1、1第五节 简单几何体的表面积与体积考纲传真 (教师用书独具)了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式(对应学生用书第 117 页)基础知识填充1多面体的表(侧)面积因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和2圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱 圆锥 圆台侧面展开图 侧面积公式 S 圆柱侧 2 rl S 圆锥侧 rl S 圆台侧 ( r1 r2)l3.柱、锥、台和球的表面积和体积名称几何体 表面积 体积柱体(棱柱和圆柱) S 表面积 S 侧 2 S 底 V Sh锥体(棱锥和圆锥) S 表面积 S 侧 S 底 V Sh13台体
2、(棱台和圆台) S 表面积 S 侧 S 上 S 下 V (S上 S 下 )h13 S上 S下球 S4 R2 V R343知识拓展 几个与球有关的切、接常用结论(1)正方体的棱长为 a，球的半径为 R，若球为正方体的外接球，则 2R a；3若球为正方体的内切球，则 2R a；若球与正方体的各棱相切，则 2R a.2(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为 a， b， c，外接球的半径为 R，则 2R.a2 b2 c2(3)棱长为 a 的正四面体，其高 H a，则其外接球半径 R H，内切球半径63 342R H.14基本能力自测1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“” ，错误的打“”)(1
3、)多面体的表面积等于各个面的面积之和( )(2)锥体的体积等于底面面积与高之积( )(3)球的体积之比等于半径比的平方( )(4)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差( )(5)简单组合体的体积等于组成它的简单几何体体积的和或差( )(6)已知球 O 的半径为 R，其内接正方体的边长为 a，则 R a.( )32答案(1) (2) (3) (4) (5) (6)2(教材改编)已知圆锥的表面积等于 12 cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为( )A1 cm B2 cmC3 cm D cm32B S 表 r2 rl r2 r2r3 r212， r24， r2(cm)3(2016全国卷)
4、体积为 8 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( )A12 B 323C8 D4A 设正方体棱长为 a，则 a38，所以 a2.所以正方体的体对角线长为 2 ，所以正方体外接球的半径为 ，所以球的表面积为3 34( )212，故选 A 34(2017浙江高考)某几何体的三视图如图 751 所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm 3)是( )图 7513A 1 B 3 2 2C 1 D 332 32A 由几何体的三视图可知，该几何体是一个底面半径为 1，高为 3 的圆锥的一半与一个底面为直角边长是 的等腰直角三角形，高为 3 的三棱锥的组合体，2所以该几何体的体积V 1 2
5、3 3 1.13 12 13 12 2 2 2故选 A5已知某几何体的三视图如图 752 所示，则该几何体的体积为_图 752 由三视图可知，该几何体是一个圆柱挖去了一个圆锥，其体积为1632 22 2 22 .13 163(对应学生用书第 118 页)简单几何体的表面积(1)(2018石家庄一模)某几何体的三视图如图 753 所示(在网格线中，每个小正方形的边长为 1)，则该几何体的表面积为( )图 753A48 B544C64 D60(2)(2016全国卷)如图 754，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径若该几何体的体积是 ，则它的表面积是( )283图 754
6、A17B18C20D28(1)D (2)A (1)根据三视图还原直观图，如图所示，则该几何体的表面积S63 642 35 6560，故选 D.12 12 12(2)由几何体的三视图可知，该几何体是一个球体去掉上半球的 ，得到的几何体如14图设球的半径为 R，则 R3 R3 ，解得 R2.因此它的表面积为43 18 43 2834 R2 R217.故选 A78 34规律方法 简单几何体表面积的求法1 以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量.必须还原出直观图.2 多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理.3 旋转体的表面
7、积问题注意其侧面展开图的应用.5跟踪训练 (2018合肥第一次质检)一个几何体的三视图如图 755 所示(其中主视图的弧线为四分之一圆周)，则该几何体的表面积为( )图 755A484B724C486D726D 由三视图可得该几何体是棱长为 4 的正方体截去底面是边长为 2 的正方形、高为 4 的长方体，再补上 个底面圆半径为 2、高为 4 的圆柱，则该几何体的表面14积为 1622(12)82 224726，故选 D.14简单几何体的体积(1)(2017全国卷)如图 756，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体
8、积为( )图 756A90 B636C42 D36(2)(2018深圳二调)一个长方体被一个平面截去一部分后，所剩几何体的三视图如图 757 所示，则该几何体的体积为( )图 757A24B48C72D96(1)B (2)B (1)法一：(割补法)由几何体的三视图可知，该几何体是一个圆柱截去上面虚线部分所得，如图所示将圆柱补全，并将圆柱从点 A 处水平分成上下两部分由图可知，该几何体的体积等于下部分圆柱的体积加上上部分圆柱体积的 ，所以该几何体的体积12V3 243 26 63.12故选 B.法二：(估值法)由题意知， V 圆柱 V 几何体 V 圆柱 又 V 圆柱 3 21090，所以1245
9、 V 几何体 90.观察选项可知只有 63 符合故选 B.(2)由三视图知，该几何体是由长、宽、高分别为 6,4,4 的长方体被一个平面截去7所剩下的部分，如图所示，其中 C， G 均为长方体对应边的中心，该平面恰好把长方体一分为二，则该几何体的体积为 V 64448，故选 B.12规律方法 简单几何体体积问题的常见类型及解题策略1 若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解.2 若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解.3 若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的底面积和高，一般不需画直观图.跟
10、踪训练 (1)正三棱柱 ABCA1B1C1的底面边长为 2，侧棱长为 ， D 为 BC 中点，则三棱3锥 AB1DC1的体积为( ) 【导学号：79140239】A3 B32C1 D32(2)(2017山东高考)由一个长方体和两个 圆柱体构成的几何体的三视图如图14758，则该几何体的体积为_图 758(1)C (2)2 (1)由题意可知， AD平面 B1DC1，即 AD 为三棱锥 AB1DC1的高， 2且 AD 2 ，32 3易求得 S 2 ， B1DC1 12 3 3所以 V 1.AB1DC1 13 3 3(2)该几何体由一个长、宽、高分别为 2,1,1 的长方体和两个底面半径为 1，高为
11、1 的四分之一圆柱体构成，8所以 V2112 1 212 .14 2与球有关的切、接问题(2016全国卷)在封闭的直三棱柱 ABCA1B1C1内有一个体积为 V 的球若AB BC， AB6， BC8， AA13，则 V 的最大值是( )A4 B92C6 D323B 由题意得要使球的体积最大，则球与直三棱柱的若干面相切设球的半径为R， ABC 的内切圆半径为 2， R2.又6 8 1022R3， R ， Vmax .故选 B.32 43 (32)3 921若本例中的条件变为“直三棱柱 ABCA1B1C1的 6 个顶点都在球 O 的球面上” ，若AB3， AC4， AB AC， AA112，求球
12、O 的表面积解 将直三棱柱补形为长方体 ABECA1B1E1C1，则球 O 是长方体 ABECA1B1E1C1的外接球，所以体对角线 BC1的长为球 O 的直径因此 2R 13，32 42 122故 S 球 4 R2169.2若本例中的条件变为“正四棱锥的顶点都在球 O 的球面上” ，若该棱锥的高为 4，底面边长为 2，求该球的体积解 如图，设球心为 O，半径为 r，则在 Rt AFO 中，(4 r)2( )2 r2，解得 r ，294则球 O 的体积 V 球 r3 .43 43 (94)3 24316规律方法 与球有关的切、接问题的求解方法91 与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接.
13、球与旋转体的组合通常是作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点” “接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题.2 若球面上四点 P， A， B， C 中 PA， PB， PC 两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体利用 2R 求 R.a2 b2 c2确定球心位置，把半径放在直角三角形中求解.3 一条侧棱垂直底面的三棱锥问题：可补形成直三棱柱.跟踪训练 (1)(2017全国卷)已知圆柱的高为 1，它的两个底面的圆周在直径为 2 的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( )A B34C D 2 4(2)(2018深圳二调)已知三棱锥 SABC，
14、ABC 是直角三角形，其斜边 AB8， SC平面ABC， SC6，则三棱锥的外接球的表面积为( ) 【导学号：79140240】A64 B68C72 D100(1)B (2)D (1)设圆柱的底面半径为 r，球的半径为 R，且 R1，由圆柱两个底面的圆周在同一个球的球面上可知，r， R 及圆柱的高的一半构成直角三角形 r .32圆柱的体积为 V r2h 1 .34 34故选 B.(2)由于 ABC 是直角三角形，则对应的截面圆的圆心为 AB 的中点，截面圆半径r4，且球心就在过截面圆的圆心且垂直于截面的直线上，且球心到平面 ABC 的距离等于 SC 的一半，故三棱锥的外接球的半径 R 5，故三棱锥的外接球的表面积为 S4 R2100，故选 D.
