1、120 单元测试卷二时间：90 分钟 满分 150 分班级_ 姓名_ 分数_一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知 A(1,2)， B(3,4)， C(2,2)， D(3,5)，则向量 在向量 上的投影为( )AB CD A. B.105 2105C. D.3105 4105答案：B解析： (2,2)， (1,3)，| | ， 264，向量 在向量AB CD CD 10 AB CD AB 上的投影为 ，故选 B.CD AB CD |CD | 410 21052已知向量 a(2,1)， ab10，| a b|5 ，则
2、| b|( )2A5 B25C. D.5 10答案：A解析：因为| a b|5 ，所以 a22 ab b250，即 5210 b250，所以2|b|5.3已知向量 a(1,1)， b(1，1)， c(1，2)，则 c( )A a b B a b12 32 12 32C. a b D a b32 12 32 12答案：D4若非零向量 a， b 满足| a b| b|，则( )A|2 b| a2 b| B|2 b| a2 b|C|2 a|2 a b| D|2 a|2 a b|答案：A5已知平面上不共线的四点 O、 A、 B、 C.若 4 3 0，则 ( )OA OB OC |BA |CB |A.
3、B.13 12C2 D3答案：D解析： 4 3 0，OA OB OC ( )3 3 0，即 3( )，OA OB OB OC OA OB OB OC 3 ，BA CB 3.|BA |CB |26在 ABC 中，若| |1，| | ，| | |，则 ( )AB AC 3 AB AC BC AB BC |BC |A B32 12C. D.12 32答案：B解析：由向量的平行四边形法则，知当| | |时， A90.又| |1，|AB AC BC AB | ，故 B60， C30，| |2，所以 .AC 3 BC AB BC |BC |AB |BC |cos120|BC | 127已知 a(3,4)，
4、 b(1,2 m)， c( m，4)，满足 c( a b)，则 m( )A B.83 83C. D43 43答案：A解析： a b(2,42 m)， c( a b)c(a b)( m，4)(2,42 m)2 m4(42 m)0，解得 m .838已知平面向量 a(1， )，| a b|1，则| b|的取值范围是( )3A0,1 B1,3C2,4 D3,4答案：B解析：由于 1，所以向量 b 对应的点在以(1， )为圆心，1 为半径的圆上，由|a b| 3于圆心到原点的距离为 2，所以 的取值范围是1,3|b|9已知向量 (2,2)， (4,1)，在 x 轴上的一点 P 使 取得最小值，则点 P
5、OA OB AP BP 的坐标为( )A(3,0) B(3,0)C(2,0) D(4,0)答案：A解析：设 P(x,0)，则 ( x2，2)， ( x4，1)，AP BP ( x2)( x4)(2)(1) x26 x10( x3) 21，AP BP 当 x3 时， 取得最小值，此时 P(3,0)AP BP 10已知 O 是三角形 ABC 所在平面内一点，且满足 | |2 | |2，BA OA BC AB OB AC 则 O 点( )A在过点 C 且垂直于 AB 的直线上B在 C 平分线所在的直线上C在 AB 边中线所在的直线上D是 ABC 的外心答案：A解析：由题意有 2 20.AB OB A
6、B OA CA CB 即 ( )( )AB OB AB OA CA CB CA CB 3 ( )2 0，AB OA OB CO OA CO OB AB OC 所以 .OC AB 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分把答案填在题中横线上11若向量 (1，3)，| | |， 0，则| |_.OA OB OA OA OB AB 答案：2 5解析：因为| |2| |2| |2| |22 1010020，所以| |AB OB OA OB OA OA OB AB 2 .20 512已知向量 a， b 满足| a|1，| b| ， a b( ，1)，则向量 a b 与向量 a b3
7、3的夹角是_答案：23解析：因为| a b|2| a b|22| a|22| b|2，所以|a b|22| a|22| b|2| a b|22644，故| a b|2，因为 cos a b， a b ，故所求夹角是 . a b a b|a b|a b| 1 34 12 2313已知在 ABC 中，向量 与 的夹角为 ，| |2，则| |的取值范围是AB BC 56 AC AB _答案：(0,4解析：| | | ，| |2| |2 |AC AB BC |AB |2 |BC |2 2|AB |BC |cos56 AB BC 3| |4，把| |看作未知量，得到一个一元二次方程| |2 | | |(
8、| AB|24)AB BC BC BC 3AB BC 0，这个方程的判别式 ( | |)24(| |24)3AB AB 16| |20，4| |4，根据实际意义，知 0| |4.AB AB AB 14已经 ABC 为等边三角形， AB2，设点 P， Q 满足 ， (1 ) ，AP AB AQ AC R，若 ，则 _.BQ CP 32答案：12解析： cos 2， (1 ) ，AB AC |AB | |AC | 3 BQ AQ AB AC AB 同理 ，则 (1 ) (1 ) 2 2 CP AB AC BQ CP AC AB AC AB AB AC 2 (1 )4(1 )4 22 22 2 ，解
9、得 .32 1215如图，在正方形 ABCD 中，已知 AB2， M 为 BC 的中点，若 N 为正方形内(含边界)任意一点，则 的最大值为_AM AN 答案：6解析：以 AB， AD 所在的直线为坐标轴建立坐标系，则 M(2,1)， A(0,0)，设 N(x， y)，4则 0 x2,0 y2，因此 2 x y，因此，当 x2， y2 时，有最大值 6.AM AN 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16(12 分)已知 A、 B、 C 三点的坐标分别为(2，1)、(2，1)、(0,1)，且3 ， 2 ，求点 P、 Q 和向量 的坐标CP CA
10、CQ CB PQ 解：因为 A、 B、 C 三点的坐标分别为(2,1)、(2，1)、(0,1)，所以 (2,0)，CA (2，2)，所以 3 (6,0)， 2 (4，4)，设 P(x， y)，则有CB CP CA CQ CB ( x， y1)，所以Error!解得Error!即 P 点的坐标为(6,1)，同理可得 Q(4，3)，因CP 此向量 (10，4)PQ 17(12 分)已知| a|4，| b|8， a 与 b 的夹角是 120.(1)求 ab 及| a b|的值；(2)当 k 为何值时，( a2 b)( ka b)?解：(1) ab| a|b|cos12016，|a b| a b 2
11、a2 b2 2ab4 .3(2)由题意，知( a2 b)(ka b) ka2(2 k1) ab2 b20，即 16k16(2 k1)2640，解得 k7.18(12 分)如图，在 OAB 中， P 为线段 AB 上一点，且 x y .OP OA OB (1)若 ，求 x， y 的值；AP PB (2)若 3 ，| |4，| |2，且 与 的夹角为 60，求 的值AP PB OA OB OA OB OP AB 解析：(1)若 ，则 ，AP PB OP 12OA 12OB 故 x y .12(2)若 3 ，则 ，AP PB OP 14OA 34OB ( )OP AB (14OA 34OB ) OB
12、 OA 2 214OA 12OA OB 34OB 42 42cos60 2214 12 343.19(12 分) ABC 内接于以 O 为圆心，1 为半径的圆，且 3 4 5 0.OA OB OC (1)求数量积 ， ， ；OA OB OB OC OC OA (2)求 ABC 的面积解析：(1)3 4 5 0.OA OB OC 53 4 05 ，即(3 4 )2(05 )2.OA OB OC OA OB OC 可得 9 224 16 225 2.OA OA OB OB OC 又| OA| OB| OC|1. 2 2 21， 0.OA OB OC OA OB 同理 ， .OB OC 45 OC
13、OA 35(2)S ABC S OAB S OBC S OAC | | |sin AOB | | |sin BOC |12OA OB 12OB OC 12| |sin AOC.OC OA 又| OA| OB| OC|1. S ABC (sin AOBsin BOCsin AOC)12由(1) | | |cos AOBcos AOB0，得 sin AOB1.OA OB OA OB | | |cos BOCcos BOC ，OB OC OB OC 45sin BOC ，同理 sin AOC . S ABC .35 45 6520(13 分)以某市人民广场的中心为原点建立平面直角坐标系， x 轴的正
14、方向指向东，y 轴的正方向指向北一个单位长度表示实际路程 100 m，一人步行从广场入口处 A(2,0)出发，始终沿一个方向匀速前进，6 min 时路过少年宫 C,10 min 后到达科技馆 B(3,5)(1)求此人的位移(说明此人行走的距离和方向)及此人行走的速度 v(用坐标表示)；(2)求少年宫 C 点相对于广场中心所在的位置(参考数据：tan1826 )13解析：(1)依题意知 (3,5)(2,0)(5,5)，AB | | 5 ， xAB135.AB 5 2 52 2此人沿北偏西 45方向走了 500 m.2当 t h 时，此人所走的实际距离 s| |100500 (m)，16 AB 2
15、| v| 3000 m/hst 2 vx| v|cos1353000(m/h)， vy| v|sin1353000(m/h)，又一个单位长度表示实际路程 100 m， v(30,30)(2) ，AC 610AB 35AB (2,0) (5,5)(1,3)，OC OA AC 35| | ，又 tan COy ， COy1826.OC 10 13即少年宫 C 位于距离广场中心 100 m，且在北偏西 1826处1021(14 分)在平面直角坐标系中，已知三点 A(4,0)， B(t,2)， C(6， t)， tR， O 为坐标原点(1)若 ABC 是直角三角形，求 t 的值；(2)若四边形 ABC
16、D 是平行四边形，求| |的最小值OD 解析：(1)由题意得 ( t4,2)， (2， t)， (6 t， t2)，AB AC BC 6若 A90，则 0，即 2(t4)2 t0， t2；AB AC 若 B90，则 0，即( t4)(6 t)2( t2)0，AB BC t62 ；2若 C90，则 0，即 2(6 t) t(t2)0，无解，AC BC 满足条件的 t 的值为 2 或 62 .2(2)若四边形 ABCD 是平行四边形，则 ，设点 D 的坐标为( x， y)，AD BC 即( x4， y)(6 t， t2)，Error!，即 D(10 t， t2)，| | ，OD 10 t 2 t 2 2 2t2 24t 104当 t6 时，| |取得最小值 4 .OD 2
