1、1第三节 平面向量的数量积与平面向量应用举例考纲传真 (教师用书独具)1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题(对应学生用书第 74页)基础知识填充1平面向量的数量积(1)向量的夹角定义：已知两个非零向量 a和 b，如图 431，作 a， b，则 AOB (0OA OB 180)叫作 a与 b的夹角图 431当 0时， a与 b
2、同向当 180时， a与 b反向当 90时， a与 b垂直(2)向量的数量积定义：已知两个向量 a与 b，它们的夹角为 ，则数量| a|b|cos 叫作 a与 b的数量积(或内积)，记作 ab，即 ab| a|b|cos ，由定义可知零向量与任一向量的数量积为 0 ，即 0a0.(3)数量积的几何意义：数量积 ab等于 a的长度| a|与 b在 a的方向上的射影|b|cos 的乘积，或 b的长度| b|与 a在 b方向上射影| a|cos 的乘积2平面向量数量积的运算律(1)交换律： ab ba；(2)数乘结合律：( a)b (ab) a( b)；(3)分配律： a(b c) ab ac.3平
3、面向量数量积的性质及其坐标表示设非零向量 a( x1， y1)， b( x2， y2)， a， b 结论 几何表示 坐标表示2模 |a| aa |a| x21 y21数量积ab| a|b|cos ab x1x2 y1y2夹角 cos ab|a|b| cos x1x2 y1y2x21 y21x2 y2a b ab0 x1x2 y1y20|ab|与| a|b|的关系 |ab| a|b|x1x2 y1y2| x21 y21 x2 y2知识拓展 两个向量 a， b的夹角为锐角 ab0 且 a， b不共线；两个向量 a， b的夹角为钝角 ab0 且 a， b不共线基本能力自测1(思考辨析)判断下列结论的
4、正误(正确的打“” ，错误的打“”)(1)两个向量的数量积是一个实数，向量的数乘运算的运算结果是向量( )(2)由 ab0，可得 a0 或 b0.( )(3)向量 a b的充要条件： ab0 x1x2 y1y20.( )(4)若 ab0，则 a和 b的夹角为锐角；若 ab0，则 a和 b的夹角为钝角( )(5)ab ac(a0)，则 b c.( )答案 (1) (2) (3) (4) (5)2(2016全国卷)已知向量 ， ，则 ABC( )BA (12， 32) BC (32， 12)A30 B45C60 D120A 因为 ， ，所以 .又因为 | |BA (12， 32) BC (32，
5、12) BA BC 34 34 32 BA BC BA |cos ABC11cos ABC，所以 cos ABC .又 0 ABC180，所以BC 32 ABC30.故选 A3向量 a(1，1)， b(1,2)，则(2 a b)a( )A1 B0C1 D2C 法一： a(1，1)， b(1,2)， a22， ab3，从而(2 a b)a2 a2 ab431.法二： a(1，1)， b(1,2)，2 a b(2，2)(1,2)(1,0)，3从而(2 a b)a(1,0)(1，1)1，故选 C4(教材改编)已知| a|5，| b|4， a与 b的夹角 120，则向量 b在向量 a方向上的投影为_2
6、 由数量积的定义知， b在 a方向上的投影为| b|cos 4cos 1202.5(2017全国卷)已知向量 a(1,2)， b( m,1)若向量 a b与 a垂直，则m_.7 a(1,2)， b( m,1)， a b(1 m,21)( m1,3)又 a b与 a垂直，( a b)a0，即( m1)(1)320，解得 m7.(对应学生用书第 75页)平面向量数量积的运算(1)(2017南宁二次适应性测试)线段 AD， BE分别是边长为 2的等边三角形 ABC在边 BC， AC边上的高，则 ( )AD BE A B C D32 32 332 332(2)(2017北京高考)已知点 P在圆 x2
7、y21 上，点 A的坐标为(2,0)， O为原点，则 的最大值为_. AO AP 【导学号：79140156】(1)A (2)6 (1)由等边三角形的性质得| | | ， ， 120，所AD BE 3 AD BE 以 | | |cos ， ，故选 AAD BE AD BE AD BE 3 3 ( 12) 32(2)法一：根据题意作出图像，如图所示， A(2,0)， P(x， y)由点 P向 x轴作垂线交 x轴于点 Q，则点 Q的坐标为( x,0) | | |cos ，AO AP AO AP 4| |2，| | ，AO AP (x 2)2 y2cos ，AQAP x 2(x 2)2 y2所以 2
8、( x2)2 x4.AO AP 点 P在圆 x2 y21 上，所以 x1,1所以 的最大值为 246.AO AP 法二：如图所示，因为点 P在圆 x2 y21 上，所以可设 P(cos ，sin )(0 2)，所以 (2,0)， (cos 2，sin )，AO AP 2cos 4246，AO AP 当且仅当 cos 1，即 0， P(1,0)时“”号成立规律方法 向量数量积的两种计算方法1 当已知向量的模和夹角 时，可利用定义法求解，即 ab| a|b|cos .2 当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若 a x1， y1 ， b x2， y2 ，则ab x1x2 y1y2.易错警示：1
9、要有“基底”意识，关键是用基向量表示题目中所求相关向量.2 注意向量夹角的大小，以及夹角 0，90，180三种特殊情形.跟踪训练 (1)(2018太原模拟(二)已知 a(2,1)， b(1,1)，则 a在 b方向上的投影为( )A B C D22 22 55 55(2)已知正方形 ABCD的边长为 1，点 E是 AB边上的动点，则 的值为DE CB _； 的最大值为_DE DC (1)A (2)1 1 由题意，得| b| ， ab1，所以 a在 b方向上的投影为2|a|cos ，故选 Aab|b| 22法一：以射线 AB， AD为 x轴， y轴的正方向建立平面直角坐标系，则 A(0,0)， B
10、(1,0)，C(1,1)， D(0，1)，设 E(t,0)， t0,1，则 ( t，1)， (0，1)，所DE CB 以 ( t，1)(0，1)1.DE CB 5因为 (1,0)，所以 ( t，1)(1,0) t1，DC DE DC 故 的最大值为 1.DE DC 法二：由图知，无论 E点在哪个位置， 在 方向上的投影都是 CB1，所DE CB 以 | |11，DE CB CB 当 E运动到 B点时， 在 方向上的投影最大，即为 DC1，DE DC 所以( )max| |11.DE DC DC 平面向量数量积的性质角度 1 平面向量的模(2018 合肥二检)设向量 a， b满足| a b|4，
11、 ab1，则| a b|( )A2 B2 C3 D23 5B 由| a b|4 两边平方可得| a|2| b|2162 ab14，则| a b| |a b|2 2 ，故选 B|a|2 2ab |b|2 12 3角度 2 平面向量的夹角(2018 济南一模)设向量 a与 b的夹角为 ，若 a(3，1)， b a(1,1)，则 cos _.(2)已知平面向量 a， b的夹角为 120，且 ab1，则| a b|的最小值为 ( )A B C D16 3 2(1) (2)A (1)由题意得向量 b( b a) a(2,0)，所以 cos 31010 ab|a|b| .32 ( 1)0102 31010
12、(2)由题意可知：1 ab| a|b|cos 120，所以 2| a|b|6.即| a|2| b|24，|a|2 |b|22|a b|2 a22 ab b2 a2 b22426，所以| a b| .6角度 3 平面向量的垂直(2018 深圳二调)已知平面向量 a， b，若| a| ，| b|2， a与 b的夹角 3，且( a mb) a，则 m( )6A B1 C D212 3B 由( a mb) a可得( a mb)a a2 mab3 m 2cos 0，解得36m1，故选 B规律方法 平面向量数量积性质的应用类型与求解策略1 求两向量的夹角：cos ，要注意 0，.ab|a|b|2 两向量垂
13、直的应用： a bab0| a b| a b|.3 求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有 a2 aa| a|2或| a| .aa| ab| .(ab)2 a22ab b2若 a x， y ，则| a| .x2 y24 射影的数量 投影a在 b上的投影| a| a， b .ab|b|跟踪训练 (1)(2017山西四校联考)已知| a|1，| b| ，且 a( a b)，则向量 a2与向量 b的夹角为( )A B C D6 4 3 23(2)(2017全国卷)已知向量 a， b的夹角为 60，| a|2，| b|1，则|a2 b|_.(3)已知向量 与 的夹角为 120，且| |3，|
14、|2.若 ，且AB AC AB AC AP AB AC ，则实数 的值为_. AP BC 【导学号：79140157】(1)B (2)2 (3) a( a b)， a(a b) a2 ab1 cos a， b3712 270，cos a， b ， a， b .22 4(2)法一：| a2 b| (a 2b)2 a2 4ab 4b2 22 421cos 60 412 2 .12 3法二：(数形结合法)由| a|2 b|2，知以 a与 2b为邻边可作出边长为 2的菱形OACB，如图，则| a2 b| |.又 AOB60，所以| a2 b|2 .OC 3(3) ，由于 ，BC AC AB AP BC
15、 所以 0，AP BC 即( )( )AB AC AC AB 2 2( 1) AB AC AB AC 9 4( 1)32 (12)0，解得 .712平面向量与三角函数的综合问题(2017湖北仙桃一中期中)已知向量 a ， b ，且(cos3x2， sin3x2) (cosx2， sinx2)x .3， 4(1)求 ab及| a b|；(2)若 f(x) ab| a b|，求 f(x)的最大值和最小值解 (1) abcos cos sin sin cos 2 x.3x2 x2 3x2 x2 a b ，(cos3x2 cosx2， sin3x2 sinx2)| a b|8 2|cos x|.2 2
16、cos 2x x ，cos x0，| a b|2cos x.3， 4(2)f(x)cos 2 x2cos x2cos 2x2cos x12 .(cos x12)2 32 x ， cos x1，3， 4 12当 cos x 时， f(x)取得最小值 ；12 32当 cos x1 时， f(x)取得最大值1.规律方法 平面向量与三角函数的综合问题的解题思路1 题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立的方法等，得到三角函数的关系式，然后求解.2 给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界
17、性，求得值域等.跟踪训练 在平面直角坐标系 xOy中，已知向量 m ， n(sin x，cos x)，(22， 22)x .(0，2)(1)若 m n，求 tan x的值；(2)若 m与 n的夹角为 ，求 x的值3解 (1)因为 m ，(22， 22)n(sin x，cos x)， m n.所以 mn0，即 sin x cos x0，22 22所以 sin xcos x，所以 tan x1.(2)因为| m| n|1，所以 mncos ，3 12即 sin x cos x ，22 22 12所以 sin ，(x4) 129因为 0 x ，2所以 x ，4 4 4所以 x ，即 x .4 6 5
18、12平面向量与三角形的“四心”O是平面上一点，动点 P满足 ， 0，)，则动点 POP OA (AB |AB |AC |AC |)的轨迹一定通过 ABC的( )A内心 B外心C垂心 D重心A 1，|AB AB | |AC AC | 表示与 A的平分线共线的向量(AB |AB |AC |AC |)又 ，OP OA (AB |AB |AC |AC |) OP OA (AB |AB |AC |AC |)即 ，AP (AB |AB |AC |AC |) P一定在 A的平分线上，即 P点一定通过 ABC的内心规律方法 1.要注意弄清向量的线性运算所表达的几何意义，即利用向量加，减法的平行四边形法则或三角形法则，明确向量所代表的意义.2.要注意等式的等价转化和三角形“四心”的特征.跟踪训练 已知 A， B， C是平面上不共线的三点，在平面上一点 O满足 0，OA OB OC 则 O是 ABC的_10重心 设线段 AB的中点 D 0，OA OB OC 2 ，OA OB OD OC ， 共线，OD OC 经过 AB的中点 DOC 同理 过 BC的中点， 过 AC的中点，OA OB 故 O是 ABC的重心
