1、1第三节 平行关系考纲传真 (教师用书独具)1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题(对应学生用书第 111 页)基础知识填充1直线与平面平行(1)直线与平面平行的定义直线 l 与平面 没有公共点，则称直线 l 与平面 平行(2)判定定理与性质定理文字语言 图形表示 符号表示判定定理若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线平行于此平面l 平面/ ， b l，l bl 性质定理一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行l ， l 平面
2、， bl b2.平面与平面平行(1)平面与平面平行的定义没有公共点的两个平面叫作平行平面(2)判定定理与性质定理文字语言 图形表示 符号表示判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行a ， b ， a b P， a ， b 性质定理两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面 ， a a 2如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 ， a， ba l3.与垂直相关的平行的判定(1)a ， b a b.(2)a ， a .基本能力自测1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“” ，错误的打“”)(1)若一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和
3、这个平面平行( )(2)若直线 a平面 ， P ，则过点 P 且平行于直线 a 的直线有无数条( )(3)若一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行( )(4)若两个平面平行，则一个平面内的直线与另一个平面平行( )(5)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面( )答案 (1) (2) (3) (4) (5)2下列命题中，正确的是( )A若 a b， b ，则 a B若 a ， b ，则 a bC若 a ， b ，则 a bD若 a b， b ， a ，则 a /D A 中还有可能 a ，B 中还有可能 a 与 b 异面，C 中还有可能 a 与 b 相交或
4、异面，只有选项 D 正确3设 ， 是两个不同的平面， m 是直线且 m ， “m ”是“ ”的( )A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件B 当 m 时，过 m 的平面 与 可能平行也可能相交，因而m / ；当 时， 内任一直线与 平行，因为 m ，所以m .综上知， “m ”是“ ”的必要而不充分条件4三棱柱 ABCA1B1C1中，过棱 A1C1， B1C1， BC， AC 的中点 E， F， G， H 的平面与平面_平行A1B1BA 3如图所示，连接各中点后，易知平面 EFGH 与平面 A1B1BA 平行5(教材改编)在正方体 ABCDA1B1C1D1中，
5、 E 是 DD1的中点，则 BD1与平面 ACE 的位置关系是_平行 如图所示，连接 BD 交 AC 于 F，连接 EF，则 EF 是 BDD1的中位线， EF BD1，又 EF 平面 ACE，BD1 平面 ACE， BD1平面 ACE.(对应学生用书第 112 页)与线面平行相关命题的真假判断(1)已知 m， n 是两条不同直线， ， 是两个不同平面，则下列命题正确的是( )A若 ， 垂直于同一平面，则 与 平行B若 m， n 平行于同一平面，则 m 与 n 平行C若 ， 不平行，则在 内不存在与 平行的直线D若 m， n 不平行，则 m 与 n 不可能垂直于同一平面(2)(2017全国卷)
6、如图，在下列四个正方体中， A， B 为正方体的两个顶点，M， N， Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线 AB 与平面 MNQ 不平行的是( )4(1)D (2)A (1)A 项， ， 可能相交，故错误；B 项，直线 m， n 的位置关系不确定，可能相交、平行或异面，故错误；C 项，若 m ， n， m n，则 m ，故错误；D 项，假设 m， n 垂直于同一平面，则必有 m n，原命题正确，故 D 项正确(2)A 项，作如图(1)所示的辅助线，其中 D 为 BC 的中点，则 QD AB. QD平面 MNQ Q， QD 与平面 MNQ 相交，直线 AB 与平面 MNQ 相交B 项，作
7、如图(2)所示的辅助线，则 AB CD， CD MQ， AB MQ.又 AB 平面 MNQ， MQ 平面 MNQ， AB平面 MNQ./C 项，作如图(3)所示的辅助线，则 AB CD， CD MQ， AB MQ.又 AB 平面 MNQ， MQ 平面 MNQ， AB平面 MNQ./D 项，作如图(4)所示的辅助线，则 AB CD， CD NQ，5 AB NQ.又 AB 平面 MNQ， NQ 平面 MNQ， AB平面 MNQ.故选 A/规律方法 1.判断与平行关系相关命题的真假，必须熟悉线、面平行关系的各个定义、定理，无论是单项选择还是含选择项的填空题，都可以从中先选出最熟悉最容易判断的选项先确
8、定或排除，再逐步判断其余选项.2.1 结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断.2 特别注意定理所要求的条件是否完备，图形是否有特殊情形，通过举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确.跟踪训练 (2017唐山模拟)若 m， n 表示不同的直线， ， 表示不同的平面，则下列结论中正确的是( )【导学号：79140229】A若 m ， m n，则 n B若 m ， n ， m ， n ，则 C若 ， m ， n ，则 m nD若 ， m ， n m， n ，则 n /D 在 A 中，若 m ， m n，则 n 或 n ，故 A 错误在 B 中，若m ， n ， m ， n ，则 与 相交或平行，故
9、 B 错误在 C 中，若 ， m ， n ，则 m 与 n 相交、平行或异面，故 C 错误在 D 中，若 ， m ， n m， n ，则由线面平行的判定定理得 n ，故 D 正/确直线与平面平行的判定与性质角度 1 直线与平面平行的判定(2016 全国卷)如图 731，四棱锥 PABCD 中， PA底面ABCD， AD BC， AB AD AC3， PA BC4， M 为线段 AD 上一点， AM2 MD， N 为 PC 的中点图 7316(1)证明： MN平面 PAB；(2)求四面体 NBCM 的体积解 (1)证明：由已知得 AM AD2.23如图，取 BP 的中点 T，连接 AT， TN，
10、由 N 为 PC 中点知 TN BC，TN BC2.12又 AD BC，故 TN AM， 所以四边形 AMNT 为平行四边形，于是 MN AT.因为 AT 平面 PAB， MN 平面 PAB，/所以 MN平面 PAB.(2)因为 PA平面 ABCD， N 为 PC 的中点，所以 N 到平面 ABCD 的距离为 PA12如图，取 BC 的中点 E，连接 AE.由 AB AC3 得 AE BC， AE .AB2 BE2 5由 AM BC 得 M 到 BC 的距离为 ，5故 S BCM 4 2 .12 5 5所以四面体 NBCM 的体积 VNBCM S BCM .13 PA2 453角度 2 线面平
11、行性质定理的应用如图 732 所示， CD， AB 均与平面 EFGH 平行， E， F， G， H 分别在BD， BC， AC， AD 上，且 CD AB.求证：四边形 EFGH 是矩形图 732证明 CD平面 EFGH，7而平面 EFGH平面 BCD EF， CD EF.同理 HG CD， EF HG.同理 HE GF，四边形 EFGH 为平行四边形， CD EF， HE AB， HEF 为异面直线 CD 和 AB 所成的角又 CD AB， HE EF.平行四边形 EFGH 为矩形规律方法 1.证明线面平行的常用方法1 利用线面平行的定义 无公共点.2 利用线面平行的判定定理 a ， b
12、， a ba ./3 利用面面平行的性质定理 ， a a .4 利用面面平行的性质 ， a ， a a ./2.利用判定定理判定线面平行，注意三条件缺一不可，关键是找平面内与已知直线平行的直线.常利用三角形的中位线、平行四边形的对边平行或过已知直线作一平面找其交线.跟踪训练 如图 733 所示，斜三棱柱 ABCA1B1C1中，点 D， D1分别为 AC， A1C1的中点图 733(1)证明： AD1平面 BDC1；(2)证明： BD平面 AB1D1.证明 (1) D1， D 分别为 A1C1， AC 的中点，四边形 ACC1A1为平行四边形， C1D1 DA，四边形 ADC1D1为平行四边形，
13、 AD1 C1D，又 AD1 平面 BDC1， C1D /平面 BDC1， AD1平面 BDC1. 8(2)连接 D1D， BB1平面 ACC1A1， BB1 平面 BB1D1D，平面 ACC1A1平面 BB1D1D D1D， BB1 D1D，又 D1， D 分别为 A1C1， AC 的中点， BB1 DD1，故四边形 BDD1B1为平行四边形， BD B1D1，又 BD 平面 AB1D1， B1D1 平面/AB1D1， BD平面 AB1D1.平面与平面平行的判定与性质如图 734 所示，在三棱柱 ABCA1B1C1中， E， F， G， H 分别是 AB， AC， A1B1， A1C1的中点
14、，求证：图 734(1)B， C， H， G 四点共面；(2)平面 EFA1平面 BCHG.证明 (1) G， H 分别是 A1B1， A1C1的中点， GH 是 A1B1C1的中位线， GH B1C1.又 B1C1 BC， GH BC， B， C， H， G 四点共面(2)在 ABC 中， E， F 分别为 AB， AC 的中点， EF BC EF 平面 BCHG， BC 平面 BCHG，/ EF平面 BCHG. A1G EB， 四边形 A1EBG 是平行四边形，则 A1E GB. A1E 平面 BCHG， GB 平面 BCHG，/9 A1E平面 BCHG. A1E EF E，平面 EFA1
15、平面 BCHG.在本例条件下，若点 D 为 BC1的中点，求证： HD平面 A1B1BA证明 如图所示，连接 HD， A1B， D 为 BC1的中点， H 为 A1C1的中点， HD A1B.又 HD 平面 A1B1BA，/A1B 平面 A1B1BA， HD平面 A1B1BA规律方法 证明面面平行的常用方法1 利用面面平行的定义.2 利用面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.3 利用“垂直于同一条直线的两个平面平行”.4 利用“如果两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行”.5 利用“线线平行” “线面平行” “面面平行”的相互转化.跟踪训练 在正方体 ABCDA1B1C1D1中， M、 N、 P 分别是 C1C、 B1C1、 C1D1的中点求证：平面 MNP平面 A1BD. 【导学号：79140230】证明 如图，连接 B1D1、 B1C P、 N 分别是 D1C1、 B1C1的中点， PN B1D1.又 B1D1 BD， PN BD.10又 PN 平面 A1BD， PN平面 A1BD./同理， MN平面 A1BD，又 PN MN N，平面 PMN平面 A1BD.
