1、1第八节 二项分布与正态分布考纲传真 (教师用书独具)1.了解条件概率的概念，了解两个事件相互独立的概念.2.理解 n 次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单问题.3.借助直观直方图认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义(对应学生用书第 185 页)基础知识填充1条件概率在已知 B 发生的条件下，事件 A 发生的概率叫作 B 发生时 A 发生的条件概率，用符号P(A|B)来表示，其公式为 P(A|B) (P(B)0)P(AB)P(B)2相互独立事件(1)一般地，对两个事件 A， B，如果 P(AB) P(A)P(B)，则称 A， B 相互独立(2)如果 A， B 相互独立，则 A
2、与 ， 与 B， 与 也相互独立B A A B(3)如果 A1， A2， An相互独立，则有P(A1A2An) P(A1)P(A2)P(An)3独立重复试验与二项分布(1)独立重复试验在相同条件下重复做的 n 次试验称为 n 次独立重复试验，其中 Ai(i1,2， n)是第 i 次试验结果，则P(A1A2A3An) P(A1)P(A2)P(A3)P(An)(2)二项分布进行 n 次试验，如果满足以下条件：每次试验只有两个相互对立的结果，可以分别称为“成功”和“失败” ；每次试验“成功”的概率均为 p， “失败”的概率均为 1 p；各次试验是相互独立的用 X 表示这 n 次试验中成功的次数，则P
3、(X k)C pk(1 p)n k(k0,1,2， n)kn若一个随机变量 X 的分布列如上所述，称 X 服从参数为 n， p 的二项分布，简记为X B(n， p)4正态分布(1)正态曲线的特点：曲线位于 x 轴上方，与 x 轴不相交；曲线是单峰的，它关于直线 x 对称；2曲线在 x 处达到峰值 ；1 2曲线与 x 轴之间的面积为 1；当 一定时，曲线的位置由 确定，曲线随着 的变化而沿 x 轴平移；当 一定时，曲线的形状由 确定， 越小，曲线越“瘦高” ，表示总体的分布越集中； 越大，曲线越“矮胖” ，表示总体的分布越分散(2)正态分布的三个常用数据 P( X )68.3%； P( 2 X
4、2 )95.4%； P( 3 X 3 )99.7%.基本能力自测1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“” ，错误的打“”)(1)相互独立事件就是互斥事件( )(2)若事件 A， B 相互独立，则 P(B|A) P(B)( )(3)P(AB)表示事件 A， B 同时发生的概率，一定有 P(AB) P(A)P(B)( )(4)在正态分布的分布密度上，函数： f(x) e 中， 是正态分1 2 (x )22 2 布的标准差( )(5)二项分布是一个用公式 P(X k)C pk(1 p)n k， k0,1,2， n 表示的概kn率分布列，它表示了 n 次独立重复试验中事件 A 发生的次数的概率分
5、布( )答案 (1) (2) (3) (4) (5)2已知 P(B|A) ， P(AB) ，则 P(A)等于( )12 38A B316 1316C D34 14C 由 P(AB) P(A)P(B|A)，得 P(A)，38 12所以 P(A) .343(教材改编)小王通过英语听力测试的概率是 ，他连续测试 3 次，那么其中恰有 1 次获13得通过的概率是( )A B C D49 29 427 2273A 所求概率 PC .13 (13)1 (1 13)3 1 494(2015全国卷)投篮测试中，每人投 3 次，至少投中 2 次才能通过测试已知某同学每次投篮投中的概率为 0.6，且各次投篮是否投
6、中相互独立，则该同学通过测试的概率为( )A0.648 B0.432 C0.36 D0.312A 3 次投篮投中 2 次的概率为 P(k2)C 0.62(10.6)，投中 3 次的概率为23P(k3)0.6 3，所以通过测试的概率为 P(k2) P(k3)C 0.62(10.6)230.6 30.648.故选 A5已知随机变量 服从正态分布 N(2， 2)，且 P( 4)0.8，则 P(0 4)_.0.6 由 P( 4)0.8，得 P( 4)0.2.又正态曲线关于 x2 对称则 P( 0) P( 4)0.2，所以 P(0 4)1 P( 0) P( 4)0.6.(对应学生用书第 186 页)条件
7、概率(1)(2018西宁检测(一)盒中装有 10 个乒乓球，其中 6 个新球，4 个旧球，不放回地依次摸出 2 个球使用，在第一次摸出新球的条件下，第二次也摸出新球的概率为 ( )A B35 59C D25 110(2)(2018东北三省三校二模)甲、乙两人从 1,2,3，10 中各任取一数(不重复)，已知甲取到的数是 5 的倍数，则甲数大于乙数的概率为_(1)B (2) (1)“第一次摸出新球”记为事件 A，则 P(A) ， “第二次摸出新球”1318 35记为事件 B，则 P(AB) ，C26C210 134所以 P(B|A) ，故选 BP(AB)P(A)1335 59(2)由于已知甲取到
8、的数是 5 的倍数，那么所有的取数的基本事件有(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,6)，(5,7)，(5,8)，(5,9)，(5,10)，(10,1)，(10,2)，(10,3)，(10,4)，(10,5)，(10,6)，(10,7)，(10,8)，(10,9)，共 18 种，而满足甲数大于乙数的基本事件有 13 种，故所求的概率为 P .1318规律方法 条件概率的两种求法1 定义法：先求 P A 和 P AB ，再由 P B|A 求 P B|A.P(AB)P(A)2 基本事件法：借助古典概型概率公式，先求事件 A 包含的基本事件数 n A ，再求事件 AB 所包含的基本事
9、件数 n AB ，得 P B|A .n(AB)n(A)3 P AB 的求法： AB 即事件的交，即同时发生，法一、 A 与 B 相互独立，用概率乘法公式.法二、 A 与 B 有公共基本事件时用古典概型.跟踪训练 (2017河北“五个一名校联盟”二模)某个电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为 ，两次闭合后都出现红灯的概率为 ，12 15则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为( ) 【导学号：79140372】A B C D110 15 25 12C 设“开关第一次闭合后出现红灯”为事件 A， “第二次闭合后出现红灯”为事件B，则由题意可得
10、 P(A) ， P(AB) ，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭12 15合出现红灯的概率是 P(B|A) .故选 CP(AB)P(A)1512 25相互独立事件同时发生的概率(2018重庆调研(二)甲、乙、丙三人各自独立地加工同一种零件，已知甲加工的零件是一等品且乙加工的零件不是一等品的概率为 ，乙加工的零件是一等品且丙加工125的零件也是一等品的概率为 ，甲加工的零件是一等品且丙加工的零件也是一等品的概112率为 ，记 A， B， C 分别为甲、乙、丙三人各自加工的零件是一等品的事件29(1)分别求出事件 A， B， C 的概率 P(A)， P(B)， P(C)；(2)从甲、乙、丙三
11、人加工的零件中随机各取 1 个进行检验，记这 3 个零件是一等品的个数为 ，求随机变量 的分布列解 (1)由题设条件有Error!即Error!解得 P(A) ， P(B) ， P(C) .23 14 13(2)由(1)知 P( ) ， P( ) ， P( ) ， 的可能取值为 0,1,2,3.A13 B 34 C 23 P( 0) P( ) ，ABC13 34 23 16P( 1) P(A ) P( B ) P( C)BC AC AB ，23 34 23 13 14 23 13 34 13 1736P( 2) P(AB ) P(A C) P( BC) ，C B A23 14 23 23 34
12、 13 13 14 13 1136P( 3) P(ABC) .23 14 13 118 的分布列为 0 1 2 3P 16 1736 1136 118规律方法 求相互独立事件同时发生的概率的方法1 首先判断几个事件的发生是否相互独立.2 求相互独立事件同时发生的概率的方法主要有：利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解；正面计算较繁或难以入手时，可从其对立事件入手计算.3 理解 A 1 2A3 A1 2 3 1A2 3的含义.AA AA A A跟踪训练 (2017南宁质检)某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为 和 .现安排甲组研发新产品 A，乙组研发新产品 B，设甲、乙两组
13、的研发相互23 35独立(1)求至少有一种新产品研发成功的概率；6(2)若新产品 A 研发成功，预计企业可获利润 120 万元；若新产品 B 研发成功，预计企业可获利润 100 万元求该企业可获利润的分布列解 记 E甲组研发新产品成功， F乙组研发新产品成功由题设知 P(E) ， P( ) ， P(F) ， P( ) ，且事件 E 与 F， E 与 ， 与 F， 与 都相互独立23 E 13 35 F 25 F E E F(1)记 H至少有一种新产品研发成功，则 ，于是 P( ) P( )P( )H E F H E F .13 25 215故所求的概率为 P(H)1 P( )1 .H 215
14、1315(2)设企业可获利润为 X 万元，则 X 的可能取值为 0,100,120,220.因为 P(X0) P( ) ，E F 13 25 215P(X100) P( F) ，E 13 35 15P(X120) P(E ) ，F 23 25 415P(X220) P(EF) .23 35 25故所求 X 的分布列为X 0 100 120 220P 215 15 415 25独立重复试验与二项分布一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得 10 分，出现两次音乐获得 20 分，出现三次音乐获得 100 分，没
15、有出现音乐则扣除 200 分(即获得200 分)设每次击鼓出现音乐的概率为 ；且各次击鼓出现音乐相互独立12(1)设每盘游戏获得的分数为 X，求 X 的分布列；(2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？解 (1) X 的可能取值有200,10,20,100.根据题意，有 P(X200)C ，03(12)0 (1 12)3 187P(X10)C ，13(12)1 (1 12)2 38P(X20)C ，23(12)2 (1 12)1 38P(X100)C .3(12)3 (1 12)0 18所以 X 的分布列为X 200 10 20 100P 18 38 38 18(2)由(1)知：每盘游
16、戏出现音乐的概率是P .38 38 18 78则玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是P11C .03(78)0 (1 78)3 511512规律方法 1.独立重复试验的实质及应用独立重复试验的实质是相互独立事件的特例，应用独立重复试验公式可以简化求概率的过程.2.判断某概率模型是否服从二项分布 Pn X k C pk1 p n k的三个条件kn1 在一次试验中某事件 A 发生的概率是同一个常数 p.2 n 次试验不仅是在完全相同的情况下进行的重复试验，而且每次试验的结果是相互独立的.3 该公式表示 n 次试验中事件 A 恰好发生了 k 次的概率.跟踪训练 在一次数学考试中，第 22 题和第
17、23 题为选做题规定每位考生必须且只需在其中选做一题设 4 名学生选做每一道题的概率均为 .12(1)求其中甲、乙两名学生选做同一道题的概率；(2)设这 4 名学生中选做第 23 题的学生个数为 ，求 的分布列解 (1)设事件 A 表示“甲选做第 22 题” ，事件 B 表示“乙选做第 22 题” ，则甲、乙两名学生选做同一道题的事件为“ AB ”，且事件 A、 B 相互独立A B故 P(AB ) P(A)P(B) P( )P( ) .A B A B12 12 (1 12) (1 12) 12(2)随机变量 的可能取值为 0,1,2,3,4，且 B ，则 P( k)C (4，12) k4(12
18、)k 4 kC (k0,1,2,3,4)(112) k4(12)4 8故 的分布列为 0 1 2 3 4P 116 14 38 14 116正态分布(1)(2018东北三省三校二模)已知随机变量 X N(0， 2)，若 P(|X|2)的值为( )A B1 a2 a2C1 a D1 a2(2)已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布 N(0,32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为( ) 【导学号：79140373】(参考数据：若随机变量 服从正态分布 N( ， 2)，则 P( )68.26%， P( 2 2 )95.44%， P( 3 3 )99.74%.A4.5
19、6% B13.59%C27.18% D31.74%(1)A (2)B (1)根据正态分布可知 P(|X|2)1，故 P(X2) ，故选1 a2A(2)由正态分布的概率公式知 P(3 3)0.682 6， P(6 6)0.954 4，故 P(3 6) 0.135 P( 6 6) P( 3 3)2 0.954 4 0.682 62913.59%，故选 B规律方法 解决有关正态分布的求概率问题的关键是充分利用正态曲线的对称性及曲线与 x 轴之间的面积为 1，把待求区间内的概率向已知区间内的概率转化.解题时要充分结合图形进行分析、求解，要注意数形结合思想及化归思想的运用.1 应熟记P 100) 0.2，所以该班学生数学成绩在1 2P(90 X 100)2110 分以上的人数为 0.25010.
