1、1第七节 双曲线考纲传真 (教师用书独具)1.了解双曲线的实际背景，了解双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).3.理解数形结合思想.4.了解双曲线的简单应用(对应学生用书第 144 页)基础知识填充1双曲线的定义(1)平面内到两定点 F1， F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于| F1F2|)的点的集合叫作双曲线这两个定点 F1， F2叫作双曲线的焦点，两焦点之间的距离叫作双曲线的焦距(2)集合 P M|MF1| MF2|2 a，| F1F2|2 c，其中 a， c 为常数且 a
2、0， c0.当 2a|F1F2|时， M 点不存在2双曲线的标准方程和几何性质标准方程 1( a0， b0)x2a2 y2b2 1( a0， b0)y2a2 x2b2图形范围 x a 或 x a， yR y a 或 y a， xR对称性 对称轴：坐标轴，对称中心：原点顶点 A1( a,0)， A2(a,0) A1(0， a)， A2(0， a)渐近线 y xba y xab离心率 e ， e(1，)ca性质实虚轴线段 A1A2叫作双曲线的实轴，它的长| A1A2|2 a；线段B1B2叫作双曲线的虚轴，它的长| B1B2|2 b； a 叫作双曲线2的实半轴长， b 叫作双曲线的虚半轴长a、 b、
3、 c的关系c2 a2 b2(ca0， cb0)知识拓展1三种常见双曲线方程的设法(1)若已知双曲线过两点，焦点位置不能确定，可设方程为 Ax2 By21( AB0)表示焦点在 x 轴上的双曲线( )x2m y2n(3)双曲线 (m0， n0， 0)的渐近线方程是 0，即 0.( )x2m2 y2n2 x2m2 y2n2 xm yn(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 .( )2答案 (1) (2) (3) (4)2(教材改编)已知双曲线 1( a0)的离心率为 2，则 a( )x2a2 y23A2 B C D162 52D 依题意， e 2，所以 2 a，则 a21， a1.ca a2
4、 3a a2 33若双曲线 E： 1 的左、右焦点分别为 F1， F2，点 P 在双曲线 E 上，且x29 y216|PF1|3，则| PF2|等于( )A11 B9 C5 D3B 由题意知 a3， b4， c5.由双曲线的定义|PF1| PF2|3| PF2|2 a6，| PF2|9.34已知双曲线 1( a0， b0)的焦距为 2 ，且双曲线的一条渐近线与直线x2a2 y2b2 52x y0 垂直，则双曲线的方程为( )A y21 B x2 1x24 y24C 1 D 13x220 3y25 3x25 3y220A 由题意可得Error!解得 a2，则 b1，所以双曲线的方程为 y21，故
5、x24选 A5(2017全国卷)双曲线 1( a0)的一条渐近线方程为 y x，则 a_.x2a2 y29 355 双曲线的标准方程为 1( a0)，x2a2 y29双曲线的渐近线方程为 y x.3a又双曲线的一条渐近线方程为 y x， a5.35(对应学生用书第 145 页)双曲线的定义及应用(1)已知双曲线 x2 1 的两个焦点为 F1， F2， P 为双曲线右支上一点若y224|PF1| |PF2|，则 F1PF2的面积为( )43A48 B24C12 D6(2)(2017湖北武汉调研)若双曲线 1 的左焦点为 F，点 P 是双曲线右支上x24 y212的动点， A(1,4)，则| PF
6、| PA|的最小值是( )A8 B9C10 D12(1)B (2)B (1)由双曲线的定义可得|PF1| PF2| |PF2|2 a2，13解得| PF2|6，故| PF1|8，又| F1F2|10，4由勾股定理可知三角形 PF1F2为直角三角形，因此 S |PF1|PF2|24. PF1F2 12(2)由题意知，双曲线 1 的左焦点 F 的坐标为(4,0)，设双曲线的右焦点x24 y212为 B，则 B(4,0)，由双曲线的定义知| PF| PA|4| PB| PA|4| AB|4459，当且仅当 A， P， B 三点共线且 P 在 A， B 之间时取(4 1)2 (0 4)2等号所以| P
7、F| PA|的最小值为 9.规律方法 1.应用双曲线的定义需注意的问题在双曲线的定义中，要注意双曲线上的点 动点 具备的几何条件，即“到两定点 焦点 的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点间的距离”.若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支.同时需注意定义的转化应用.2.在焦点三角形中，注意定义、余弦定理的活用，常将| PF1| PF2|2 a 平方，建立与|PF1|PF2|间的联系.跟踪训练 已知双曲线 C 的离心率为 2，焦点为 F1， F2，点 A 在 C 上若|F1A|2| F2A|，则 cos AF2F1( ) 【导学号：79140294】A B14 13C D2
8、4 23A 由 e 2 得 c2 a，如图，由双曲线的定义得| F1A| F2A|2 a.ca又| F1A|2| F2A|，故| F1A|4 a，|F2A|2 a，cos AF2F1 .(4a)2 (2a)2 (4a)224a2a 14双曲线的标准方程5(1)(2017全国卷)已知双曲线 C： 1( a0， b0)的一条渐近线方程为x2a2 y2b2y x，且与椭圆 1 有公共焦点，则 C 的方程为( )52 x212 y23A 1 B 1x28 y210 x24 y25C 1 D 1x25 y24 x24 y23(2)(2018湖北调考)已知点 A(1,0)， B(1,0)为双曲线 1( a
9、0， b0)x2a2 y2b2的左、右顶点，点 M 在双曲线上， ABM 为等腰三角形，且顶角为 120，则该双曲线的标准方程为( )A x2 1 B x2 1y24 y23C x2 1 D x2 y21y22(1)B (2)D (1)由 y x 可得 . 52 ba 52由椭圆 1 的焦点为(3,0)，(3,0)，x212 y23可得 a2 b29. 由可得 a24， b25.所以 C 的方程为 1.x24 y25故选 B(2)由题意知 a1.不妨设点 M 在第一象限，则由题意有|AB| BM|2， ABM120.过点 M 作 MN x 轴于点 N，则|BN|1，| MN| ，所以 M(2，
10、 )，代入双曲线方程得 4 1，解得 b1，3 33b2所以双曲线的方程为 x2 y21，故选 D规律方法 求双曲线标准方程的主要方法1 定义法：由条件判定动点的轨迹是双曲线，求出 a2， b2，得双曲线方程.2 待定系数法：即“先定位，后定量” ，如果不能确定焦点的位置，应注意分类讨论或恰当设置简化讨论.跟踪训练 (1)已知双曲线 C： 1 的离心率 e ，且其右焦点为 F2(5,0)，则双x2a2 y2b2 54曲线 C 的方程为( )6A 1 B 1x24 y23 x29 y216C 1 D 1x216 y29 x23 y24(2)设椭圆 C1的离心率为 ，焦点在 x 轴上且长轴长为 2
11、6，若曲线 C2上的点到椭513圆 C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于 8，则曲线 C2的标准方程为_(1)C (2) 1 由焦点 F2(5,0)知 c5.x216 y29又 e ，得 a4， b2 c2 a29.ca 54所以双曲线 C 的标准方程为 1.x216 y29(2)由题意知椭圆 C1的焦点坐标为 F1(5,0)， F2(5,0)，设曲线 C2上的一点 P，则|PF1| PF2|8.由双曲线的定义知： a4， b3.故曲线 C2的标准方程为 1，即 1.x242 y232 x216 y29双曲线的几何性质角度 1 双曲线的离心率问题(2018 长沙模拟(二)已知双曲线 1( a0
12、， b0)的渐近线与圆( x2 )x2a2 y2b2 22 y2 相切，则该双曲线的离心率为( )83A B62 32C D33A 由双曲线 1( a0， b0)的渐近线 y x，即 bx ay0 与圆相切得x2a2 y2b2 ba ，即 c b，则 c23 b23( c2 a2)，化简得 c a，则|22b|b2 a2 22bc 223 3 2 3该双曲线的离心率为 e ，故选 Aca 32 62角度 2 双曲线的渐近线问题7(2018 合肥二检)已知双曲线 1( a0， b0)的离心率为 ，则该双曲x2a2 y2b2 3线的渐近线方程为_y x 因为 e ，所以 c2 a2 b23 a2，
13、故 b a，则此双曲线的渐2ca 3 2近线方程为 y x x.ba 2角度 3 双曲线性质的综合应用(2017 全国卷)已知 F 是双曲线 C： x2 1 的右焦点， P 是 C 上一点，且y23PF 与 x 轴垂直，点 A 的坐标是(1,3)，则 APF 的面积为 ( )A B13 12C D23 32D 因为 F 是双曲线 C： x2 1 的右焦点，所以 F(2,0)y23因为 PF x 轴，所以可设 P 的坐标为(2， yP)因为 P 是 C 上一点，所以 4 1，解得 yP3，y2P3所以 P(2，3)，| PF|3.又因为 A(1,3)，所以点 A 到直线 PF 的距离为 1，所以
14、 S APF |PF|1 31 .12 12 32故选 D规律方法 与双曲线几何性质有关问题的解题策略1 求双曲线的离心率 或范围. 依据题设条件，将问题转化为关于 a， c 的等式 或不等式 ，解方程 或不等式 即可求得.2 求双曲线的渐近线方程.依据题设条件，求双曲线中 a， b 的值或 a 与 b 的比值，进而得出双曲线的渐近线方程.跟踪训练 (1)(2017全国卷)若 a1，则双曲线 y21 的离心率的取值范围是( )x2a2A( ，) B( ，2)2 2C(1， ) D(1,2)2(2)(2016全国卷)已知方程 1 表示双曲线，且该双曲线两焦点x2m2 n y23m2 n间的距离为
15、 4，则 n 的取值范围是( )8A(1,3) B(1， )3C(0,3) D(0， )3(3)(2017武汉调研)双曲线 C： 1( a0， b0)的离心率为 ，焦点到渐y2a2 x2b2 54近线的距离为 3，则 C 的实轴长等于_. 【导学号：79140295】(1)C (2)A (3)8 (1)由题意得双曲线的离心率 e .a2 1a e2 1 .a2 1a2 1a2 a1，0 1，11 2，1a2 1a21 e .2故选 C(2)若双曲线的焦点在 x 轴上，则Error!又( m2 n)(3 m2 n)4， m21，Error!13m2且 n m2，此时 n 不存在故选 A(3)因为 e ，所以 c a，设双曲线的一条渐近线方程为 y x，即ca 54 54 abax by0，焦点为(0， c)，所以 b3，所以bca2 b2a ，所以 a216，即 a4，故 2a8.c2 b22516a2 9
