1、1第二节 不等式的证明考纲传真 (教师用书独具)通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法(对应学生用书第 206 页)基础知识填充1基本不等式定理 1：设 a， bR，则 a2 b22 ab，当且仅当 a b 时，等号成立定理 2：如果 a， b 为正数，则 ，当且仅当 a b 时，等号成立a b2 ab定理 3：如果 a， b， c 为正数，则 ，当且仅当 a b c 时，等号成立a b c3 3abc定理 4：(一般形式的算术几何平均不等式)如果 a1， a2， an为 n 个正数，则 ，当且仅当 a1 a2 an时，等号成立a1 a2 ann na1a2an2柯西
2、不等式(1)柯西不等式的代数形式：设 a， b， c， d 都是实数，则( a2 b2)(c2 d2)( ac bd)2(当且仅当 ad bc 时，等号成立)(2)柯西不等式的向量形式：设 ， 是两个向量，则| | | |，当且仅当 是零向量，或存在实数 k，使 k 时，等号成立(3)柯西不等式的三角不等式：设 x1， y1， x2， y2， x3， y3R，则 .(x1 x2)2 (y1 y2)2 (x2 x3)2 (y2 y3)2 (x1 x3)2 (y1 y3)2(4)柯西不等式的一般形式：设 a1， a2， a3， an， b1， b2， b3， bn是实数，则( a a a )(b
3、b b )( a1b1 a2b2 anbn)2，当且仅当21 2 2n 21 2 2nbi0( i1,2， n)或存在一个数 k，使得 ai kbi(i1,2， n)时，等号成立3不等式的证明方法证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法等(1)比较法：比差法的依据是： a b0ab 步骤是：“作差变形 判断差的符号” 变形是手段，变形的目的是判断差的符号比商法：若 B0，欲证 A B，只需证 1.AB(2)综合法与分析法：综合法：利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质，推导出所要证明的不等式，2这种方法叫综合法即“由因导果”的方法分析法：从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件
4、，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能够肯定这些充分条件都已经具备，那么就可以判定原不等式成立，这种方法叫作分析法即“执果索因”的方法基本能力自测1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“” ，错误的打“”)(1)比较法最终要判断式子的符号得出结论( )(2)综合法是从原因推导到结果的思维方法，它是从已知条件出发，经过逐步推理，最后达到待证的结论( )(3)分析法又叫逆推证法或执果索因法，是从待证结论出发，一步一步地寻求结论成立的必要条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实( )(4)使用反证法时， “反设”不能作为推理的条件应用( )答案 (1) (2) (3) (
5、4)2(教材改编)若 a b1， x a ， y b ，则 x 与 y 的大小关系是( )1a 1bA x y B x yC x y D x yA x y a 1a (b 1b) a b .b aab (a b)(ab 1)ab由 a b1 得 ab1， a b0，所以 0，即 x y0，所以 x y.(a b)(ab 1)ab3若 a ， b ， c ，则 a， b， c 的大小关系为( )3 2 6 5 7 6A abc B acbC bca D cabA “分子”有理化得 a ， b ， c ，13 2 16 5 17 6所以 abc.4已知 a0， b0 且 ln(a b)0，则 的最
6、小值是_. 1a 1b【导学号：79140398】4 由题意得， a b1， a0， b0，所以 (a b)2 1a 1b (1a 1b) ba ab322 4，baab当且仅当 a b 时等号成立125已知 x0， y0，证明：(1 x y2)(1 x2 y)9 xy.证明 因为 x0， y0，所以 1 x y23 0,1 x2 y3 0，3xy2 3x2y故(1 x y2)(1 x2 y)3 3 9 xy.3xy2 3x2y(对应学生用书第 207 页)比较法证明不等式已知 a0， b0，求证： .ab ba a b证明 法一： ( )(ab ba) a b (ab b) (ba a) a
7、 bb b aa 0，(a b)(r(a) r(b)ab (r(a) r(b)(r(a) r(b)2ab .ab ba a b法二：由于 ab baa b aa bbab(r(a) r(b)(r(a) r(b)(a r(ab) b)ab(r(a) r(b) 1a bab 11.2abab又 a0， b0， 0，ab .ab ba a b规律方法 作差比较法证明不等式的步骤：1 作差；2 变形；3 判断差的符号；4 下结论.其中“变形”是关键，通常将差变形成因式连乘的形式或平方和的形式，再4结合不等式的性质判断出差的正负.注：作商比较法也有类似的步骤，但注意其比较的是两个正数的大小，且第3 步要
8、判断商与“1”的大小.跟踪训练 (2018临川一中)设 a b，求证： a46 a2b2 b44ab(a2 b2)证明 因为 a46 a2b2 b44 ab(a2 b2)( a2 b2)24 ab(a2 b2)4 a2b2( a2 b22 ab)2( a b)4.又 a b，所以( a b)40，所以 a46 a2b2 b44ab(a2 b2)综合法证明不等式(2017全国卷)已知 a0， b0， a3 b32.证明：(1)( a b)(a5 b5)4；(2)a b2.证明 (1)( a b)(a5 b5) a6 ab5 a5b b6( a3 b3)22 a3b3 ab(a4 b4)4 ab(
9、a2 b2)24.(2)因为( a b)3 a33 a2b3 ab2 b323 ab(a b)2 (a b)2 ，3(a b)24 3(a b)34所以( a b)38，因此 a b2.规律方法 1.综合法证明的实质是由因导果，其证明的逻辑关系是：AB1B2BnB A 为已知条件或数学定义、定理、公理， B 为要证结论 ，它的常见书面表达式是“，”或“”.2.综合法证明不等式，要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与联系.合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键.跟踪训练 已知 a0， b0， a b1，求证：(1) 8；1a 1b 1ab(2) 9.(11a)(1 1b
10、)证明 (1) a b1， a0， b0， 1a 1b 1ab 1a 1b a bab2 2(1a 1b) (a ba a bb )52 44 48(ba ab) baab(当且仅当 a b 时，等号成立)， 8.12 1a 1b 1ab(2) 1，由(1)知 8.(11a)(1 1b) 1a 1b 1ab 1a 1b 1ab 9.(11a)(1 1b)用分析法证明不等式(1)设 a， b， c0 且 ab bc ca1，求证： a b c ；3(2)设 x1， y1，求证 x y xy. 1xy 1x 1y【导学号：79140399】证明 (1)因为 a， b， c0，所以要证 a b c
11、，3只需证明( a b c)23.即证： a2 b2 c22( ab bc ca)3，而 ab bc ca1，故需证明： a2 b2 c22( ab bc ca)3( ab bc ca)即证： a2 b2 c2 ab bc ca.而 ab bc ca a2 b2 c2(当且仅当 a b c 时等号a2 b22 b2 c22 c2 a22成立)成立所以原不等式成立(2)由于 x1， y1，要证 x y xy，1xy 1x 1y只需证 xy(x y)1 y x( xy)2.因为 y x( xy)2 xy(x y)1( xy)21 xy(x y)( x y)( xy1)( xy1)( x y)(xy
12、1)( xy1)( xy x y1)( xy1)( x1)( y1)，因为 x1， y1，6所以( xy1)( x1)( y1)0，从而所要证明的不等式成立规律方法 分析法证明不等式的注意事项：用分析法证明不等式时，不要把“逆求”错误地作为“逆推” ，分析法的过程仅需要寻求充分条件即可，而不是充要条件，也就是说，分析法的思维是逆向思维，因此在证题时，应正确使用“要证” “只需证”这样的连接“关键词”.跟踪训练 (2018广州综合测试(二)(1)已知 a b c1，证明：( a1) 2( b1)2( c1) 2 ；163(2)若对任意实数 x，不等式| x a|2 x1|2 恒成立，求实数 a
13、的取值范围证明 (1)法一：因为 a b c1，所以( a1) 2( b1) 2( c1) 2 a2 b2 c22( a b c)3 a2 b2 c25.所以要证( a1) 2( b1) 2( c1) 2 ，163只需证 a2 b2 c2 .13因为 a2 b2 c2( a b c)22( ab bc ca)( a b c)22( a2 b2 c2)，所以 3(a2 b2 c2)( a b c)2.因为 a b c1，所以 a2 b2 c2 .13所以( a1) 2( b1) 2( c1) 2 .163法二：因为 a b c1，所以( a1) 2( b1) 2( c1) 2 a2 b2 c22
14、( a b c)3 a2 b2 c25.所以要证( a1) 2( b1) 2( c1) 2 ，163只需证 a2 b2 c2 .13因为 a2 a， b2 b， c2 c，19 23 19 23 19 23所以 a2 b2 c2 (a b c)13 23因为 a b c1，所以 a2 b2 c2 .13所以( a1) 2( b1) 2( c1) 2 .1637法三：因为( a1) 2 (a1)，169 83(b1) 2 (b1)，169 83(c1) 2 (c1)，169 83所以( a1) 2( b1) 2( c1) 2 (a1)( b1)( c1)163 83因为 a b c1，所以( a
15、1) 2( b1) 2( c1) 2 .163(2)设 f(x)| x a|2 x1|，则“对任意实数 x，不等式| x a|2 x1|2 恒成立”等价于“ f(x)min2” 当 a 时， f(x)Error!12此时 f(x)min f a ，(12) 12要使| x a|2 x1|2 恒成立，必须 a 2，12解得 a .52综上所述，实数 a 的取值范围为 .( ， 32) 52， )柯西不等式的应用已知 x， y， z 均为实数(1)若 x y z1，求证： 3 ；3x 1 3y 2 3z 3 3(2)若 x2 y3 z6，求 x2 y2 z2的最小值8解 (1)证明：因为( )2(
16、1 21 21 2)3x 1 3y 2 3z 3(3x13 y23 z3)27.所以 3 .3x 1 3y 2 3z 3 3当且仅当 x ， y ， z0 时取等号23 13(2)因为 6 x2 y3 z ，x2 y2 z2 1 4 9所以 x2 y2 z2 ，当且仅当 x ，即 x ， y ， z 时， x2 y2 z2有最小187 y2 z3 37 67 97值 .187规律方法 1.使用柯西不等式证明的关键是恰当变形，化为符合它的结构形式，当一个式子与柯西不等式的左边或右边具有一致形式时，就可使用柯西不等式进行证明.2.利用柯西不等式求最值的一般结构为： a a aError! 1 11 2 n2.在使用柯西不等式时，21 2 (1a21 1a2 1a2n)要注意右边常数且应注意等号成立的条件.跟踪训练 (2017江苏高考)已知 a， b， c， d 为实数，且 a2 b24， c2 d216，证明： ac bd8.证明 由柯西不等式，得( ac bd)2( a2 b2)(c2 d2)因为 a2 b24， c2 d216，所以( ac bd)264，因此 ac bd8.
