1、高中数学教案 (选修)第 2 章极限（第 12 课时） 王新敞新疆奎屯市第一高级中学 第 1 页（共 9 页）课 题：小结与复习(二)教学目的：1.进一步巩固求极限的基本方法，数学归纳法.2.利用函数极限存在，解题.3.利用函数的连续性，解一些题目 奎 屯王 新 敞新 疆教学重点：求解数列或函数的极限.教学难点：极限的求解.数学归纳法的应用.授课类型：新授课 奎 屯王 新 敞新 疆课时安排：1 课时 奎 屯王 新 敞新 疆教 具：多媒体、实物投影仪 奎 屯王 新 敞新 疆内容分析： 极限是描述数列和函数在无限过程中的变化趋势的重要概念.并且与我们下一章要学习的导数有密切的关系.学习极限概念要注
2、意体会对象的变化规律，数列或函数有极限，意味着它们在变化中无限趋近于一个常数，所以我们要以运动的眼光来看待事物，要把握运动状态中的不变量.本节课，先本看一个用数学归纳法来证明的一个例子，虽然极限是本章的主要内容，但数学归纳法这种方法也要掌握，特别是一些与 n 有关的题目，用数学归纳法证明会很方便，接着再来看一些关于极限的一些题目，进一步巩固一下求极限的一些方法. 奎 屯王 新 敞新 疆教学过程：一、讲解范例：例 1 已知数列 ,)13(2,107,4n(1)计算 S1，S 2，S 3，S 4.(2)猜想 Sn的表达式，并证明.(3) Sn.lim解：(1)S 1= .4S2= 7281S3=
3、0307高中数学教案 (选修)第 2 章极限（第 12 课时） 王新敞新疆奎屯市第一高级中学 第 2 页（共 9 页）S4= .13409103(2 )解：通项是以 3n2，3n+1 两数乘积为分母的，而我们看到，在表示上面四个结果的分数中，分子可用项数 n 表示，分母可用 3n+1 表示，于是可猜想.Sn= 1)(210741 证明方法一:用数学归纳法证明如下：1 当 n=1 时，S 1= 等式成立.1342 假设当 n=k 时等式成立.即 Sk= .当 n=k+1 时. )43(1)43(1)(143)3(21412 kkkSkkk1)(3k当 n=k+1 时，等式也成立.S n= (nN
4、 *)证明方法二： )132(1)3(2n )(0741Sn 高中数学教案 (选修)第 2 章极限（第 12 课时） 王新敞新疆奎屯市第一高级中学 第 3 页（共 9 页）1313)( )13207413 )()13(nnn S n=(3)解: 31lim13lili nnn例 2 已知下列极限，求 a 与 b.(1) 0)1(lim2xx(2) 2bax(3) 1li2x分析：此题属于已知 x 趋向于 x0(或无穷大)时，函数的极限存在且等于某个常数，求函数关系式的类型.上边三个小题都不能简单地将 x=x0 直接代入函数的解析式中，因为(1)(2)中的 x 不趋于确定的常数，(3) 虽然趋于
5、 1，但将 x=1代入函数关系式中，分母为零.因此，解决此类问题的关键，是先要确定用哪种方法求极限，再将函数的解析式进行适当的变形，然后根据所给的条件进行分析，进而确定 a，b 的值.解：(1) 1)()()1(lim)1(lim22 xbaxxxxbax)()(li高中数学教案 (选修)第 2 章极限（第 12 课时） 王新敞新疆奎屯市第一高级中学 第 4 页（共 9 页）1 如果 1a0， lim,lixbx 不存在.xax1)()(li2 如果 1a=0， 01)()()(limbaxbx=(a+b)=0 即 a+b=0 101解：(2) )(lim2baxx01)2()(lim)1()
6、()1(lili 1(li222 2222 2xbaxaxxbabaxxxxx要使极限存在 1a 2=0.高中数学教案 (选修)第 2 章极限（第 12 课时） 王新敞新疆奎屯市第一高级中学 第 5 页（共 9 页） 01)2(1(lim22 abxbaxax即 1+2ab=0，a+10. 21012b解：(3) )(limli 2121 baxxax )(1(lili21221 baxxx 当 x1 时 极限存在，则分子、分母必有公因2式 x1. ab 2=1原式= 1)(2)(lim1 baxx 4165)1(22baab说明：第一题是分子分母同除以 x 的较低的幂，第二题是分子有理化，和
7、第一题的方法相结合，第三题是因式分解法和分子有理化法相结合.我们以前求极限的一种方法是分子、分母同除 x 的最高次幂，但像第一题，因为分子的次数低于分母的次数，如果分子除以 x2，则分子极限为 0，不符合，所以通分后，应除以分子分母中 x 的较低次幂.并且 x 的次数比分子 x 的最高次幂大的项的系数应该等于 0，这样极限才存在.高中数学教案 (选修)第 2 章极限（第 12 课时） 王新敞新疆奎屯市第一高级中学 第 6 页（共 9 页）例 3 f(x)= 求 a，使 f(x)存在. 32x2lim解：要使 f(x)存在，则 f(x)与 f(x)要存在且相等.2lim2li2f(x)= (2x
8、23)=22 23=5.f(x)= (3x2+a)=322+a=12+a.2lili5=12+ a.a=7例 4 设函数 f(x)= ，在 x=0 处连续，求 a，b 的值.)0( 1 )( xb分析：要使 f(x)在 x=0 处连续，就要使 f(x)在 x=0 处的左、右极限存在，并且相等，等于 f(x)在 x=0 处的值 a.解： f(x)= ( 1)0limb0li121lim)1(li )000 bxxbxxx f(x)= (2x+1)=20+1=1m 212ba说明：这类连续的题目，也关键是求在一点处的左、右极限存在并都等于在这点的函数值，与函数在这点的极限存在的方法是相同的 奎 屯
9、王 新 敞新 疆二、课堂练习：1 )21()3(lim320xx高中数学教案 (选修)第 2 章极限（第 12 课时） 王新敞新疆奎屯市第一高级中学 第 7 页（共 9 页）解： )1()3(lim320xx2301lix223069(168)limxxx23008lili(8)xx2. 36221)(limnn解： 3622)(lin223611linn22361limnn2236lim1nn04.13. (m，n 为自然数)xxsil0解： mnxmnxmnx )si(lsilsil 000 mnxmxn00li)si(l当 nm0 时，即 nm =0nx0li高中数学教案 (选修)第 2
10、 章极限（第 12 课时） 王新敞新疆奎屯市第一高级中学 第 8 页（共 9 页）当 nm=0 时，即 n=m =1mnx0li当 nm0 时，即 nm 不存在.nx)1(li0当 nm 时， =0；当 n=m 时， =1；xsil0xmnxsil0当 nm 时， 不存在 .mnxil04. (m，nN *，n 正奇数)x1li0解：方法一： xxli0120(1)()()1li nnnn nx mxxm 120()li()1nnn nxxxx120li()()nnn nx m 1)()(lim210nnnnx xx nmn个因为这里的 m，n 是确定数，不是无限数，所以在分母上，可以用函数极
11、限的四则运算法则.方法二：设 =y，则 x= (yn1)n11当 x0 时，y1. 高中数学教案 (选修)第 2 章极限（第 12 课时） 王新敞新疆奎屯市第一高级中学 第 9 页（共 9 页） )1(lim1li0 nynx 12()li()1nymy12liny n个5.数列a n满足 (2n1)a n=2.求 (nan)lili解： (nan)= (2n1) an = (2n1)a nnlimli12limli12=2 .12linn6.求下列极限： )4cot(alim4xx解：原式= .)4cos(2inli4xx 4sin2()4lico()cosxx奎 屯王 新 敞新 疆4sinlim2()cos()4x x24sinlimco()4xx12三、小结 ：这节课还是主要学习求极限的方法，知道了极限求函数的解析式，或者知道了函数在点或区间上的连续性，求函数的解析式等 奎 屯王 新 敞新 疆 四、课后作业： 奎 屯王 新 敞新 疆五、板书设计（略） 奎 屯王 新 敞新 疆六、课后记： 奎 屯王 新 敞新 疆奎 屯王 新 敞新 疆
