1、电磁场中的有限元法,南京航空航天大学何小祥,Outline,有限元发展历史 有限元的优点 二维节点有限元（有限元处理过程） 二维高阶节点有限元 三维节点有限元方法 三维高阶节点有限元方法 节点有限元的缺点 矢量有限元方法 二维、三维一阶矢量基函数 高阶矢量基函数 有限元中的现代技术 时域有限元方法 有限元方程组求解-CG,1、有限元发展历史,2、有限元的优点,非结构网格-可以模拟任意形状的边界泛函的思想-利于复杂介质特性模拟,有限元处理过程,边值问题,等价泛函,目标建模，网格剖分,参数提取,矩阵填充,局部矩阵计算,FEM方程组求解,后处理技术,差值基函数只需要在单元内满足精度要求,U代表位函数
2、或者某个场分量,1,2,一般计算区域比较复杂，积分不容易实现，采用整体基函数很难满足齐次边界条件，采用了广义变分原理,3、二维节点有限元（有限元处理过程）,3,Patran Ansys,所需参数-坐标，单元编号，节点或棱边编号,4,将波导横截面用M个三角形面元离散， 则各面元中的u 用线性插值函数表示为,积分区域变为三角形单元内,思想、理解,能量的概念,5,物理含义,1,2,3,参数提取,优点,利用横等式,可以获得局部矩阵的解析解,6,单元一、 节点2.4.1,方程组矩阵填充,7,（1）,（2）,（3）,单元二、 节点2.4.5,单元三、 节点3.5.2,单元四、 节点4.5.6,单元节点与相
3、邻单元节点必须吻合，过程中使用到各个单元中节点局部编号与整体编号的关系，列向量等可以如上进行填充,最后形成的系数矩阵是一个对称的稀疏矩阵,可导出线性代数方程组由此方程解出本征值和对应的本征矢。,9,8,4、 二维高阶节点有限元,当插值函数为高次多项式时， 用自然坐标表示的单元,一阶基函数,二阶基函数,三阶基函数,经过化简,其中,可以事先制定成表格，程序中调用,波导尺寸为10mm*23mm。分格数为4*3，应用2阶FEM分析得到特征值如下，三角单元总数为24，场节点总数为63,谐振腔尺寸为12mm*28mm时，应用FEM进行分析，划分网格数为5*4，三角单元总数为40，场节点总数为99。,特征值
4、,计算误差,5、三维节点有限元方法,6、三维高阶节点有限元方法,略,7、节点有限元的缺点,标量有限元法的缺点： 计算结果中会出现不易辨别的非物理解或伪解； 在介质分界面或导体表面不易强加边界条件； 由于场存在奇异性，处理导体及介质边缘和棱边有困难。,9 二维矢量有限元方法,10 三维矢量有限元方法,矢量有限元性态差,11、高阶矢量基函数,略,12、有限元中的现代技术,PML Method,DDM Method,FEM-BI FEM-PO，IPO etc.,13、时域有限元方法,(一)研究背景,时域数值方法,时域有限差分法(FDTD),传输线矩阵法(TLM),时域积分方程法(TDIE),时域有限
5、元法(TDFEM),多分辨率时域技术(MRTD),其他,时域伪谱方法(PSTD),TDFEM 研究现状,J. M. Jin,洪 伟,金亚秋,南京理工大学,电子科技大学,南京航空航天大学,(二)理论分析,对于一般的时变场，在电流源激励下，Maxwell两个旋度方程为：,由上述两式可以推出关于H的矢量波动方程：,该矢量波动方程的等价泛函为：,使用非结构网格离散计算区域，使用矢量基函数Ni()对各个单元内的磁场H进行插值：,在完纯导体表面满足第二类边界条件：,应用里兹方法进行处理，最终可以得到常微分方程：,其中，,采用恒稳的Newmark方法离散时间步，得到如下差分方程：,其中，t为时间步长，为Ne
6、wmark离散参数，un+1为n+1时间步的待求向量，un，un-1是n, n-1时间步的已求向量,(三)数据分析,其中中心时间t0=25.9ns，脉冲宽度=4ns,观察点在,x,y,o,1m(40),1m(40),图1 空谐振器中的磁场响应曲线,图2 部分介质加载谐振器中磁场响应曲线,r=9.0,图3 部分介质加载谐振器中响应频谱曲线,0.14038GHz,0.20142GHz,图4 全部介质加载(r=2.25)时磁场响应曲线,图5 全部介质加载时磁场响应频谱曲线,0.14038GHz,0.22583GHz,0.28076GHz,0.31128GHz,0.36011GHz,图6 CG收敛曲线对比,14 FEM求解器-CG,等同于最小余量法了,一般频域FEM的系数矩阵不具备自伴性,位了求解（11.53）泛函,得到如下线性方程组,但是一、基函数p未知，二、我们为了求原来的方程组，必须求解新的方程组，无意义,初始剩余向量,向量系数,构造新解,构造新的剩余向量,构造新的基函数向量,Comments on CG,迭代方法-理论上N步收敛 单调收敛 与矩阵性态有关-条件数-谱半径-最大特征值与最小特征值比 预处理技术-SSOR-ICCG 改变内积的定义,CG和BICG方法的求解速度与矩阵的性态即条件数由很大关系。通过预处理技术可以有效提高矩阵的性态，从而提高计算速度,
