1、1第十一节 导数的应用考纲传真 (教师用书独具)1.了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)；2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)；3.利用导数研究函数的单调性、极(最)值，并会解决与之有关的方程(不等式)问题；4.会利用导数解决某些简单的实际问题(对应学生用书第 34 页)基础知识填充1函数的单调性与导数的关系函数 y f(x)在某个区间内可导，则：(1)如果 f( x)0，那么函数 y
2、 f(x)在这个区间内是增加的；(2)如果 f( x)0，那么函数 y f(x)在这个区间内是减少的；(3)如果 f( x)0，那么函数 y f(x)在这个区间内是常数函数2函数的极值与导数(1)极值点与极值设函数 f(x)在点 x0及附近有定义，且在 x0两侧的单调性相反或导数值异号，则 x0为函数 f(x)的极值点， f(x0)为函数的极值(2)极大值点与极小值点若先增后减(导数值先正后负)，则 x0为极大值点；若先减后增(导数值先负后正)，则 x0为极小值点(3)可求导函数极值的步骤：求 f( x)；解方程 f( x)0；检查 f( x)在方程 f( x)0 的解 x0的左右两侧的符号如
3、果左正右负，那么 f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么 f(x)在这个根处取得极小值如果 f( x)在x0两侧的符号相同，则 x0不是极值点3函数的最值与导数(1)函数 f(x)在 a， b上有最值的条件如果在区间 a， b上函数 y f(x)的图像是连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值(2)设函数 f(x)在 a， b上连续且在( a， b)内可导，求 f(x)在 a， b上的最大值和2最小值的步骤如下：求 f(x)在( a， b)内的极值；将 f(x)的各极值与 f(a)、 f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值知识拓展1在某区间内 f( x)0( f(
4、x)0)是函数 f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件2可导函数 f(x)在( a， b)上是增(减)函数的充要条件是：对任意 x( a， b)，都有 f( x)0( f( x)0)且 f( x)在( a， b)上的任何子区间内都不恒为零3对于可导函数 f(x)， f( x0)0 是函数 f(x)在 x x0处有极值的必要不充分条件基本能力自测1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“” ，错误的打“”)(1)若函数 f(x)在区间( a， b)上单调递增，那么在区间( a， b)上一定有 f( x)0.( )(2)如果函数在某个区间内恒有 f( x)0，则函数 f(x)在此区间上
5、没有单调性( )(3)函数的极大值不一定比极小值大( )(4)对可导函数 f(x)， f( x0)0 是 x0为极值点的充要条件( )(5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值( )(6)若实际问题中函数定义域是开区间，则不存在最优解( )答案 (1) (2) (3) (4) (5) (6)2(教材改编) f(x) x36 x2的单调递减区间为( )A(0,4) B(0,2)C(4，) D(，0)A f( x)3 x212 x3 x(x4)，由 f( x)0，得 0 x4，所以单调递减区间为(0,4)3如图 2111 所示是函数 f(x)的导函数 f( x)的图像，则下列判
6、断中正确的是( )图 2111A函数 f(x)在区间(3,0)上是减函数B函数 f(x)在区间(1,3)上是减函数C函数 f(x)在区间(0,2)上是减函数3D函数 f(x)在区间(3,4)上是增函数A 当 x(3,0)时， f( x)0，则 f(x)在(3,0)上是减函数其他判断均不正确4函数 y2 x32 x2在区间1,2上的最大值是_8 y6 x24 x，令 y0，得 x0 或 x .23 f(1)4， f(0)0， f ，(23) 827f(2)8，最大值为 8.5函数 f(x) x aln x(a0)的极小值为_a aln a f(x)的定义域为(0，)，易知 f( x)1 .ax由
7、 f( x)0，解得 x a(a0)又当 x(0， a)时， f( x)0；当 x( a，)时， f( x)0，所以函数 f(x)在 x a 处取得极小值，且极小值为 f(a) a aln a第 1 课时 导数与函数的单调性(对应学生用书第 35 页)利用用导数法判断或证明函数的单调性(2017全国卷节选)已知函数 f(x)e x(ex a) a2x.讨论 f(x)的单调性解 函数 f(x)的定义域为(，)，f( x)2e 2x aex a2(2e x a)(ex a)若 a0，则 f(x)e 2x在(，)上单调递增若 a0，则由 f( x)0 得 xln a.当 x(，ln a)时， f(
8、x)0；当 x(ln a，)时， f( x)0.故 f(x)在(，ln a)上单调递减，在(ln a，)上单调递增4若 a1 时， g(x)0.解 (1)由题意得 f( x)2 ax (x0)1x 2ax2 1x当 a0 时， f( x)0 时，由 f( x)0 有 x ，12a当 x 时， f( x)0， f(x)单调递增(12a， )(2)证明：令 s(x)e x1 x，则 s( x)e x1 1.当 x1 时， s( x)0，又 s(1)0，有 s(x)0，所以 ex1 x，5从而 g(x) 0.1x 1ex 1利用导数求函数的单调区间设函数 f(x) xea x bx，曲线 y f(x
9、)在点(2， f(2)处的切线方程为 y(e1)x4.(1)求 a， b 的值；(2)求 f(x)的单调区间. 【导学号：79140076】解 (1)因为 f(x) xea x bx，所以 f( x)(1 x)ea x b.依题设，Error!即Error!解得Error!(2)由(1)知 f(x) xe2 xe x.由 f( x)e 2 x(1 xe x1 )及 e2 x0 知， f( x)与 1 xe x1 同号令 g(x)1 xe x1 ，则 g( x)1e x1 .所以，当 x(，1)时， g( x)0， g(x)在区间(1，)上单调递增故 g(1)1 是 g(x)在区间(，)上的最小
10、值，从而 g(x)0， x(，)综上可知， f( x)0， x(，)，故 f(x)的单调递增区间为(，)规律方法 利用导数求函数单调区间的步骤1 确定函数 f x 的定义域.2 求 f x.3 在定义域内解不等式 f x 0，得单调递增区间.4 在定义域内解不等式 f x 0，得单调递减区间.易错警示：解不等式 f x 0 0 时不加“”号.跟踪训练 (2018合肥第二次质检节选)已知 f(x)ln( x m) mx.求 f(x)的单调区间解 由已知可得函数定义域为( m，) f(x)ln( x m) mx， f( x) m.1x m当 m0 时， f( x) m0，1x m6即 f(x)的单
11、调递增区间为( m，)，无单调递减区间；当 m0 时， f( x) m ，1x m m(x m 1m)x m由 f( x)0，得 x m( m，)，1m当 x 时， f( x)0，( m， m1m)当 x 时， f( x)0，( m1m， )当 m0 时，易知 f(x)的单调递增区间为 ，单调递减区间为( m， m1m).( m1m， )已知函数单调性求参数的取值范围已知函数 f(x)ln x， g(x) ax22 x(a0)12(1)若函数 h(x) f(x) g(x)存在单调递减区间，求 a 的取值范围；(2)若函数 h(x) f(x) g(x)在1,4上单调递减，求 a 的取值范围解 (
12、1) h(x)ln x ax22 x， x(0，)，12所以 h( x) ax2，由于 h(x)在(0，)上存在单调递减区间，1x所以当 x(0，)时， ax20 有解，1x即 a 有解1x2 2x设 G(x) ，所以只要 a G(x)min即可1x2 2x而 G(x) 1，所以 G(x)min1.(1x 1)2 所以 a1，即 a 的取值范围为(1，)(2)由 h(x)在1,4上单调递减得，当 x1,4时， h( x) ax20 恒成立，1x即 a 恒成立1x2 2x7所以 a G(x)max，而 G(x) 21，(1x 1)因为 x1,4，所以 ，1x 14， 1所以 G(x)max (此
13、时 x4)，716所以 a ，即 a 的取值范围是 .716 716， )1本例(2)中，若函数 h(x) f(x) g(x)在1,4上单调递增，求 a 的取值范围解 由 h(x)在1,4上单调递增得，当 x1,4时， h( x)0 恒成立，当 x1,4时， a 恒成立，1x2 2x又当 x1,4时， min1(此时 x1)，(1x2 2x) a1，即 a 的取值范围是(，12本例(2)中，若 h(x)在1,4上存在单调递减区间，求 a 的取值范围解 h(x)在1,4上存在单调递减区间，则 h( x)0 在1,4上有解，当 x1,4时， a 有解，1x2 2x又当 x1,4时， min1，(1
14、x2 2x) a1，即 a 的取值范围是(1，)规律方法 根据函数单调性求参数的一般方法1 利用集合间的包含关系处理： y f x 在 a， b 上单调，则区间 a， b 是相应单调区间的子集.2 转化为不等式的恒成立问题，即“若函数单调递增，则 f x0 ；若函数单调递减，则 f x0” 来求解.易错警示： f x 为增函数的充要条件是对任意的 x a， b 都有 f x0 ，且在 a， b 内的任一非空子区间上 f x 不恒为 0.应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解.跟踪训练 (1)(2017四川乐山一中期末) f(x) x2 aln x 在(1，)上单调递增，则实数 a 的取值范围
15、为( )A a1 B a18C a2 D a2(2)函数 f(x) x3 x2 ax5 在区间1,2上不单调，则实数 a 的取值范围是( ) 13【导学号：79140077】A(，3 B(3,1)C1，) D(，31，)(1)D (2)B (1)由 f(x) x2 aln x，得 f( x)2 x ， f(x)在(1，)上ax单调递增，2 x 0 在(1，)上恒成立，即 a2 x2在(1，)上恒成立，ax x(1，)时，2 x22， a2.故选 D(2)因为 f(x) x3 x2 ax5，13所以 f( x) x22 x a( x1) 2 a1，如果函数 f(x) x3 x2 ax5 在区间1
16、,2上单调，那么 a10 或Error!解得13a1 或 a3，于是满足条件的 a(3,1)函数不单调问题求参数的取值范围f(x) x33 ax23 x1 在(2,3)上不单调，求 a 的取值范围解 f( x)3 x26 ax3， f(x)在(2,3)上不单调3 x26 ax30 在(2,3)上有解 a ，当 2 x3 时， a .x2 12x 54 53规律方法 f x 在 a， b 上不单调 f x 在 a， b 上有极值 f x 0 在 a， b 上有解且无重根.跟踪训练 f(x) x3(1 a)x2 a(a2) x b 在(1,1)上不单调，求 a 的取值范围解 f( x)3 x22(1 a)x a(a2)(3 x a2)( x a)， f(x)在(1,1)上不单调， f( x)0 在(1,1)上有解 a3 x2 或 a x，有1 x1 得5 a1，又 4(1 a)212 a(a2)(2 a1) 20， a ，129 a 的取值范围为5 a 或 a1.12 12
