1、3 垂径定理,1.通过手脑结合，充分掌握圆的轴对称性.2.运用探索、推理，充分把握圆中的垂径定理及其逆定理.3.拓展思维，与实践相结合，运用垂径定理及其逆定理进行有关的计算和证明.,点在圆外,这个点到圆心的距离大于半径,点在圆上,点在圆内,这个点到圆心的距离等于半径,这个点到圆心的距离小于半径,A,B,C,O,点与圆的位置关系,2.它的对称轴是什么?,是,圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,3.你能找到多少条对称轴？,它有无数条对称轴.,1.圆是轴对称图形吗？,1.圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.,大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧,.连接圆上任意两点的线段叫做弦.,如：弦AB,
2、.经过圆心的弦叫做直径.,直径是弦，但弦不一定是直径；,半圆是弧，但弧不一定是半圆；,半圆既不是劣弧，也不是优弧.,弧、弦、直径,注意：,A,B,O,D,C,圆的相关概念,如：优弧ADB 记作,如：弧AB 记作,AM=BM,AB是O的一条弦.作直径CD,使CDAB,垂足为M.,你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说说你的想法和理由.,小明发现图中有:,CD是直径,CDAB,【问题】,连接OA,OB,则OA=OB.,O,C,D,在RtOAM和RtOBM中,OA=OB，OM=OM，,RtOAMRtOBM.,AM=BM.,点A和点B关于CD对称.,O关于直径CD对称,当圆沿着直径CD对折时,点A与点B
3、重合,理 由：,M,垂直于,平分这条弦，,并且平分弦所对的弧.,弦,的直径,在O中，直径CD弦AB，, AM = BM = AB，,定理：,在O中，直径CD平分弦AB, CDAB,平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.,定理：,弦,（不是直径）,并且平分弦所对的弧,平分,的直径,垂直于弦，,结论：,1.在O中，OC垂直于弦AB，AB = 8，OA = 5，则AC= ，OC = .,5,8,4,3,2.在O中，OC平分弦AB，AB = 16，OA = 10，则OCA = ，OC = .,16,10,90,6,【巩固练习】,例1.如图，在O中，CD是直径，AB是弦，且CDAB，已知
4、CD = 20，CM = 4，求AB.,【例题】,解：连接OA，,在O中，直径CDAB，, AB =2AM，,OMA是直角三角形., CD = 20，, AO = CO = 10., OM = OC CM = 10 4 = 6.,在Rt OMA中，AO = 10，OM = 6，,根据勾股定理，得：, AB = 2AM = 2 8 = 16.,例2.如图，两个圆都以点O为圆心，小圆的弦CD与大圆的弦AB在同一条直线上.你认为AC与BD的大小有什么关系？为什么？,解:作OGAB，AG=BG,CG=DG，AC=BD.,例3.如图,一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中 ,点O是 所在圆的圆心),其中CD
5、=600m,E是 上一点,且OECD,垂足为F,EF=90m,求这段弯路的半径.,解:连接OC.,1.判断：垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧. （ ）平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一条弧. （ ）经过弦的中点的直径一定垂直于弦. （ ）(4)弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧（ ）,对,错,错,对,【跟踪训练】,2.如图,M为O内的一点,利用尺规作一条弦AB,使AB过点M.并且AM=BM.,解：连接OM,过M作ABOM，交O于A，B两点.,A,B,1.（上海中考）如图，AB，AC都是圆O的弦，OMAB，ONAC，垂足分别为M，N，如果MN3，那么BC_.【解析
6、】由垂径定理得AN=CN，AM=BM，所以BC=2MN=6.答案：6,2.（芜湖中考）如图所示，在O内有折线OABC，其中OA8，AB12，AB60，则BC的长为（ ）A19 B16 C18 D20答案:D,3（烟台中考）如图， ABC内接于O，D为线段AB的中点，延长OD交O于点E，连接AE，BE，则下列五个结论ABDE,AE=BE,OD=DE,AEO=C,正确结论的个数是（ ）A.2个 B.3个 C.4个 D.5个答案:B,4.（湖州中考）如图，已知O的直径AB弦CD于点E，下列结论中一定正确的是（ ）,AAEOE BCEDECOE CE DAOC60,答案:B,5.（襄阳中考）如图，AB
7、是O的弦，半径OCAB于D点，且AB6cm，OD4cm，则DC的长为（ ）A5cm B25cm C2cm D1cm,答案:D,6.（襄阳中考）已知O的半径为13cm，弦ABCD，AB=24cm，CD=10cm，则AB，CD之间的距离为（ ）A17cm B7 cmC12 cm D17 cm或7 cm,图(1) 图(2),答案：D,【规律方法】运用垂径定理及其推论解决一些数学问题.最常见的辅助线是连接圆上的点与圆心构成半径，及过圆心作弦的垂线，构造直角三角形，利用勾股定理解决问题.,1.圆的相关概念，弦、弧、优弧、劣弧.,2.垂径定理及推论、圆的对称性.垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.,通过本课时的学习，需要我们掌握：,善良和谦虚是永远不应令人厌恶的两种品德。斯蒂文生,
