1、人们在研究晶体对X射线或对电子束的衍射效应时，某晶面hkl能否产生衍射的重要条件就是该晶面相对于入射束的取向以及晶面间距d(hkl)。 满足： d(hkl)sin=n -入射角 -波长这是满足衍射的必要条件，但不是充分条件。在X射线衍射分析和电子束显微分析等测试技术中将会用到倒易点阵的知识。,四、倒易点阵,1 什么是倒易点阵,为了从几何学上形象的确定衍射条件，人们就找到一个新的点阵（倒易点阵），使其与正点阵（实际点阵）相对应。对应的条件：新点阵中的每一个结点都对应着正点阵的一定晶面，该结点既反映该晶面的取向也反映该晶面的面间距。具体条件： a. 新点阵中原点O到任意结点P(hkl) （倒易点）
2、的矢量 正好沿正点阵中hkl面的法线方向。 b. 新点阵中原点O到任意结点P(hkl)的距离等于正点阵中hkl面的面间距的倒数，我们将实际晶体中一切可能的的hkl面所对应的倒易点都画出来，由这些倒易点组成的点阵称为倒易点阵。,1 什么是倒易点阵,四、倒易点阵,1 什么是倒易点阵,四、倒易点阵,在晶体对入射波发生衍射的时候，衍射图谱、衍射波的波矢量、产生衍射的晶面三者之间存在严格的对应关系。例如在电子衍射花样中，每一个衍射斑点是由一支衍射波造成的，而该衍射波是一组特定取向的晶面对入射波衍射的结果，反映该组晶面的取向和面间距。,为了研究衍射波的特性，1921年德国物理学家厄瓦尔德(PPEwald)
3、引入了倒易点阵的概念。 倒易点阵是相对于正空间中的晶体点阵而言的，它是衍射波的方向与强度在空间的分布。 由于衍射波是由正空间中的晶体点阵与入射波作用形成的，正空间中的一组平行晶面就可以用倒空间中的一个矢量或阵点来表示。 用倒易点阵处理衍射问题时，能使几何概念更清楚，数学推理简化。可以简单地想象，每一幅单晶的衍射花样就是倒易点阵在该花样平面上的投影。,1 什么是倒易点阵,四、倒易点阵,2.1 什么是倒易基矢我们将正点阵中晶胞中的a、b、c、六个点阵常数用三个基矢 来代替，那么 就可以确定一个正点阵。同样倒易点阵也可以用三个矢量来确定，即由 三个矢量确定倒易点阵。即倒易基矢,2 如何确定倒易点阵,
4、四、倒易点阵,2.2 如何确定倒易基矢确定倒易点阵就是确定倒易基矢a、根据正点阵的基矢 确定倒易点阵的基矢b、对于一切允许的整数h、k、l作向量( )，这些向量的终点就是倒易点阵的结点c、结点的集合就构成倒易点阵,2 如何确定倒易点阵,四、倒易点阵,2 如何确定倒易点阵,2.2 如何确定倒易基矢假定正点阵中晶胞（原胞）的基矢为 。根据倒易点阵与正点阵的对应条件：,应平行于（100）面的法线方向,即： 长度：,（1）,四、倒易点阵,2 如何确定倒易点阵,2.2 如何确定倒易基矢 通过正点阵，可以得到：,同样：,将（2）式代入（1）式得到：,（2）,V 为正点阵晶胞的体积。,四、倒易点阵,2 如何
5、确定倒易点阵2.2 如何确定倒易基矢,根据,即可作出倒易晶胞（或倒易原胞）,四、倒易点阵,3 倒易点阵的基本性质,3 .1 正点阵和倒易点阵的同名基矢的点积为1，不同名基矢的点积为0，即：,四、倒易点阵,3 倒易点阵的基本性质,3 .2 正点阵晶胞的体积与倒易点阵晶胞的体积成倒数关系，即：,3 .3 正点阵的基矢与倒易点阵的基矢互为倒易即：,四、倒易点阵,3 倒易点阵的基本性质,3 .4 任意倒易矢量 必然垂直于正点阵中的（hkl）面。,3 .5 任意倒易矢量 的长度与晶面间距有如下关系,四、倒易点阵,四、倒易点阵,倒易点阵的一个点或一个矢量代表正点阵的一族晶面。 倒易矢量的长度代表正点阵的晶
6、面间距的倒数，矢量的方向代表正点阵的晶面的法线。 正点阵的一组二维晶面就可用一个倒易点阵的一维矢量或零维的点来表示。,4 实际晶体中的倒易点阵,四、倒易点阵,倒易点阵中出现节点的条件： 正点阵中相互平行的（hkl）面的全体包含（通过）所有的正点阵节点。 例如：BCC和FCC的（002）平行晶面族包含了全部原子（001）平行晶面族只包含了一半原子 所以：在BCC和FCC的倒易点阵中只出现（0，0，2）节点，而不出现（0，0，1）节点。 倒易点阵中出现节点的条件的另一种表述： 倒易点阵中出现（hkl）节点的条件是，晶体中的任意一个原子必须位于（hkl）平行晶面族的某一晶面上。,(x, y, z),
7、4 实际晶体中的倒易点阵,四、倒易点阵,hx+ky+lz=n（n=0, 1, 2, 3,）,四、倒易点阵,BCC的倒易点阵就是一个FCC点阵，晶胞的边长为2/a。,（1/2，-1/2，1/2）,（-1/2，1/2，1/2）,（1/2，1/2，-1/2）,四、倒易点阵,A(1/2,1/2,0),B(1/2,0,1/2),C(0,1/2,1/2),O,四、倒易点阵,BCC的倒易点阵就是一个FCC点阵，晶胞的边长为2/a。,FCC的倒易点阵就是一个BCC点阵，晶胞的边长为2/a。,四、倒易点阵,简单六方点阵的倒易点阵仍是一个简单六方点阵。,四、倒易点阵,(1/3, 2/3,1/2),密排六方晶体的晶胞（六棱柱）和原胞(平行六面体),四、倒易点阵,四、倒易点阵,三组晶面（h1 k1 l1）（ h2 k2 l2 ）（ h3 k3 l3 ）属于晶带u v w,四、倒易点阵,
