1、1第六节 简单的三角恒等变换(对应学生用书第 59 页)三角函数式的化简(1)化简： _.sin 2 2cos2sin( 4)(2)化简： .2cos4x 2cos2x 122tan( 4 x)sin2( 4 x)(1)2 cos 原式 2 cos .22sin cos 2cos222(sin cos ) 2(2)解 原式 2sin2xcos2x 122sin( 4 x)cos2( 4 x)cos( 4 x) 12(1 sin22x)2sin( 4 x)cos( 4 x)12cos22xsin( 2 2x) cos 2x.12规律方法 1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则一看“角” ，通过看
2、角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式.二看“函数名称” ，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，最常见的是“切化弦”.三看“结构特征” ，分析结构特征，找到变形的方向.2.三角函数式化简的方法弦切互化，异名化同名，异角化同角，化异次为同次.跟踪训练 化简：2(0 )(1 sin cos )(sin 2 cos 2)2 2cos 解 原式(2sin 2cos 2 2cos2 2)(sin 2 cos 2)4cos2 2cos 2sin2 2 cos2 2|cos 2| . cos 2cos |cos 2|0 ，0 ，cos 0， 2 2 2原式cos .三角函数式的求值角
3、度 1 给值求值(2017 全国卷)已知 ，tan 2，则 cos _.(0， 2) ( 4)cos cos cos sin sin 31010 ( 4) 4 4 (cos sin )22又由 ，tan 2，知 sin ，cos ，(0， 2) 255 55所以 cos .( 4) 22 (55 255) 31010角度 2 给角求值(2017 安徽二模)sin 40(tan 10 )( ) 3【导学号：79140126】A B1123C D32 33B sin 40(tan 10 )3sin 40(sin 10 r(3)cos 10)cos 10sin 402sin(10 60)cos 10
4、 2sin 40cos 40cos 10 1.故选 Bsin 80cos 10 cos 10cos 10角度 3 给值求角设 ， 为钝角，且 sin ，cos ，则 a 的值为( )55 31010A B34 54C D 或74 54 74C ， 为钝角，sin ，cos ，55 31010cos ，sin ， 255 1010cos( )cos cos sin sin 0.22又 (，2)， ， .(32， 2 ) 74规律方法 三角函数求值的类型与求解方法1“ 给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角” ，使其角相同或具有某种关系.2“ 给角求值
5、”：一般所给出的角都是非特殊角，应仔细观察非特殊角与特殊角之间的关系，结合公式将非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数求解.3“ 给值求角”：实质是转化为“给值求值” ，先求角的某一函数值，再求角的范围，最后确定角.跟踪训练 (1)(2016全国卷)若 cos ，则 sin 2 ( )( 4 ) 35A B725 154C D15 725(2)(2017湖北新联考四模) ( )sin 101 3tan 10A B14 12C D132(3)已知 tan ，tan 是方程 x23 x40 的两根，且3 ， ，则 ( )( 2， 2)A B 或 3 3 23C 或 D 3 23 23(1)D (
6、2)A (3)D (1)因为 cos ，( 4 ) 35所以 sin 2 cos cos 2 2cos 2 12 1 .( 2 2 ) ( 4 ) ( 4 ) 925 725(2) sin 101 3tan 10 sin 10cos 10cos 10 3sin 10 .故选 A2sin 10cos104(12cos 10 32sin 10) sin 204sin(30 10) 14(3)由题意得 tan tan 3 0，tan tan 40，所以 tan( )3 ，且 tan 0，tan 0，又由 ， 得tan tan 1 tan tan 3 ( 2， 2) ， ，所以 (，0)，所以 .(
7、2， 0) 23三角恒等变换的简单应用已知函数 f(x)sin 2xsin 2 ， xR.(x 6)(1)求 f(x)的最小正周期；(2)求 f(x)在区间 上的最大值和最小值. 3， 4【导学号：79140127】解 (1)由已知，有5f(x) 1 cos 2x2 1 cos(2x 3)2 cos 2x12(12cos 2x 32sin 2x) 12 sin 2x cos 2x sin .34 14 12 (2x 6)所以 f(x)的最小正周期 T .22(2)因为 f(x)在区间 上是减函数， 3， 6在区间 上是增函数， 6， 4且 f ， f ， f ，( 3) 14 ( 6) 12
8、( 4) 34所以 f(x)在区间 上的最大值为 ，最小值为 . 3， 4 34 12规律方法 三角恒等变换应用问题的求解方法1 进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用.2 把形如 y asin x bcos x 的函数化为 y sin x 的a2 b2 (其 中 tan ba)形式，可进一步研究函数的周期、单调性、最值与对称性.跟踪训练 (1)(2016山东高考)函数 f(x)( sin xcos x)( cos xsin x)的最3 3小正周期是( )A B 2C D232(2)函数 f(x)sin( x )2sin cos x 的最
9、大值为_(1)B (2)1 (1)法一： f(x)( sin xcos x)( cos xsin x)3 34 (32sin x 12cos x)(32cos x 12sin x)4sin cos 2sin ，(x 6) (x 6) (2x 3) T .22法二： f(x)( sin xcos x)( cos xsin x)3 363sin xcos x cos2x sin2xsin xcos x3 3sin 2 x cos 2x32sin ，(2x 3) T .22故选 B(2)f(x)sin( x )2sin cos xsin xcos cos xsin 2sin cos xsin xcos cos xsin sin( x ) f(x)max1.
