1、因式分解补充方法：十字相乘法一、 知识归纳和例子讲解：（1） 对于某些首项系数是 1 的二次三项式 【 】的因式分解：2xPq2()xab一般地， ， 2()()xabxab()()x这就是说，对于二次三项式 ，若能找到两个数 、 ，使 2Pqab,pq则就有 22()()xPqxabxa（掌握这种方法的关键是确定适合条件的两个数，即把常数项分解成两个数的积，且其和等于一次项系数，通常要借助画十字交叉线的办法来确定，故称十字相乘法。）如对于二次三项式 ，其中 ， ，能找到两个数 、 ，使 故有23x3p2q12,pq23(1)x例 1：因式分解(1) x2 + 10x + 9 ； 解：1 1
2、（x + 1）1 9 （x + 9）19=9；19+ 11=10x 2 + 10x + 9=（x + 1）（x + 9）说明：用十字相乖法分解二次三项式 ，式中的 、 通常是整数，要找的 、 两数也通2xPqpqab常是在整数中去找由于把 拆成两个整数之和可以有无数种情形，而把 分解成两个整数之积只有有p限几种可能，故应先把 分解成两个整数之积，然后检验哪两个整数之和得 q p练习题（因式分解）：（1） _ _ _ _. （2） _ _ _ _652x 65x（3） _ _ _ _ （4） _ _ _ _2 2(2) x2 3x 10；解：1 5 （x 5）1 2 （x + 2）5 *2 =
3、9；1*（5）+1*2= 3x 2 3x 10 = （x 5）（x + 2）(2) x2 3x 10；解：1 5 （x 5）1 2 （x + 2）5 2 = 9；1（5）+12= 3x 2 3x 10 = （x 5）（x + 2）提问：请观察以上练习中的各题，你能发现把 分解成两个整数 、 之积时的符号规律吗？qab若 ，则 、 同号当 时 、 同为正，当 时 、 同为负q0abp0abp0若 ，则 、 异号当 时 、 中的正数绝对值较大，当 时 、 中的负数绝p0ab对值较大（2） 对于二次三项 【 】（a、b、c 都是整数，且axbc2axcx121212）的因式分解：a0一般地， = ，
4、c12121212 = axacx21axc这就是说，对于二次三项式 ，若能找到四个整数 ，使b2 ac12， ， ，1212acb，则就有 = = ，通常要借助画多个十字x2axcaxc121212axc12交叉线的办法来确定。例 2 分解因式：（1） ； （2） 2732675（1）解： = 273x()21x（2）解：所有可能的十字形式： 2675(1)35xx说明：二次项系数为正时，只考虑分解成两个正因数之积；在二次项系数为正时，常数项的分解，符号规律同上节 、 的符号规律；ab分解二项项系数、常数项有多种可能，即使对于同一种分解，十字图也有不同的写法，为了避免重或漏，故二次项系数的因
5、数一经排定就不变，而用常数项的因数作调整；用十字相乘法分解因式时，一般要经过多次尝试才能确定能否分解或怎样分解练习题（因式分解）：（1）2x 2 7x3=_ _ _ _ （2）3x 2 5x2=_ _ _ _（3）2x 2 5x7=_ _ _ _ （4）5x 2 3x2=_ _ _ _二、练一练、做一做：1、把下列各式分解因式：（1） （2）872ab 2243nm（3） （4）(ab) 2 5(ab)364267x2、将下列各式因式分解（1） （2）xx2143 yxy2510（3） （4）1024x 42361yx3、将下列各式因式分解（1） ； （2）2x 2 5x2；202x（3）)3x 2 7x6 ； （4）2x 25xy2y 24、用因式分解法列下列方程:（1）x 2 + 2x3 = 0 （2）2x 27x + 6 = 0（3）x(x2) = 3 （4） (2x3) 2 + 3(2x3) + 2 = 0.
