1、1,三维情况下自由粒子的薛定谔方程,如果粒子被限制在边长为 L 的立方体内，则其波函数为驻波,nx、ny、nz 是正整数，原点选在立方体的一个顶点上,2,引入满足周期性边界条件的波函数，要求波函数是 x、y、z 的周期函数，周期为 L，于是,则自由粒子的波函数应具有平面波的形式,而波矢 的分量必须满足,3,的分量具有 2np/L 的形式，是这一问题的量子数，另外自旋方向的量子数为 ms，于是,保证了波函数满足周期性条件,把波函数 代入薛定谔方程，可得到波矢为 的轨道能量为,4,我们有,动量 的算符 ，对于平面波函数,因此，平面波 是动量的一个属于本征值为 的本征函数。在轨道 中，粒子速度为,5
2、,当 N 个自由电子的系统处于基态时，被占据轨道可以表示为 空间中一个球内的点，该球面费米面，费米面上波矢的大小为 kF，则费米能,6,波矢 的分量的取值,空间的体积元 (2p/L)3 内允许的波矢数： 1,所以，在半径为 kF 的费米球内的波矢总数为,单位体积内允许的波矢数为,对应于每个允许的波矢将有两个 ms 值,7,因此我们得到,费米面上的电子速度为,仅依赖于电子浓度 N/V,8,单位频率间隔内的轨道数目即为态密度 (严格讲是单粒子态密度或者轨道密度),态密度,设 N 为能量e 的轨道数，则由前面讨论知,所以态密度为,9,计算态密度更简捷的方法：,对上式两边去自然对数,两边再作微分,所以态密度为,10,自由电子气的单粒子态密度,
