1、1第四节 数系的扩充与复数的引入考纲传真 (教师用书独具)1.理解复数的概念，理解复数相等的充要条件.2.了解复数的代数表示法及其几何意义.3.能进行复数代数形式的四则运算，了解两个具体复数相加、减的几何意义(对应学生用书第 77 页)基础知识填充1复数的有关概念(1)复数的概念：形如 a bi(a， bR)的数叫复数，其中 a， b 分别是它的实部和虚部若 b0，则 a bi 为实数，若 b0，则 a bi 为虚数，若 a0 且 b0，则 a bi 为纯虚数(2)复数相等： a bi c dia c， b d(a， b， c， d R)(3)共轭复数： a bi 与 c di 共轭 a c，
2、 b d(a， b， c， dR)(4)复数的模：向量 的模 r 叫作复数 z a bi 的模，即| z| a bi| .OZ a2 b22复数的几何意义复数 z a bi 复平面内的点 Z(a， b) 平面向量 一 一 对 应 一 一 对 应 ( a， b)OZ 3复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设 z1 a bi， z2 c di(a， b， c， dR)，则加法： z1 z2( a bi)( c di)( a c)( b d)i；减法： z1 z2( a bi)( c di)( a c)( b d)i；乘法： z1z2( a bi)(c di)( ac bd)( ad bc)
3、i；除法： i(c di0)z1z2 a bic di (a bi)(c di)(c di)(c di) ac bdc2 d2 bc adc2 d2(2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何 z1， z2， z3C，有z1 z2 z2 z1，( z1 z2) z3 z1( z2 z3)基本能力自测1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“” ，错误的打“”)(1)方程 x2 x10 没有解( )(2)复数 z a bi(a， bR)中，虚部为 bi.( )2(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小( )(4)在复平面内，原点是实轴与虚轴的交点( )(5)复数的模
4、实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模( )答案 (1) (2) (3) (4) (5)2. (教材改编)如图 441，在复平面内，点 A 表示复数 z，则图中表示 z 的共轭复数的点是( )图 441A A B BC C D DB 共轭复数对应的点关于实轴对称3(2017全国卷)复平面内表示复数 zi(2i)的点位于( )A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限C zi(2i)12i，复数 z12i 所对应的复平面内的点为Z(1，2)，位于第三象限故选 C4(2017全国卷) ( )3 i1 iA12i B12iC2i D2iD 2i.3 i1 i (3 i
5、)(1 i)(1 i)(1 i) 3 3i i 12故选 D5设 i 是虚数单位，若复数(2 ai)i 的实部与虚部互为相反数，则实数 a 的值为_2 因为(2 ai)i a2i，又其实部与虚部互为相反数，所以 a20，即 a2.(对应学生用书第 77 页)复数的有关概念3(1)(2018合肥一检)设 i 为虚数单位，复数 z 的虚部是( )1 i3 iA B15 15C1 D1(2)(2017全国卷)设有下面四个命题：p1：若复数 z 满足 R，则 zR；1zp2：若复数 z 满足 z2R，则 zR；p3：若复数 z1， z2满足 z1z2R，则 z1 2；zp4：若复数 zR，则 R.z其
6、中的真命题为( )A p1， p3 B p1， p4C p2， p3 D p2， p4(1)B (2)B (1)复数 z i，则 z 的虚部为 ，故选(1 i)(3 i)(3 i)(3 i) 4 2i10 25 15 15B(2)设 z a bi(a， bR)， z1 a1 b1i(a1， b1R)， z2 a2 b2i(a2， b2R)对于 p1，若 R，即 R，则 b0 z a bi aR，所以 p1为真命1z 1a bi a bia2 b2题对于 p2，若 z2R，即( a bi)2 a22 abi b2R，则 ab0.当 a0， b0 时， z a bi biR，所以 p2为假命题对于
7、 p3，若 z1z2R，即( a1 b1i)(a2 b2i)( a1a2 b1b2)( a1b2 a2b1)iR，则a1b2 a2b10.而 z1 2，即 a1 b1i a2 b2ia1 a2， b1 b2.因为za1b2 a2b10 a1 a2， b1 b2，所以 p3为假命题/对于 p4，若 zR，即 a biR，则 b0 a bi aR，所以 p4为真命题故选zB规律方法 与复数概念相关问题的求解方法1 复数的概念问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程 不等式 组即可.2 解决复数模的问题可以根据模的性质把积、商的模转化为模的
8、积、商.易错警示：解题时一定要先看复数是否为 a bi a， bR 的形式，以确定实部和虚部.跟踪训练 (1)(2016全国卷)若 z12i，则 ( )4izz 1A1 B14Ci Di(2)(2018长沙模拟(二)已知 a 是实数， 是纯虚数，则 a( )a i2 iA B12 12C1 D1(1)C (2)A (1)因为 z12i，则 12i，所以 z (12i)(12i)5，则z z i.故选 C4izz 1 4i4(2)复数 i 是纯虚数，则 0 且a i2 i (a i)(2 i)5 2a 15 a 25 2a 15 0，解得 a ，故选 Aa 25 12复数的几何意义(1)(201
9、8石家庄质检(二)在复平面中，复数 对应的点在( ) 1(1 i)2 1【导学号：79140161】A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限(2)(2016全国卷)已知 z( m3)( m1)i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数 m 的取值范围是( )A(3,1) B(1,3)C(1，) D(，3)(1)D (2)A (1)复数 i，其在复平面内1(1 i)2 1 11 2i 1 2i(1 2i)(1 2i) 15 25对应的点为 ，位于第四象限，故选 D(15， 25)(2)由题意知Error!即3 m1.故实数 m 的取值范围为(3,1)规律方法 对复数几何意义的理解及应用,1 复
10、数 z、复平面上的点 Z 及向量 相互OZ 联系，即 z a bi a， bR Z a， b .,2 由于复数、点、向量之间建立了OZ 一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观.跟踪训练 (1)若复数 z( a1)3i( aR)在复平面内对应的点在直线 y x2 上，则5a 的值等于( )A1 B2 C5 D6(2)设复数 z1， z2在复平面内的对应点关于虚轴对称， z12i，则 z1z2( )A5 B5C4i D4i(1)B (2)A (1)复数 z( a1)3i 在复平面内对应的点( a1,3)在直线 y x2上，3 a12
11、， a2，故选 B(2) z12i 在复平面内的对应点的坐标为(2,1)，又 z1与 z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，则 z2的对应点的坐标为(2,1)即 z22i， z1z2(2i)(2i)i 245.复数的代数运算(1)(2018广州综合测试(二)若复数 z 满足(34i z)i2i，则 z( )A46i B42iC42i D26i(2)(2018石家庄一模)若 z 是复数， z ，则 z ( )1 2i1 i zA B102 52C1 D52(1)D (2)D (1)由题意得 34i z 12i，所以 z26i，故选2 ii i(2 i)i2D(2)因为 z i，所以 i，所以 z
12、1 2i1 i (1 2i)(1 i)(1 i)(1 i) 12 32 z 12 32 z ，故选 D(12 32i)( 12 32i) 52规律方法 复数代数运算问题的求解方法1 复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把 i 的幂写成最简形式.2 记住以下结论，可提高运算速度1i 22i； i； i； b aii a bi ；i 4n1；i 4n1 i1 i 1 i1 i1i；i 4n2 1； i 4n3 i nN.6跟踪训练 (1)已知 i 是虚数单位， _. (1 i1 i)8 ( 21 i)2 018 【导学号：79140162】(2)已知 a， bR，i 是虚数单位，若(1i)(1 bi) a，则 的值为_ab(1)1i (2)2 (1)原式 (1 i1 i)8 1 009 i 8 i 8i 1 009(2 2i)1 009 1i 42521 1i.(2)(1i)(1 bi)1 b(1 b)i a，又 a， bR，1 b a 且 1 b0，得 a2， b1， 2.ab
