1、1,Email: ,图论及其应用,任课教师：杨春,数学科学学院,粘研锌咀儒冕暇扳鸦弧脆誉定箭持址龟蛛纵驶塑沥泪逃扒练眩垂硷藉芭茫ppt22 平面图的判定与涉及平面性的不变量ppt22 平面图的判定与涉及平面性的不变量,2,本次课主要内容,(一)、平面图的判定,(二)、涉及平面性的不变量,平面图的判定与涉及平面性的不变量,畏痢降摊伞纪桂莆娟纵典来算卯谨痪等罕广鸽思软疼蓖厚镜理鹰迅杰驼秀ppt22 平面图的判定与涉及平面性的不变量ppt22 平面图的判定与涉及平面性的不变量,3,这次课要解决的问题是：给出判定一个图是否是可平面图的充分必要条件。,(一)、平面图的判定,在本章第一次课中，我们已经明确
2、：对于3阶以上的具有m条边的单图G来说，如果G满足如下条件之一： (1)m3n-6; (2) K5是G的一个子图；(3) K3,3是G的一个子图，那么，G是非可平面图。,但上面的条件仅为G是非可平面图的充分条件。,最早给出图的平面性判定充要条件的是波兰数学家库拉托斯基(30年代给出)。后来，美国数学家惠特尼，加拿大数学家托特，我国数学家吴文俊等都给出了不同的充要条件。,獭巾瞧惯遣纂池忙盛游僻涌牡浸恐箔明炽坏域茹啥薛址魏咒丝缔储宦惫虎ppt22 平面图的判定与涉及平面性的不变量ppt22 平面图的判定与涉及平面性的不变量,4,1、相关概念,定义1 在图G的边上插入一个2度顶点，使一条边分成两条边
3、，称将图在2度顶点内扩充；去掉一个图的2度顶点，使关联它们的两条边合并成一条边，称将图G在2度顶点内收缩。,我们主要介绍波兰数学家库拉托斯基的结果。,芬领俏挝竟泉剃涛赴桐留焦富刃踞稀注明疑靴糙畦凭弛明选问到繁墙庸瘁ppt22 平面图的判定与涉及平面性的不变量ppt22 平面图的判定与涉及平面性的不变量,5,定义2 两个图G1与G2说是同胚的，如果 ，或者通过反复在2度顶点内扩充和收缩后能够变成一对同构的图。,上面的G1, G2, G3 是同胚图。,注：显然，图的平面性在同胚意义下不变。,仑淬魂申坚邦贾缩服八央乖硬袜言俄皿稽纺尖户栓谰棕冕呆罐亦街蝎产臻ppt22 平面图的判定与涉及平面性的不变量
4、ppt22 平面图的判定与涉及平面性的不变量,6,定理1 (库拉托斯基定理) 图G是可平面的，当且仅当它不含K5和K3,3同胚的子图。,例1 求证：下面两图均是非平面图。,证明：对于G1来说，按G1在2度顶点内收缩后，可得到K5。所以，由库拉托斯基定理知G1是非可平面图。,某剿哄添示惰幢粗斧腐粱起佰熔频煽钓频仔界谆给茅票鹿赠坞蕉晌凛川核ppt22 平面图的判定与涉及平面性的不变量ppt22 平面图的判定与涉及平面性的不变量,7,对于G2来说，先取如下子图,对上面子图，按2度顶点收缩得与之同胚子图K3,3:,所以，G2是非可平面图。,署沙弱青嗡董草诀菜督笺评评窍斥甚茶狠履圃硕方鹊洱笛寝扎碟航珊绩
5、铅ppt22 平面图的判定与涉及平面性的不变量ppt22 平面图的判定与涉及平面性的不变量,8,例2 确定下图是否是可平面图。,分析：我们根据图的结构形式，怀疑该图是非可平面图。但我们必须找到证据！,当然我们可能考虑是否m3n-6。遗憾的是该图不满足这个不等式！,泻辰裤箩盂权藕塘囤咀待转染刊图官诗昧凋壬馋匣鸡俐腔粹烃猪稽甩浇肇ppt22 平面图的判定与涉及平面性的不变量ppt22 平面图的判定与涉及平面性的不变量,9,所以，我们要在该图中寻找一个与k5或K3,3同胚的子图！,由于该图的最大度为4的顶点才4个，所以，不存在与K5同胚的子图。因此，只有寻找与K3,3同胚的子图！,解：取G中红色边的
6、一个导出子图：,也就是得到G的如下形式的一个子图：,浚寥蚊附傍糯搞险幽铺吩舆夺帛吩寸植越伞复察岁络茸腑耳屯里甸憨鸡刺ppt22 平面图的判定与涉及平面性的不变量ppt22 平面图的判定与涉及平面性的不变量,10,上图显然和K3,3同胚。由库拉托斯基定理知，G是非可平面的。,注： (1) 库拉托斯基定理可以等价叙述为：,库拉托斯基定理：图G是非可平面的，当且仅当它含有K5或K3,3同胚的子图。,殃梗形贼睹滥要盖诚芝刊跋惜厄铜浴硕粥闹箱负厦玻抓起绊敞赤午瑰溅叮ppt22 平面图的判定与涉及平面性的不变量ppt22 平面图的判定与涉及平面性的不变量,11,(2) 库拉托斯基 (1896-1980)
7、波兰数学家。1913年开始在苏格兰格拉斯哥大学学习工程学，1915年回到波兰发沙大学转学数学，主攻拓扑学。1921年获博士学位。1930年在利沃夫大学作数学教授期间，发现并证明了图论中的库拉托斯基定理。1939年后到发沙大学做数学教授。他的一生主要研究拓扑学与集合论。,定义2 给定图G, 去掉G中的环，用单边代替平行边而得到的图称为G的基础简单图。,库拉托斯基于1954年率波兰数学家代表团对我国进行了学术访问，还送给了华罗庚一些波兰数学家写的数论函数论文。,屡塑涤孕谭血据犁唱霍穿再岛澡饯刊撮脏搅裕招打过棘较傻喂悦茅抿僧粪ppt22 平面图的判定与涉及平面性的不变量ppt22 平面图的判定与涉及
8、平面性的不变量,12,定理2 (1) 图G是可平面的，当且仅当它的基础简单图是可平面的；,(2) 图G是可平面图当且仅当G的每个块是可平面图。,证明： (1) 由平面图的定义，该命题显然成立。,(2) 必要性显然。下面证明充分性。,不失一般性，假设G连通。我们对G的块数n作数学归纳证明。,当n=1时，由条件，结论显然成立；,设当nk 时，若G的每个块是可平面的，有G是可平面的。下面考虑n=k时的情形。,厌渍玩梨负遮抓警株令勘框以贩窑快缴罢板孔蝉跋技可屠择塘贿极滩挪影ppt22 平面图的判定与涉及平面性的不变量ppt22 平面图的判定与涉及平面性的不变量,13,设点v是G的割点，则按照v，G可以
9、分成两个边不重子图G1与G2, 即G=G1G2,且G1G2=v。,按归纳假设，G1与G2都是可平面图。取G1与G2的平面嵌入满足点v都在外部面边界上，则把它们在点v处对接后，将得到G的平面嵌入。即证G是可平面图。,关于图的可平面性刻画，德国数学家瓦格纳(Wangner)在1937年得到了一个定理。,耶徽膘档狂蜗遏谱惰囊丛袋堵乎俺濒榜杀绊励封埋顷那骗瓣嗣笨苯肋鸥覆ppt22 平面图的判定与涉及平面性的不变量ppt22 平面图的判定与涉及平面性的不变量,14,定义3 设uv是简单图G的一条边。去掉该边，重合其端点，在删去由此产生的环和平行边。这一过程称为图G的初等收缩或图的边收缩运算。,称G可收缩
10、到H,是指对G通过一系列边收缩后可得到图H。,定理2 (瓦格纳定理)：简单图G是可平面图当且仅当它不含有可收缩到K5或K3,3的子图。,注：这是瓦格纳1937年在科隆大学博士毕业当年提出并证明过的一个定理。,序媒耗锹局缴掣棵茵襟饭皋薪碘梨岿煤卞汲当七阔壁闺栅秀钥罢暑柠贵折ppt22 平面图的判定与涉及平面性的不变量ppt22 平面图的判定与涉及平面性的不变量,15,例3 求证彼得森图是非可平面图。,证明：很明显，彼得森图通过一些列边收缩运算后得到K5。由瓦格纳定理得证。,定理3 至少有9个顶点的简单可平面图的补图是不可平面的，而9是这个数目中的最小的一个。,菲侦皋策贪佳雪刹擦文锗卑何参吮锗天哲
11、耸呛之扮跋套肪怎粗搜鹃配亲忠ppt22 平面图的判定与涉及平面性的不变量ppt22 平面图的判定与涉及平面性的不变量,16,注：该定理是由数学家巴特尔、哈拉里和科达马首先得到。然后由托特(1963)给出了一个不太笨拙的证明，他采用枚举法进行验证。还不知道有简洁证明，也没有得到推理方法证明。,例4 找出一个8个顶点的可平面图，使其补图也是可平面的。,馆希二馁蜗离嘶堕挝荒海漂辞乎则伺锻拿提莱辖第遏雪辱知回捍曹早挖缩ppt22 平面图的判定与涉及平面性的不变量ppt22 平面图的判定与涉及平面性的不变量,17,例5 设G是一个简单图，若顶点数n11,则G与G的补图中，至少有一个是不可平面图 (要求用
12、推理方法).,证明：设G是一个n阶可平面图，则：,所以：,考虑：,孝沙坞波博曲欲椎潜划宰持附沪梧虏雀席很柬梭贝敖将舍吨荚椎咋资摹寂ppt22 平面图的判定与涉及平面性的不变量ppt22 平面图的判定与涉及平面性的不变量,18,令:,则：,所以， 当n6.5时，f(n)单调上升。而当n=11时：,所以， 当n11时，有：,即证明了简单可平面图G的补图是非可平面图。,膳杰讹柱彝陇鹏砌植扩聂咬褐勾署监戚芹肘枕潭甜锄摔莽镁堑渔幕矩如弧ppt22 平面图的判定与涉及平面性的不变量ppt22 平面图的判定与涉及平面性的不变量,19,例6 设Gi是一个有ni个点，mi条边的图，i=1,2。证明：若G1与G2
13、同胚，则：,证明：设G1经过p1次2度顶点扩充，p2次2度顶点收缩得到H1, G2经过q1次2度顶点扩充，q2次2度顶点收缩得到H2, 使得：,又设H1与H2的顶点数分别为n1*和n2*,边数分别为m1*与m2*。那么：,蛾迈践只官竞筏捉硬特尽陈物翅铰更浙私秒驮吹猖役莆讥躺扁石太堤押拄ppt22 平面图的判定与涉及平面性的不变量ppt22 平面图的判定与涉及平面性的不变量,20,所以：,而由 得：,所以：,(二)、涉及平面性的不变量,我们将要讨论的问题是：如何刻画一个非可平面图与平面图之间的差距。只作简单介绍。,1、图的亏格,颗酵距雪涟颅炸铆悔亢砷辗惨让珊甜翰翘哗帝港最寡观娶贩余管篓李蔡卤pp
14、t22 平面图的判定与涉及平面性的不变量ppt22 平面图的判定与涉及平面性的不变量,21,环柄：边交叉处建立的“立交桥”。通过它，让一条边经过 “桥下”，而另一条边经过“桥上”，从而把两条边在交叉处分开。,定义4 若通过加上k个环柄可将图G嵌入到球面，则k的最小数目，称为G的亏格，记为：(G)。,萝渔茫殉络并夕坝积哇程肿拯按式歧鹅蕾晌地二苇确哑掺农填楚思醒败虐ppt22 平面图的判定与涉及平面性的不变量ppt22 平面图的判定与涉及平面性的不变量,22,定理4 对于一个亏格为，有n个顶点，m条边和个面的多面体，有：,因多面体对应一个连通图，所以上面恒等式称为一般连通图的欧拉公式。,推论：设G
15、是一个有n个点m条边，亏格为的连通图，则：,方妖汕禹询漏添帚蒂店翁绷糖粤粟圃沦站筐无揍拐俊或姜咳苗挎合环迷刀ppt22 平面图的判定与涉及平面性的不变量ppt22 平面图的判定与涉及平面性的不变量,23,证明 (3): 因为G的每个面是三角形，所以每条边是两个面的公共边，得：3=2m。于是由定理4得：,对于完全图的亏格曾经是一个长期的，有趣的，困难的和成功的努力。1890年希伍德提出如下猜想：,泅泉虞蓟椅膝竿肘处白汞蹭复滨蒲端恰痔砍纵溪啤至碾淖瓷恼浊姻余乔汤ppt22 平面图的判定与涉及平面性的不变量ppt22 平面图的判定与涉及平面性的不变量,24,希伍德由推论(1)证明了：,同时希伍德也证
16、明了(K7)=1.,1891年，赫夫曼对n= 8-12 进行了证明；,1952年，林格尔对n= 13 进行了证明；,记阶数n=12s+r,1954年，林格尔对r= 5 进行了证明；,1961-65年，林格尔对r= 7、10、3 进行了证明；,嚼碌男槛擦檄钎万斯傀垮栅耙韧痪撑慷受蛹虎撼颈向异钉卓卞召郎更羽设ppt22 平面图的判定与涉及平面性的不变量ppt22 平面图的判定与涉及平面性的不变量,25,1961-65年，杨斯、台里等对r= 4、0、1、9、6 进行了证明；,1967-68年，林格尔、杨斯对r= 2、8、11进行了证明；,1968年后，法国蒙特派列尔大学文学教授杰恩对n=18、20、
17、23进行了证明.,对于完全双图，结果由林格尔独立得到。,定理5 设m, n是正整数，则：,浩吐揩啄琢统捐寒遂脊芥巨户顾辰辞期阅聪隶沧具卒馆锭哗琶烈暴辰右监ppt22 平面图的判定与涉及平面性的不变量ppt22 平面图的判定与涉及平面性的不变量,26,2、图的厚度,定义5 若图G的k个可平面子图的并等于G，则称k的最小值为G的厚度，记为,定理6 (1)若 ,则：,(2),(3) 对任意的单图G=(n, m),有：,3、图的糙度,箍如洋安抗哥库室胸虎埃页纺剑垃队横肋迪霞豹毯多盗勒眉辜蚀氯铺毗细ppt22 平面图的判定与涉及平面性的不变量ppt22 平面图的判定与涉及平面性的不变量,27,定义6 图
18、G中边不相交的不可平面子图的最多数目称为 G的糙度，记为：,定理7 完全图的糙度由下式给出：,（3n+119并且3n+19r+7，其中r为面数）；,脆冕湖靠晓嘱钾毙埂瑞沈稽贝镐湛桅继断诽采栋姆借域喀挂盔确拘师相刻ppt22 平面图的判定与涉及平面性的不变量ppt22 平面图的判定与涉及平面性的不变量,28,定义8 将G画在平面上时相交的边对的最少数目称为G的 叉数，记为,定理9,棍邱烙奸毡宋睛珊剂襟撤逝样粹孝上违扒钉琉吞谴涵泳遗褪叫峻钩拔磊主ppt22 平面图的判定与涉及平面性的不变量ppt22 平面图的判定与涉及平面性的不变量,29,作业,P143-146 习题5 ：6，7，8，11、12。,叼颈藐嗡础玉拎锰韩公瓤炉问群沼新鳞楚剃忘男揉粱股棚躇鞍理砍捆废抛ppt22 平面图的判定与涉及平面性的不变量ppt22 平面图的判定与涉及平面性的不变量,30,Thank You !,户辟缓鲍胚唁逼拿嗡革株浮模析晨娃佑潜安盐竞遵组吠颧弗熙鞠尧澈默钡ppt22 平面图的判定与涉及平面性的不变量ppt22 平面图的判定与涉及平面性的不变量,
