1、1 、 蒙 特 卡 罗 算 法 （ 该 算 法 又 称 随 机 性 模 拟 算 法 ， 是 通 过 计 算 机 仿 真来 解 决 问 题 的 算 法 ， 同 时 可 以 通 过 模 拟 来 检 验 自 己 模 型 的 正 确性 ， 是 比 赛 时 必 用 的 方 法 ） 2 、 数 据 拟 合 、 参 数 估 计 、 插 值 等 数 据 处 理 算 法 （ 比 赛 中 通 常 会遇 到 大 量 的 数 据 需 要 处 理 ， 而 处 理 数 据 的 关 键 就 在 于 这 些 算 法 ，通 常 使 用 Matlab作 为 工 具 ） 3 、 线 性 规 划 、 整 数 规 划 、 多 元 规
2、划 、 二 次 规 划 等 规 划 类 问 题（ 建 模 竞 赛 大 多 数 问 题 属 于 最 优 化 问 题 ， 很 多 时 候 这 些 问 题 可 以用 数 学 规 划 算 法 来 描 述 ， 通 常 使 用 Lindo、 Lingo软 件 实 现 ） 4 、 图 论 算 法 （ 这 类 算 法 可 以 分 为 很 多 种 ， 包 括 最 短 路 、 网 络流 、 二 分 图 等 算 法 ， 涉 及 到 图 论 的 问 题 可 以 用 这 些 方 法 解 决 ， 需要 认 真 准 备 ） 5 、 动 态 规 划 、 回 溯 搜 索 、 分 支 定 界 等 计 算 机 算 法 （ 这 些
3、算 法 是算 法 设 计 中 比 较 常 用 的 方 法 ， 很 多 场 合 可 以 用 到 竞 赛 中 ） 6 、 最 优 化 理 论 的 三 大 非 经 典 算 法 ： 模 拟 退 火 法 、 神 经 网 络 、 遗传 算 法 （ 这 些 问 题 是 用 来 解 决 一 些 较 困 难 的 最 优 化 问 题 的 算 法 ，对 于 有 些 问 题 非 常 有 帮 助 ， 但 是 算 法 的 实 现 比 较 困 难 ， 需 慎 重 使用 ）7 、 网 格 算 法 和 穷 举 法 （ 网 格 算 法 和 穷 举 法 都 是 暴 力 搜 索 最 优 点的 算 法 ， 在 很 多 竞 赛 题 中
4、有 应 用 ， 当 重 点 讨 论 模 型 本 身 而 轻 视 算法 的 时 候 ， 可 以 使 用 这 种 暴 力 方 案 ， 最 好 使 用 一 些 高 级 语 言 作 为编 程 工 具 ）8 、 一 些 连 续 离 散 化 方 法 （ 很 多 问 题 都 是 实 际 来 的 ， 数 据 可 以 是连 续 的 ， 而 计 算 机 只 认 的 是 离 散 的 数 据 ， 因 此 将 其 离 散 化 后 进 行差 分 代 替 微 分 、 求 和 代 替 积 分 等 思 想 是 非 常 重 要 的 ） 9 、 数 值 分 析 算 法 （ 如 果 在 比 赛 中 采 用 高 级 语 言 进 行 编
5、 程 的 话 ，那 一 些 数 值 分 析 中 常 用 的 算 法 比 如 方 程 组 求 解 、 矩 阵 运 算 、 函 数积 分 等 算 法 就 需 要 额 外 编 写 库 函 数 进 行 调 用 ） 1 0 、 图 象 处 理 算 法 （ 赛 题 中 有 一 类 问 题 与 图 形 有 关 ， 即 使 与 图 形无 关 ， 论 文 中 也 应 该 要 不 乏 图 片 的 ， 这 些 图 形 如 何 展 示 以 及 如 何处 理 就 是 需 要 解 决 的 问 题 ， 通 常 使 用 Matlab进 行 处 理 1 、 蒙 特 卡 罗 方 法 （ MC） （ Monte Carlo） ：
6、蒙 特 卡 罗 （ Monte Carlo） 方 法 ， 或 称 计 算 机 随 机 模 拟 方 法 ， 是 一种 基 于 “随 机 数 ”的 计 算 方 法 。 这 一 方 法 源 于 美 国 在 第 二 次 世 界 大战 进 行 研 制 原 子 弹 的 “曼 哈 顿 计 划 ”。 该 计 划 的 主 持 人 之 一 、 数 学家 冯 诺 伊 曼 用 驰 名 世 界 的 赌 城 摩 纳 哥 的 Monte Carlo来 命 名 这种 方 法 ， 为 它 蒙 上 了 一 层 神 秘 色 彩 。蒙 特 卡 罗 方 法 的 基 本 原 理 及 思 想 如 下 ： 当 所 要 求 解 的 问 题 是
7、 某 种 事 件 出 现 的 概 率 ， 或 者 是 某 个 随 机 变 量 的 期 望值 时 ， 它 们 可 以 通 过 某 种 “试 验 ”的 方 法 ， 得 到 这 种 事 件 出 现 的 频 率 ， 或者 这 个 随 机 变 数 的 平 均 值 ， 并 用 它 们 作 为 问 题 的 解 。 这 就 是 蒙 特 卡 罗 方法 的 基 本 思 想 。 蒙 特 卡 罗 方 法 通 过 抓 住 事 物 运 动 的 几 何 数 量 和 几 何 特征 ， 利 用 数 学 方 法 来 加 以 模 拟 ， 即 进 行 一 种 数 字 模 拟 实 验 。 它 是 以 一 个概 率 模 型 为 基 础
8、， 按 照 这 个 模 型 所 描 绘 的 过 程 ， 通 过 模 拟 实 验 的 结 果 ，作 为 问 题 的 近 似 解 。 可 以 把 蒙 特 卡 罗 解 题 归 结 为 三 个 主 要 步 骤 ： 构 造 或 描 述 概 率 过 程 ； 实 现 从 已 知 概 率 分 布 抽 样 ； 建 立 各 种 估 计 量 。例 ： 蒲 丰 氏 问 题为 了 求 得 圆 周 率 值 ， 在 十 九 世 纪 后 期 ， 有 很 多 人 作 了 这 样 的 试 验 ： 将长 为 2 l的 一 根 针 任 意 投 到 地 面 上 ， 用 针 与 一 组 相 间 距 离 为 2 a（ l a） 的平 行
9、线 相 交 的 频 率 代 替 概 率 P， 再 利 用 准 确 的 关 系 式 ： 求 出 值 ：其 中 为 投 计 次 数 ， n为 针 与 平 行 线 相 交 次 数 。 这 就 是 古 典 概 率 论 中 著名 的 蒲 丰 氏 问 题 。一 些 人 进 行 了 实 验 ， 其 结 果 列 于 下 表 ：设 针 投 到 地 面 上 的 位 置 可 以 用 一 组 参 数 （ x,） 来 描 述 ， x为 针 中 心 的 坐标 ， 为 针 与 平 行 线 的 夹 角 ， 如 图 所 示 。任 意 投 针 ， 就 是 意 味 着 x与 都 是 任 意 取 的 ， 但 x的 范 围 限 于 0
10、 ， a ，夹 角 的 范 围 限 于 0 ， 。 在 此 情 况 下 ， 针 与 平 行 线 相 交 的 数 学 条 件是 ：如 何 产 生 任 意 的 （ x,） ？ x在 0 ， a 上 任 意 取 值 ， 表 示 x在 0 ， a 上是 均 匀 分 布 的 ， 其 分 布 密 度 函 数 为 ： 类 似 地 ， 的 分 布 密 度 函 数 为 ： 因 此 ， 产 生 任 意 的 （ x,） 的 过 程 就 变 成 了 由 f1 (x)抽 样 x及 由 f2 ()抽 样 的过 程 了 。 由 此 得 到 ： 其 中 1 ， 2 均 为 （ 0 ,1 ） 上 均 匀 分 布 的 随 机 变
11、 量 。每 次 投 针 试 验 ， 实 际 上 变 成 在 计 算 机 上 从 两 个 均 匀 分 布 的 随 机 变 量 中 抽样 得 到 （ x,） ， 然 后 定 义 描 述 针 与 平 行 线 相 交 状 况 的 随 机 变 量 s(x,)，为如 果 投 针 次 ， 则是 针 与 平 行 线 相 交 概 率 的 估 计 值 。 事 实 上 ， 于 是 有 ：因 此 ， 可 以 通 俗 地 说 ， 蒙 特 卡 罗 方 法 是 用 随 机 试 验 的 方 法 计 算 积 分 ， 即将 所 要 计 算 的 积 分 看 作 服 从 某 种 分 布 密 度 函 数 f(r)的 随 机 变 量 (
12、r)的 数学 期 望 通 过 某 种 试 验 ， 得 到 个 观 察 值 r1 ， r2 ， ， rN（ 用 概 率 语 言 来 说 ， 从分 布 密 度 函 数 f(r)中 抽 取 个 子 样 r1 ， r2 ， ， rN， ） ， 将 相 应 的 个 随机 变 量 的 值 g(r1 )， g(r2 )， ， g(rN)的 算 术 平 均 值作 为 积 分 的 估 计 值 （ 近 似 值 ） 。用 比 较 抽 象 的 概 率 语 言 描 述 蒙 特 卡 罗 方 法 解 题 的 步 骤 如 下 ： 构 造 一 个 概率 空 间 (W ,A,P)， 其 中 ， W 是 一 个 事 件 *， A是
13、 *W 的 子 集 ， P是 在 A上建 立 的 某 个 概 率 测 度 ； 在 这 个 概 率 空 间 中 ， 选 取 一 个 随 机 变 量 q (w ), 使得 这 个 随 机 变 量 的 期 望 值 正 好 是 所 要 求 的 解 Q ， 然 后 用 q (w )的 简 单 子 样的 算 术 平 均 值 作 为 Q 的 近 似 值 。 举 个 例 子 就 是 9 7 年 的 A 题 ， 每 个 零 件 都 有 自 己 的 标 定 值 ， 也 都 有 自 己 的容 差 等 级 ， 而 求 解 最 优 的 组 合 方 案 将 要 面 对 着 的 是 一 个 极 其 复 杂 的 公 式和 1
14、 0 8 种 容 差 选 取 方 案 ， 根 本 不 可 能 去 求 解 析 解 ， 那 如 何 去 找 到 最 优 的方 案 呢 ？ 随 机 性 模 拟 搜 索 最 优 方 案 就 是 其 中 的 一 种 方 法 ， 在 每 个 零 件 可行 的 区 间 中 按 照 正 态 分 布 随 机 的 选 取 一 个 标 定 值 和 选 取 一 个 容 差 值 作 为一 种 方 案 ， 然 后 通 过 蒙 特 卡 罗 算 法 仿 真 出 大 量 的 方 案 ， 从 中 选 取 一 个 最佳 的 。另 一 个 例 子 就 是 2 0 0 3 年 的 彩 票 问 题 第 二 问 ， 要 求 设 计 一
15、种 更 好 的 方 案 ，首 先 方 案 的 优 劣 取 决 于 很 多 复 杂 的 因 素 ， 同 样 不 可 能 刻 画 出 一 个 模 型 进行 求 解 ， 只 能 靠 随 机 仿 真 模 拟 。 蒙 特 卡 罗 方 法 的 计 算 程 序 ： 关 于 蒙 特 卡 罗 方 法 的 计 算 程 序 已 经 有 很 多 ， 如 ： EGS4 、 FLUKA、ETRAN、 ITS、 MCNP、 GEANT等 。 这 些 程 序 大 多 经 过 了 多 年 的 发 展 ， 花费 了 巨 大 的 工 作 量 。 除 欧 洲 核 子 研 究 中 心 （ CERN） 发 行 的 GEANT主 要 用于
16、 高 能 物 理 探 测 器 响 应 和 粒 子 径 迹 的 模 拟 外 ， 其 它 程 序 都 深 入 到 低 能 领域 ， 并 被 广 泛 应 用 。2、 最 优 化 理 论 的 三 大 非 经 典 算 法这 十 几 年 来 最 优 化 理 论 有 了 飞 速 发 展 ， 模 拟 退 火 法 、 神 经 网 络 、 遗 传 算法 这 三 类 算 法 发 展 很 快 。 近 几 年 的 赛 题 越 来 越 复 杂 ， 很 多 问 题 没 有 什 么很 好 的 模 型 可 以 借 鉴 ， 于 是 这 三 类 算 法 很 多 时 候 可 以 派 上 用 场 ， 比 如 ：97 年 A 题 的 模
17、 拟 退 火 算 法 ， 00 年 B 题 的 神 经 网 络 分 类 算 法 ， 象 01 年 B题 这 种 难 题 也 可 以 使 用 神 经 网 络 ， 还 有 美 国 竞 赛 89 年 A 题 也 和 BP 算 法有 关 系 ， 当 时 是 86 年 刚 提 出 BP 算 法 ， 89 年 就 考 了 ， 说 明 赛 题 可 能 是当 今 前 沿 科 技 的 抽 象 体 现 。 目 前 算 法 最 佳 的 是 遗 传 算 法 。遗 传 算 法 简 介 ：遗 传 算 法 是 一 类 借 鉴 生 物 界 自 然 选 择 和 自 然 遗 传 机 制 的 随 机 化 搜 索 算法 ， 由 美
18、国 J.Holland教 授 提 出 ， 其 主 要 特 点 是 群 体 搜 索 策 略 和 群 体 中 个体 之 间 的 信 息 交 换 ， 搜 索 不 依 赖 于 梯 度 信 息 。 它 尤 其 适 用 于 传 统 搜 索 方法 难 于 解 决 的 复 杂 和 非 线 性 问 题 ， 可 广 泛 用 于 组 合 优 化 、 机 器 学 习 、 自适 应 控 制 、 规 划 设 计 和 人 工 生 命 等 领 域 ， 是 2 1 世 纪 有 关 智 能 计 算 中 的 关键 技 术 之 一 。在 人 工 智 能 领 域 中 ， 有 不 少 问 题 需 要 在 复 杂 和 庞 大 的 搜 索
19、空 间 中 寻 找 最优 解 或 准 最 优 解 。 象 货 郎 担 问 题 和 规 划 问 题 等 组 合 优 化 问 题 就 是 典 型 的例 子 。 在 求 解 此 类 问 题 时 ， 若 不 能 利 用 问 题 固 有 知 识 来 缩 小 搜 索 空 间 则会 产 生 搜 索 的 组 合 爆 炸 。因 此 ， 研 究 能 在 搜 索 过 程 中 自 动 获 取 和 积 累 有 关 搜 索 空 间 的 知 识 ， 并 自适 应 地 控 制 搜 索 过 程 ， 从 而 得 到 最 优 解 地 通 用 搜 索 方 法 一 直 是 令 人 瞩 目地 课 题 。 遗 传 算 法 就 是 这 种
20、特 别 有 效 地 算 法 。 生 物 的 进 化 是 一 个 奇 妙 的优 化 过 程 ， 它 通 过 选 择 淘 汰 ， 突 然 变 异 ， 基 因 遗 传 等 规 律 产 生 适 应 环 境变 化 的 优 良 物 种 。 遗 传 算 法 是 根 据 生 物 进 化 思 想 而 启 发 得 出 的 一 种 全 局优 化 算 法 。 尽 管 遗 传 算 法 本 身 在 理 论 和 应 用 方 法 上 仍 有 许 多 待 进 一 步 研究 地 问 题 ， 但 它 已 在 很 多 领 域 地 应 用 中 展 现 了 其 特 色 和 魅 力 。遗 传 算 法 的 基 本 概 念遗 传 算 法 的
21、基 本 思 想 是 基 于 Darwin进 化 论 和 Mendel的 遗 传 学 说 的 。 Darwin进 化 论 最 重 要 的 是 适 者 生 存 原 理 。 它 认 为 每 一 物 种 在 发 展 中 越 来越 适 应 环 境 。 物 种 每 个 个 体 的 基 本 特 征 由 后 代 所 继 承 ， 但 后 代 又 会 产 生一 些 异 于 父 代 的 新 变 化 。 在 环 境 变 化 时 ， 只 有 那 些 能 适 应 环 境 的 个 体 特征 方 能 保 留 下 来 。 Mendel遗 传 学 说 最 重 要 的 是 基 因 遗 传 原 理 。 它 认 为 遗 传 以 密 码
22、 方 式 存 在细 胞 中 ， 并 以 基 因 形 式 包 含 在 染 色 体 内 。 每 个 基 因 有 特 殊 的 位 置 并 控 制某 种 特 殊 性 质 ； 所 以 ， 每 个 基 因 产 生 的 个 体 对 环 境 具 有 某 种 适 应 性 。 基因 突 变 和 基 因 杂 交 可 产 生 更 适 应 于 环 境 的 后 代 。 经 过 存 优 去 劣 的 自 然 淘汰 ， 适 应 性 高 的 基 因 结 构 得 以 保 存 下 来 。 由 于 遗 传 算 法 是 由 进 化 论 和 遗 传 学 机 理 而 产 生 的 直 接 搜 索 优 化 方 法 ； 故而 在 这 个 算 法
23、中 要 用 到 各 种 进 化 和 遗 传 学 的 概 念 。 这 些 概 念 如 下 ：一 、 串 (String) 它 是 个 体 (Individual)的 形 式 ， 在 算 法 中 为 二 进 制 串 ， 并 且 对 应 于 遗 传 学中 的 染 色 体 (Chromosome)。 二 、 群 体 (Population) 个 体 的 *称 为 群 体 ， 串 是 群 体 的 元 素 三 、 群 体 大 小 (Population Size) 在 群 体 中 个 体 的 数 量 称 为 群 体 的 大 小 。 四 、 基 因 (Gene) 基 因 是 串 中 的 元 素 ， 基 因
24、用 于 表 示 个 体 的 特 征 。 例 如 有 一 个 串 S1 0 1 1 ， 则 其 中 的 1 ， 0 ， 1 ， 1 这 4 个 元 素 分 别 称 为 基 因 。 它 们 的 值 称 为 等位 基 因 (Alletes)。 五 、 基 因 位 置 (Gene Position) 一 个 基 因 在 串 中 的 位 置 称 为 基 因 位 置 ， 有 时 也 简 称 基 因 位 。 基 因 位 置 由串 的 左 向 右 计 算 ， 例 如 在 串 S 1 1 0 1 中 ， 0 的 基 因 位 置 是 3 。 基 因 位 置 对应 于 遗 传 学 中 的 地 点 (Locus)。六
25、 、 基 因 特 征 值 (Gene Feature) 在 用 串 表 示 整 数 时 ， 基 因 的 特 征 值 与 二 进 制 数 的 权 一 致 ； 例 如 在 串S=1011中 ， 基 因 位 置 3中 的 1， 它 的 基 因 特 征 值 为 2； 基 因 位 置 1中 的 1，它 的 基 因 特 征 值 为 8。 七 、 串 结 构 空 间 SS 在 串 中 ， 基 因 任 意 组 合 所 构 成 的 串 的 *。 基 因 操 作 是 在 结 构 空 间 中 进 行的 。 串 结 构 空 间 对 应 于 遗 传 学 中 的 基 因 型 (Genotype)的 *。 八 、 参 数
26、空 间 SP 这 是 串 空 间 在 物 理 系 统 中 的 映 射 ， 它 对 应 于 遗 传 学 中 的 表 现 型(Phenotype)的 *。 九 、 非 线 性 它 对 应 遗 传 学 中 的 异 位 显 性 (Epistasis) 十 、 适 应 度 (Fitness) 表 示 某 一 个 体 对 于 环 境 的 适 应 程 度 。遗 传 算 法 的 原 理 遗 传 算 法 GA把 问 题 的 解 表 示 成 “染 色 体 ”， 在 算 法 中 也 即 是 以 二 进 制 编 码的 串 。 并 且 ， 在 执 行 遗 传 算 法 之 前 ， 给 出 一 群 “染 色 体 ”， 也
27、即 是 假 设解 。 然 后 ， 把 这 些 假 设 解 置 于 问 题 的 “环 境 ”中 ， 并 按 适 者 生 存 的 原 则 ，从 中 选 择 出 较 适 应 环 境 的 “染 色 体 ”进 行 复 制 ， 再 通 过 交 叉 ， 变 异 过 程 产生 更 适 应 环 境 的 新 一 代 “染 色 体 ”群 。 这 样 ， 一 代 一 代 地 进 化 ， 最 后 就 会收 敛 到 最 适 应 环 境 的 一 个 “染 色 体 ”上 ， 它 就 是 问 题 的 最 优 解一 、 遗 传 算 法 的 目 的 典 型 的 遗 传 算 法 CGA(Canonical Genetic Algor
28、ithm)通 常 用 于 解 决 下 面这 一 类 的 静 态 最 优 化 问 题 ： 考 虑 对 于 一 群 长 度 为 L的 二 进 制 编 码 bi， i 1， 2， ， n； 有 bi 0,1 给 定 目 标 函 数 f， 有 f(bi)， 并 且 0f(bi) 同 时f(bi) f(bi+1) 求 满 足 下 式 maxf(bi)|bi 0,1的 bi。 很 明 显 ， 遗 传 算 法 是 一 种 最 优 化 方 法 ， 它 通 过 进 化 和 遗 传 机 理 ， 从 给 出的 原 始 解 群 中 ， 不 断 进 化 产 生 新 的 解 ， 最 后 收 敛 到 一 个 特 定 的 串
29、 bi处 ，即 求 出 最 优 解 。二 、 遗 传 算 法 的 基 本 原 理 长 度 为 L的 n个 二 进 制 串 bi(i 1 ， 2 ， ， n)组 成 了 遗 传 算 法 的 初 解 群 ， 也称 为 初 始 群 体 。 在 每 个 串 中 ， 每 个 二 进 制 位 就 是 个 体 染 色 体 的 基 因 。 根据 进 化 术 语 ， 对 群 体 执 行 的 操 作 有 三 种 ： 1 选 择 (Selection) 这 是 从 群 体 中 选 择 出 较 适 应 环 境 的 个 体 。 这 些 选 中 的 个 体 用 于 繁 殖 下 一代 。 故 有 时 也 称 这 一 操 作
30、 为 再 生 (Reproduction)。 由 于 在 选 择 用 于 繁 殖 下一 代 的 个 体 时 ， 是 根 据 个 体 对 环 境 的 适 应 度 而 决 定 其 繁 殖 量 的 ， 故 而 有时 也 称 为 非 均 匀 再 生 (differential reproduction)。 2 交 叉 (Crossover) 这 是 在 选 中 用 于 繁 殖 下 一 代 的 个 体 中 ， 对 两 个 不 同 的 个 体 的 相 同 位 置 的基 因 进 行 交 换 ， 从 而 产 生 新 的 个 体 。 3 变 异 (Mutation) 这 是 在 选 中 的 个 体 中 ， 对
31、个 体 中 的 某 些 基 因 执 行 异 向 转 化 。 在 串 bi中 ，如 果 某 位 基 因 为 1 ， 产 生 变 异 时 就 是 把 它 变 成 0 ； 反 亦 反 之 。三 、 遗 传 算 法 的 步 骤 1 初 始 化 选 择 一 个 群 体 ， 即 选 择 一 个 串 或 个 体 的 *bi， i=1 ， 2 ， .n。 这 个 初 始 的群 体 也 就 是 问 题 假 设 解 的 *。 一 般 取 n 3 0 -1 6 0 。 通 常 以 随 机 方 法 产 生 串 或 个 体 的 *bi,i 1 ， 2 ， .n。 问 题 的 最 优 解 将 通过 这 些 初 始 假 设
32、 解 进 化 而 求 出 。 2 选 择 根 据 适 者 生 存 原 则 选 择 下 一 代 的 个 体 。 在 选 择 时 ， 以 适 应 度 为 选 择 原则 。 适 应 度 准 则 体 现 了 适 者 生 存 ， 不 适 应 者 淘 汰 的 自 然 法 则 。 给 出 目 标 函 数 f， 则 f(bi)称 为 个 体 bi的 适 应 度 。 以 为 选 中 bi为 下 一 代 个 体 的 次 数 。显 然 ：(1 )适 应 度 较 高 的 个 体 ， 繁 殖 下 一 代 的 数 目 较 多 。 (2 )适 应 度 较 小 的 个 体 ， 繁 殖 下 一 代 的 数 目 较 少 ； 甚
33、至 被 淘 汰 。 这 样 ， 就 产 生 了 对 环 境 适 应 能 力 较 强 的 后 代 。 对 于 问 题 求 解 角 度 来 讲 ，就 是 选 择 出 和 最 优 解 较 接 近 的 中 间 解 。 选 择 的 方 法 有 ： 适 应 度 比 例 法 期 望 值 法 排 位 次 法 精 华 保 存 法3 交 叉对 于 选 中 用 于 繁 殖 下 一 代 的 个 体 ， 随 机 地 选 择 两 个 个 体 的 相 同 位 置 ， 按交 叉 概 率 P。 在 选 中 的 位 置 实 行 交 换 。 这 个 过 程 反 映 了 随 机 信 息 交 换 ；目 的 在 于 产 生 新 的 基
34、因 组 合 ， 也 即 产 生 新 的 个 体 。 交 叉 时 ， 可 实 行 单 点交 叉 或 多 点 交 叉 。 例 如 ： 有 个 体 S1 =1 0 0 1 0 1 S2 =0 1 0 1 1 1 选 择 它 们 的 左 边 3 位 进 行 交 叉 操 作 ， 则 有 S1 =0 1 0 1 0 1 S2 =1 0 0 1 1 1 一 般 而 言 ， 交 叉 概 率 P， 取 值 为 0 .2 5 0 .7 5 。4 变 异 根 据 生 物 遗 传 中 基 因 变 异 的 原 理 ， 以 变 异 概 率 Pm对 某 些 个 体 的 某 些 位执 行 变 异 。 在 变 异 时 ， 对
35、执 行 变 异 的 串 的 对 应 位 求 反 ， 即 把 1 变 为 0 ， 把0 变 为 1 。 变 异 概 率 Pm与 生 物 变 异 极 小 的 情 况 一 致 ， 所 以 ， Pm的 取 值 较小 ， 一 般 取 0 .0 1 -0 .2 。 例 如 ：有 个 体 S 1 0 1 0 1 1 。 对 其 的 第 1 ， 4 位 置 的 基 因 进 行 变 异 ， 则 有 S=0 0 1 1 1 1 单 靠 变 异 不 能 在 求 解 中 得 到 好 处 。 但 是 ， 它 能 保 证 算 法 过 程 不 会 产 生 无法 进 化 的 单 一 群 体 。 因 为 在 所 有 的 个 体
36、 一 样 时 ， 交 叉 是 无 法 产 生 新 的 个体 的 ， 这 时 只 能 靠 变 异 产 生 新 的 个 体 。 也 就 是 说 ， 变 异 增 加 了 全 局 优 化的 特 质 。5 全 局 最 优 收 敛 (Convergence to the global optimum) 当 最 优 个 体 的 适 应 度 达 到 给 定 的 阀 值 ， 或 者 最 优 个 体 的 适 应 度 和 群 体 适应 度 不 再 上 升 时 ， 则 算 法 的 迭 代 过 程 收 敛 、 算 法 结 束 。 否 则 ， 用 经 过 选择 、 交 叉 、 变 异 所 得 到 的 新 一 代 群 体
37、取 代 上 一 代 群 体 ， 并 返 回 到 第 2 步即 选 择 操 作 处 继 续 循 环 执 行 。 遗 传 算 法 基 本 处 理 流 程 图 如 下 ： 二 、 遗 传 算 法 的 应 用 关 键 遗 传 算 法 在 应 用 中 最 关 键 的 问 题 有 如 下 3个 1 串 的 编 码 方 式 这 本 质 是 问 题 编 码 。 一 般 把 问 题 的 各 种 参 数 用 二 进 制 编 码 ， 构 成 子 串 ；然 后 把 子 串 拼 接 构 成 “ 染 色 体 ” 串 。 串 长 度 及 编 码 形 式 对 算 法 收 敛 影 响极 大 。 2 适 应 函 数 的 确 定
38、适 应 函 数 (fitness function)也 称 对 象 函 数 (object function)， 这 是问 题 求 解 品 质 的 测 量 函 数 ； 往 往 也 称 为 问 题 的 “ 环 境 ” 。 一 般 可 以 把 问题 的 模 型 函 数 作 为 对 象 函 数 ； 但 有 时 需 要 另 行 构 造 。 3 遗 传 算 法 自 身 参 数 设 定 遗 传 算 法 自 身 参 数 有 3个 ， 即 群 体 大 小 n、 交 叉 概 率 Pc和 变 异 概 率 Pm。 群 体 大 小 n太 小 时 难 以 求 出 最 优 解 ， 太 大 则 增 长 收 敛 时 间 。
39、一 般 n 30-160。 交 叉 概 率 Pc太 小 时 难 以 向 前 搜 索 ， 太 大 则 容 易 破 坏 高 适 应 值 的 结构 。 一 般 取 Pc=0.25-0.75。 变 异 概 率 Pm太 小 时 难 以 产 生 新 的 基 因 结 构 ，太 大 使 遗 传 算 法 成 了 单 纯 的 随 机 搜 索 。 一 般 取 Pm 0 01 0 2。matlab遗 传 算 法 工 具 箱 函 数 及 实 例 讲 解 核 心 函 数 ： (1)functionpop=initializega(num,bounds,eevalFN,eevalOps,options)-初 始种 群 的
40、生 成 函 数 【 输 出 参 数 】 pop-生 成 的 初 始 种 群 【 输 入 参 数 】 num-种 群 中 的 个 体 数 目 bounds-代 表 变 量 的 上 下 界 的 矩 阵 eevalFN-适 应 度 函 数 eevalOps-传 递 给 适 应 度 函 数 的 参 数 options-选 择 编 码 形 式 (浮 点 编 码 或 是 二 进 制 编 码 )precisionF_or_B,如 precision-变 量 进 行 二 进 制 编 码 时 指 定 的 精 度 F_or_B-为 1时 选 择 浮 点 编 码 ， 否 则 为 二 进 制 编 码 ,由 preci
41、sion指 定 精度 )2 )function x,endPop,bPop,traceInfo =ga(bounds,evalFN,evalOps,startPop,opts,. termFN,termOps,selectFN,selectOps,xOverFNs,xOverOps,mutFNs,mutOps)-遗 传 算 法 函 数 【 输 出 参 数 】 x-求 得 的 最 优 解 endPop-最 终 得 到 的 种 群 bPop-最 优 种 群 的 一 个 搜 索 轨 迹 【 输 入 参 数 】 bounds-代 表 变 量 上 下 界 的 矩 阵 evalFN-适 应 度 函 数 e
42、valOps-传 递 给 适 应 度 函 数 的 参 数 startPop-初 始 种 群 optsepsilon prob_ops display-opts(1 :2 )等 同 于 initializega的 options参 数 ，第 三 个 参 数 控 制 是 否 输 出 ， 一 般 为 0 。 如 1 e-6 1 0 termFN-终 止 函 数 的 名 称 ,如 maxGenTerm termOps-传 递 给 终 止 函 数 的 参 数 ,如 1 0 0 selectFN-选 择 函 数 的 名 称 ,如 normGeomSelect selectOps-传 递 给 选 择 函 数
43、 的 参 数 ,如 0 .0 8 xOverFNs-交 叉 函 数 名 称 表 ， 以 空 格 分 开 ， 如 arithXover heuristicXoversimpleXover xOverOps-传 递 给 交 叉 函 数 的 参 数 表 ， 如 2 0 ;2 3 ;2 0 mutFNs-变 异 函 数 表 ， 如 boundaryMutation multiNonUnifMutationnonUnifMutation unifMutation mutOps-传 递 给 交 叉 函 数 的 参 数 表 ,如 4 0 0 ;6 1 0 0 3 ;4 1 0 0 3 ;4 0 0 【 问
44、题 】 求 f(x)=x+1 0 *sin(5 x)+7 *cos(4 x)的 最 大 值 ， 其 中 0 =x=9 【 分 析 】 选 择 二 进 制 编 码 ， 种 群 中 的 个 体 数 目 为 1 0 ， 二 进 制 编 码 长 度 为2 0 ， 交 叉 概 率 为 0 .9 5 ,变 异 概 率 为 0 .0 8 【 程 序 清 单 】 %编 写 目 标 函 数 functionsol,eval=fitness(sol,options) x=sol(1 ); eval=x+1 0 *sin(5 *x)+7 *cos(4 *x); %把 上 述 函 数 存 储 为 fitness.m文
45、 件 并 放 在 工 作 目 录 下 initPop=initializega(1 0 ,0 9 ,fitness);%生 成 初 始 种 群 ， 大 小 为 1 0 x endPop,bPop,trace=ga(0 9 ,fitness,initPop,1 e-6 11 ,maxGenTerm,2 5 ,normGeomSelect,. 0 .0 8 ,arithXover,2 ,nonUnifMutation,2 2 5 3 ) %2 5 次 遗 传 迭 代运 算 结 果 为 ： x = 7.8562 24.8553(当 x为 7.8562时 ， f（ x） 取 最 大 值24.8553)
46、 注 ： 1、 遗 传 算 法 一 般 用 来 取 得 近 似 最 优 解 ， 而 不 是 最 优 解 。 2、 matlab工 具 箱 函 数 必 须 放 在 工 作 目 录 下9 8 年 全 国 大 学 生 数 学 建 模 竞 赛 A题投 资 的 收 益 和 风 险 一 、 模 型 的 建 立 设 购 买 Si的 金 额 为 Xi， 所 需 的 交 易 费 ci (xi)为 ： 设 存 银 行 的 金 额 为 x0 ,显 然 c0 (x0 )=0 对 si投 资 的 净 收 益 为 Ri(xi)=rixi-ci(xi) 投 资 组 合 x=(x0 ,x1 ,xn)的 净 收 益 为 由 题
47、 意 ， 投 资 的 风 险 为 Q(x)=max(qixi)因 此 ， 问 题 的 数 学 模 型 是 一 个 双 目 标 优 化 ： minz1 =Q(x) minz2 =-R(x) s.t 二 、 模 型 求 解对 于 上 述 双 目 标 优 化 模 型 这 类 问 题 大 多 用 某 种 方 式 化 为 单 目 标 问 题 来 求解 ， 主 要 有 以 下 三 种 ： （ 1 ） 固 定 风 险 水 平 ， 优 化 收 益 ； （ 2 ） 固 定 赢 利水 平 ， 极 小 化 风 险 ； （ 3 ） 确 定 投 资 者 对 风 方 法 险 收 益 的 相 对 偏 好 系数 。 前 （
48、1 ） 、 （ 2 ） 两 种 方 法 分 别 是 以 牺 牲 某 一 目 标 来 达 到 另 一 目 标 的优 化 ， 而 对 第 三 种 则 由 于 决 策 者 很 难 知 道 偏 好 系 数 具 体 的 值 。 故 这 三 种方 法 都 不 太 理 想 ， 下 面 我 们 考 虑 用 遗 传 算 法 来 解 决 这 个 问 题 。 由 于 在 双 目 标 情 况 下 ， 两 目 标 通 常 本 质 上 是 相 互 矛 盾 的 ， 最 优 解 需 要 替代 为 非 劣 解 ， 即 对 于 任 何 目 标 函 数 在 不 牺 牲 其 它 目 标 的 情 况 下 就 不 能 改进 的 解 。三
49、 个 定 义定 义 1 ： 非 劣 解 ： 可 行 解 定 义 2 ： 正 理 想 解 ： 正 理 想 解 由 所 有 可 达 到 的 最 好 的 目 标 值 构 成 定 义 3 ： 负 理 想 解 ： 负 理 想 解 由 所 有 可 达 到 的 最 坏 的 目 标 值 构 成 我 们 考 虑 用 遗 传 算 法 产 生 整 个 非 劣 解 的 集 （ 和 谐 ） 合 ， 或 近 似 的 集 （ 和谐 ） 合 ， 然 后 让 决 策 者 自 己 来 选 择 最 好 地 表 达 他 对 各 个 目 标 的 权 衡 取 舍的 非 劣 解 。 对 于 这 个 双 目 标 规 划 问 题 可 采 用 自 适 应 移 动 线 技 术 建 立 一 种求 加 权 和 的 方 法 ， 这 种 方 法 可 迫 使 遗 传 搜 索 去 探 索 目 标 空 间 中 非 劣 解 的集 （ 和 谐 ） 合 。总
