1、线段树的应用,线段树的定义,线段树是一棵二叉树，记为T(a, b)，参数a,b表示区间a,b，其中b-a称为区间的长度，记为L。 线段树T(a,b)也可递归定义为： 若L1 : a, (a+b) div 2为 T的左儿子；(a+b) div 2,b为T 的右儿子。 若L=1 : T为叶子节点。,表示区间1, 10的线段树样例：,线段树的特征,定理二：线段树把区间上的任意一条线段都分成不超过2logL条线段。,这些结论为线段树能在O(logL)的时间内完成一条线段的插入、删除、查找等工作，提供了理论依据,定理一：线段树的深度不超过logL。,线段树的基本操作,插入一条线段：每个节点增加一个变量记
2、录该节点被插入所有线段覆盖的次数，自根节点往下，直到一个被线段完全覆盖的节点。,删除一条插入过的线段，与插入操作是一致的。,查找一个区间内线段的总长度。每个节点增加一个变量记录该区间内线段的总长度，并在插入和删除后维护相关节点的这个变量：儿子区间内的线段长度+覆盖本区间的线段长度,例1：蛇（SGU 128）,在平面上有N个点，现在要用一些线段将它们连起来，使其满足以下要求： 1 这些线段必须闭合 2 线段的端点只能是这N个点。 3 交于一点的两条线段成90度角 4 线段都必须平行于X轴或Y轴 5 所有线段除了在这N个点外不相交 6 所有线段的长度之和必须最短 如果存在这样的线段，则输出最小长度
3、，否则输出0。,【问题分析】,所求的图形是以题目所给的N个点为顶点的多边形。每条边要和X轴或Y轴平行。每个顶点与一条平行于X轴和一条平行于Y轴的线段相连。,P1 P2 P3 P4 P5 P6,将所有点排序后发现，在同一水平线的点中，设为P1，P2，P3，P4Pn，P1必须连它右边的点P2，P3只能连P4，P5连P6，同垂直线上的点也是如此。 如果有解，解是唯一的，那么最小长度的问题就解决了。,由于解是唯一，所以关键在于判断由上述方法构出的图形是否合法满足线段不自交：,【问题分析】,如图，两条线段在内部相交，则必须满足x1xx2 和 y1yy2。,【问题解法】,将所有线段按X轴坐标排序，每条平行
4、于Y轴的线段和每个平行于X轴线段的端点称为一个事件,由于这题的区间性很明显，可以用线段树来解决。,本题要注意的是，线段在端点重合不算自交，所以X轴坐标相同时，事件的顺序要恰当处理。,将Y轴代表的区间建成线段树，并且每个节点记录它的区间内插入的点数。按顺序，扫描所有事件：如果遇到平行于X轴线段的左端点，则插入到线段树中，遇到右端点，则从线段树中删除 。如果遇到平行于Y轴的线段，则在线段树中查找。,将轴坐标离散后，每次插入、删除、查找的复杂度是(logn)级别的，由于所有线段数量是(n)级别的，所以整题的复杂度是(nlogn)级别。,思考：本题删除的点与插入的点一一对应，所以删除实现很方便。如果删
5、除的线段不一定插入过该怎么办？,例2：空心长方体（POI99 Cuboid）,在一个三维正坐标系中，存在N(N=5000)个点，现在要求一点P(x，y，z)，使得O(0，0，0)与P(x，y，z)两个顶点构成的长方体内不包括N个点中的任何一个点(在长方体边缘不算包括)，并使这个长方体的体积最大。x，y，z均不得超过1000000。,【问题分析】,P(x,y,z)代表的长方体包含一点Q，那么P的所有坐标值，都大于Q点的坐标值。PxQx PyQy PzQz,体积最大的长方体，其P点任意轴的坐标，都与N个点中的一个相同或者和边界相同。,【问题分析】,在已经确定P的X坐标情况下,将所有点的y坐标排序，
6、得到序列y1，y2，y3。maxi记录P的Y轴坐标为yi时，Z轴坐标的最大取值，数组max的值是单调不增的。,把所有点按X轴坐标排序，当P点的X坐标与第i个点相同时，第i及第i以后的点都不可能被P包含了。,可以看出每增加一个点的限制，需要修改的是一个区间，要高效的进行区间操作就可以用到线段树。,【问题分析】,从小到大枚举P点的X坐标，这个过程中要不断维护数组max。因为P的 X坐标由第i个点的变成第i+1个点的，第i 个点的坐标就会增加对数组max 的限制。,考虑第i个点Q(x,y,z)增加对数组的限制,【问题解法】,建立关于数组max的线段树，每增加一个节点的限制，就相当于修改线段树中的一个
7、区间内的值,修改的区间如果包含节点V表示的区间，那么V及V的儿子都要修改，但是我们只要修改V：由于V的区间内的值相同，将子树V收缩成一个叶子节点。,相反的，如果修改的区间不包含节点V，而V又已经被收缩成一个叶子节点，那么我们将这个叶子节点释放出两个儿子。,线段树中，每个节点要记录其表示的区间内maxi*yi的最大值，并且在数组被修改时，维护这个最大值。根节点的最大值与P点当前X坐标相乘,就是当前最大体积。,【问题解法】,由于利用子树收缩的方法，离散后，每次修改的节点数是O(logn)级别，相关的维护也是这个级别，所以本题的复杂度为O(nlogn)。,总结这题的成功之处：不把线段树死板的按看成固
8、定的，而是抓住线段树叶子节点的本质区间内的各种数据是单一，根据情况把子树收缩为叶子或让叶子释放出儿子，从而避免重复的操作。,例3：战场统计系统,【问题描述】,人类与外星人之间的战争已趋于白热化请你尽快设计出这样一套系统。这套系统需要具备能够处理如下2类信息的能力： 外星人向x1，x2内的每个位置增援一支防御力为v的部队。 人类使用超级武器对x1，x2内的所有位置进行一次攻击力为v的打击。系统需要返回在这次攻击中被消灭的外星人个数。 注：防御力为i的外星人部队由i个外星人组成，其中第j个外星人的防御力为j。数据范围：1=x1=x2=1000,v=1000；信息总数m=2000。,【问题分析】,把
9、两类信息抽象化：Tx,y表示单位区间x,x上防御力为y的部队数目，如果在x1，x2增加防御力为v的部队，就是在这个二维数组内，添加一个x1, x21,v的矩形;要使用一次武器就相当于查找一个矩形x1, x2 1,v内的部队数目，并将此矩形内的所有部队删除。,Y,X,v1,v2,x1,x3,x2,x4,首先可以考虑在一维上优化，在每个单位区间x,x上，分别用一棵线段树记录各种防御力的部队数。,【问题分析】,如果采用最简单的方法：对矩形内的每个点进行操作，复杂度高达O(m*n*v)。,插入一个矩形x1,x21,v，就变成了执行x2-x1+1次在线段树上插入线段1,v的操作，这和一般插入是一样的。,
10、统计一个矩形内的部队数目并删除该矩形x1,x21,v内的部队，也是要在每个单位区间执行一次操作。如果V不被1,v包含，则要把本来覆盖它区间的分配给两个儿子。,【问题解法】,而如果要删除V区间，那么可以用前面的收缩子树 的方法，如果在插入时遇到叶子节点同样运用前面的方法释放出两个儿子节点。,优化后每次删除、统计、插入的复杂度都是O(n*logv)，所以总的复杂度降为O(m*n*logv);,由于这是个二维的区间，不妨将整个二维的区间建成类似线段树的面积树： 假设整个二维区间是12k12k，递归定义一棵树T：1 T的根节点为整个二维区间。2 区间x,xy,y为叶子节点3 儿子的划分:,【问题分析
11、】,建立面积树后，任意一个矩形在树中，都被划分为不超过O(2k)块区域，仿造线段树的方法进行插入、查找、和删除，就可以把本题复杂度降为O(m*(n+v),总结用线段树解题的方法,根据题目要求将一个区间建成线段树，一般的题目都需要对坐标离散。建树时，不要拘泥于线段树这个名字而只将线段建树，只要是表示区间，而且区间是由单位元素(可以是一个点、线段、或数组中一个值)组成的，都可以建线段树；不要拘泥于一维，根据题目要求可以建立面积树、体积树等等。,树的每个节点根据题目所需，设置变量记录要求的值。,用树形结构来维护这些变量：如果是求总数，则是左右儿子总数之和加上本节点的总数，如果要求最值，则是左右儿子的最大值再联系本区间。利用每次插入、删除时，都只对O(logL)个节点修改这个特点，在O(logL)的时间内维护修改后相关节点的变量。,在非规则删除操作和大规模修改数据操作中，要灵活的运用子树的收缩与叶子节点的释放，避免重复操作。,谢谢！,
