运动分析：,平衡方程：,惯性力?,运动学补充方程：,例 题14 匀质细杆悬挂如图，已知：杆的质量为m，长为2L，绳长为L，在运动过程中，绳始终张紧，并且A端以匀速率运动。试用动静法求在 图示位置时，作用在杆上的力偶矩M的大小及两绳的张力。,加惯性力，作受力图,TB,c,Fgcx,Fgcy,Mgc,A,B,匀质细杆悬挂如图，已知：杆的质量为m，长为2L，绳长为L，在运动过程中，绳始终张紧，并且A端以匀速率运
17、动。试用动静法求在 图示位置时，作用在杆上的力偶矩M的大小及两绳的张力。,P,aA,aBn,aBt,aA,aBAt,aBAn,aA,aCAt,aCAn,运动分析,1.以A为基点研究B ,确定,2.以A为基点研究C ,确定aC,运动分析,以A为基点研究B,（逆时针）,以A为基点研究C,加惯性力，作受力图,TB,c,Fgcx,Fgcy,Mgc,A,B,（逆时针）,列平衡方程，求未知力：,在图示系统中，已知：匀质圆盘重为Q，半径为R，平板重为P，圆盘与平板间无相对滑动，板放在 的光滑斜面上，圆盘与 的斜面之间有滑动，其动滑动摩擦系数为 。试求：（1）圆盘的角加速度；（2）平板沿斜面即将脱离圆盘时的速
18、度，若系统在AC=L位置由静止开始进入运动。,例 题15,运动分析：,板AC：平动 圆盘O：定轴转动,受力分析：,对于整个系统：平面一般力系，三个独立平衡方程，四个未知数: 、NB(或FB)、NA、NA的作用点。,在图示系统中，已知：匀质圆盘重为Q，半径为R，平板重为P，圆盘与平板间无相对滑动，板放在 的光滑斜面上，圆盘与 的斜面之间有滑动，其动滑动摩擦系数为 。试求：（1）圆盘的角加速度；（2）平板沿斜面即将脱离圆盘时的速度，若系统在AC=L位置由静止开始进入运动。,解：系统,圆盘,1.运动分析：,2.受力分析：,例 题16,附加动反力。,受力分析：,DE杆：,BD杆：,附加动反力。,a,加
19、惯性力、作受力图,运动分析、运动学补充方程,例 题17,运动分析,例 题17,a,真题（2011年） 图示匀质圆环在铅垂面内。已知:圆环质量为m、半径为R，试用动静法求当截断绳O2B的瞬时，圆环质心C的加速度。,运动分析,受力分析,aA,aCA,运动学补充方程,真题（2011年） 图示质量为m、半径为R匀质圆盘可绕O转动。已知:OB=L，圆盘初始静止，试用动静法求撤去B处约束瞬时，圆盘质心C的加速度和O处约束力。,aC,运动分析,受力分析,均质细杆OA的质量为m，长为l，沿径向固连在均质圆环上，如图所示。圆环质量也为m，半径r=l。若将系统在图示位置由静止释放，圆环沿粗糙水平面只滚不滑。试求释放瞬时圆环的角加速度及圆环所受的摩擦力F及法向约束力FN.(土木2011级),在初瞬时,讨论作业：重点：运动学分析，加惯性力。,例6 在图示机构中，沿斜面向上作纯滚动的圆柱体和鼓轮O均为均质物体，各重为P和Q，半径均为R，绳子不可伸长，其质量不计，斜面倾角，如在鼓轮上作用一常力偶矩M，试求：圆柱体A的角加速度。,拓展：,? 虚位移原理求解,
