1、机械工业出版社,机制教研室 汤爱君,CAD/CAM技术,1、四边形的四个顶点坐标为（10，20）、 （20，20）、（20，10）、（10，10），如果图形在x方向上的比例变换为2，在y方向上的比例为0.5，求变换后的各点坐标,2、四边形的四个顶点坐标为（0，10）、 （10，10）、（10，0）、（0，0），如果图形在x方向上的错切变换为2，求变换后的各点坐标,3、自己推导出对y=x和y=-x线的对称变换矩阵,（1）将直线y=x按逆时针方向旋转45度，使直线与y轴重合。即作旋转变换。,（2）将旋转之后的图形对y轴作对称变换。其变换矩阵为：,（3）将图形按顺时针方向旋转45角，即作旋转变换。其
2、变换矩阵为：,则关于直线y=x的对称变换矩阵T为：,同理，可求出关于直线y=-x的对称变换矩阵T为：,回 顾,1、计算机图形学 2、图形生成技术与算法 3、图形变换（1）窗、视变换 视不变，窗变，图形相反变化 窗不变，视变，图形相同变化（2）基本变换,授课大纲,3.1二维复合变换的实例 3.2对二维复合变换的一般规律进行总结 3.3 三维图形的几何变换 3.3.1比例变换 3.3.2对称变换 3.3.3错切变换 3.3.4平移变换,3.3.5旋转变换 3.4投影变换 3.5图形裁剪技术 3.5.1点的裁剪 3.5.2线段的裁剪 3.6数控加工技术概述,基础 重点,3、二维组合变换,上述的几种变
3、换可用统一的变换矩阵形式来实现，称之基本变换。但有些变换仅用一次基本变换是不够的，必须由两次或多次基本变换组合才能实现。这种由多种基本变换组合而成的变换称之为组合变换，相应的变换矩阵叫做组合变换矩阵。,设坐标P经过n次变换T1,T2,Tn到P*，则变换结果为： P* = PT1T2Tn = PT式中，T = T1T2Tn 为总的变换矩阵，组合变换的目的是将一个变换序列表示为一个变换矩阵。,（1）绕任意点旋转变换,平面图形绕任意点C(x,y)旋转角，需要通过以下几个步骤来实现： (1)将旋转中心平移到原点; (2)将图形绕坐标系原点旋转角; (3)将旋转中心平移回到原来位置。,例二：平面图形对一
4、般位置直线ax+by+c=0的对称变换。,（1）将平面图形与直线ax+by+c=0一起向左平移x=c/a，使该直线通过原点，即作平移变换。,（2）将直线与平面图形一起按逆时针反向旋转 =arctan(-b/a)，使直线与轴重合。即作旋转变换。,（3）将旋转之后的图形对y轴作对称变换，相当于对y轴进行对称变换。其变换矩阵为：,（4）将图形按顺时针方向旋转角，即作旋转变换。其变换矩阵为：,（5）直线ax+by+c=0从原点反平移x=c/a，回到直线原来的位置，即作平移变换。其变换矩阵为：,则图形对一般位置直线的对称变换矩阵T为：,二维图形几何变换矩阵可用T表示如下：,总结：,如果将矩阵T分成四块，
5、则各部分的功能为：,对图形进行比例、对称、旋转、错切等变换。,a31，a32对图形进行平移变换， a31、 a32分别为x、y方向的平移量。,a13 对图形进行投影变换 a23,2、复合变换 解决复合变换问题的一般步骤为： （1）任意点移至坐标原点 （2）实现基本图形变换 （3）反向移回任意点,复合变换是通过基本变换的组合而成的，由于矩阵的乘法不适用于交换律，即：AB BA 因此，组合的顺序一般是不能颠倒的，顺序不同，则变换的结果亦不同，如图所示。,先平移后旋转,先旋转后平移,三、三维图形的几何变换,三维图形的变换是二维图形变换的简单扩展，变换的原理还是把齐次坐标点(x,y,z,1)通过变换矩
6、阵变换成新的齐次坐标点(x,y,z,1)，即,其中T为三维基本(齐次)变换矩阵：,T ,齐次变换矩阵：,平移,缩放 旋转 错切,透视变换,整体缩放,1、比例变换变换矩阵T=式中，A、E、J分别为x,y,z三个坐标方向的比例因子,2、对称变换,相对于xoy平面的对称变换矩阵为,T xoy =,相对于yoz平面的对称变换矩阵为,T yoz=,相对于xoz平面的对称变换矩阵为,T xoz =,3、错切变换,变换矩阵T=,式中，D、H是图形沿x方向的错切系数； B、I是图形沿y方向的错切系数；C、F是图形沿z方向的错切系数,变换矩阵T=,4、平移变换,其中L、M、N分别是X、Y、Z方向的平移量,5、旋
7、转变换,（1）绕z轴逆时针旋转角对应的变换矩阵为,（2）绕x轴逆时针旋转角对应的变换矩阵为,（3）绕y轴逆时针旋转角对应的变换矩阵为,四、投影变换,将三维图形向二维平面上投影生成二维图形表示的过程称为投影变换。 根据视点的远近，投影分为平行投影和透视投影。当投影中心(观察点)与投影平面之间的距离为无穷远时，为平行投影，否则为透视投影。 透视投影的图形与眼睛观察景物的原理及效果是一致的，因而常用于图形的真实效果显示。由于平行投影后直线间的平行关系不变，因而它常用于三维图形交互和生成工程图的视图。,投影变换分类:,1、平行投影,投影直线的方向与向量 的方向一致，投影平面为xoy平面，设对象形体上一
8、点的坐标为（x1，y1，z1），求得过该点与投影方向一致的直线的参数方程为,（ xp，yp，zp）为投影直线的向量。,该直线与xoy平面的交点坐标为（x2，y2，0）,则：,因此平行投影变换关系为：,投影变换矩阵,2、正投影-三视图,与二维图形的组合变换一样，可以通过对三维立体图形顺序进行多种基本变换，来实现复杂的三维图形变换。,主视图：变换矩阵中坐标y0，其它坐标不变：,俯视图 令z0，绕x顺时针旋转90，再在负z方向平移，其变换矩阵为：,左视图：令x0，绕z轴逆时针转90，再沿负x方向平移，变换矩阵为：,a)一点透视 b)二点透视 c)三点透视,透视变换：是通过视点将三维物体投影到投影面的
9、变换。,第三节 图形裁剪技术,实际应用中，面对一副大的画面，常要求开一个矩形窗口显示指定的部分画面。窗口内的图形被显示出来，而窗口外的图形则被裁减掉，使图形恰当的显示到屏幕上的处理技术称为裁剪技术任何图形在显示之前都要经过裁剪工作,一、点的裁剪,设矩形窗口的四条边界线是x=x1,x=x2,y=y1,y=y2,不等式组为,凡符合上述不等式组的点，都是可见图形点，不符合的，则是不可见图形点。,二、线段的裁剪,线段与窗口的位置关系：,线段完全落在窗口内 线段完全位于窗口外 线段部分位于窗口内,编码裁剪法：,第一位，点在窗口左边界线之左 为1，否则为0； 第二位，点在窗口右边界线之右为1，否则为0；
10、第三位，点在窗口下边界线之下为1，否则为0； 第四位，点在窗口上边界线之上为1，否则为0。,主要思想：用编码方法来实现裁剪,特点：对显然不可见线段的快速判别 编码方法：将窗口及其周围共划分为九个区域，对这九个区域分别用四位二进制数编码表示。四位编码中每位（按由右向左顺序）编码的意义如下：,对线段的两端点分别进行编码。然后根据线段两端点编码就能方便地判断出线段相对于窗口的位置关系：,如果线段两端点的四位编码都是0000，则表示两端点均在窗口内，线段完全可见。否则进入第二步。 如果线段两端点的四位编码不全是0000，将线段两端点的四位编码逻辑相乘，结果不是0000，则表示线段两端点在窗口边界线外的
11、同侧位置，该线段完全不可见，裁剪结束，否则进入第三步。 如果线段两端点的四位编码不全是0000，将线段两端点的四位编码逻辑相乘，结果是0000，需要再判断线段与窗口边界是否相交，如果有交点，说明该线段部分位于窗口内，即部分可见；如果没有交点，说明该线段位于窗口之外，完全不可见。 对于部分可见的线段，需要对线段进行再分。求出该线段与窗口边界线的交点，重复上述编码判断，把不在窗口内的部分丢掉。图中线段PQ被细分后PR段就被丢掉，得到新的段QR，这时还要对线段QR进行再分割，求出该线段与窗口下边界线的交点S，直到发现线段RS完全在窗口内为止。,数控加工，也称之为NC（Numerical Contor
12、l）加工，是以数值与符号构成的信息，控制机床实现自动运转。,数控加工技术概述,一、数控加工的基本概念,数控加工的优点：加工精度高，质量稳定可靠；自动化生产，效率高，周期短；可直接从CAD系统中提取数据，保证数据处理的一致性；减轻劳动强度改善劳动条件有利于生产管理,数控机床应有更好的宜人性（人机关系及环保）,便于操作的机床结构,立式数控车床,卧式数控车床,立式数控铣床,卧式数控铣床,快走丝电火花线切割机床,工作台移动式电火花机床,工作台固定式电火花机床,固定立柱立式加工中心,滑枕立式加工中心,O形整体床身立式加工中心,数控机床工作过程,加工准备阶段,机床调整阶段,程序调试阶段,试切加工阶段,正式加工阶段,检 测,常见数控系统,FANUC,立式数控铣床,用CAXA-ME实现加工的过程： 首先，在后续设置中须配置好机床，这是正确输出代码的关键 其次，看懂图纸，用曲线、曲面和实体表达工件 然后，根据工件形状，选择合适的加工方式，生成刀位轨迹 最后，生成G代码，传给机床,常用G功能代码摘要,
