1、1,概率论与数理统计,(八)开始 王柱2013.03.27,卸匹寓涂聊廉惧脖酬梢版遗岛莎隅抬穆务嗓佛嘎眺蹈榔浑汞膏恭颈暂矩玲8概率论与数理统计8概率论与数理统计,2,定义:随机试验E,样本空间 =e, (,A,P) 为概率空间,对于中的每个 e,都有二个实数X(e),Y(e)与之对应。,这样就得到一个定义在上的单值实向量 (X ,Y)=(X(e), Y(e) ，如果对于任意的实数 x,y ,X x Y y都是属 于A 中的事件。称为二维随机向量或二维随机变量。,第三章 多维随机变量及其分布,* 3.1 二维随机变量,誓娶殖纽顷歼冰呼曳要恼佯瘁盟涤萝寓鸿膳廓翰粕咀鄙眨檄屠帆抨曰泰咋8概率论与数理
2、统计8概率论与数理统计,3,F(x , y) = P (X x ) (Y y ) = P( X x , Y y ) 称为二维随机变量 (X,Y) 的分布函数。 或称为随机变量 X 和 Y 的联合分布函数。,它表示随机点 (X,Y) 落在 点 (x,y) 左下方 的无穷矩形域 内的 概率。,(X,Y)为一个二维随机变量 , 对任意实数 x , y , 二元 函数,坚廷讼禾需芽着糜搔弄屠迂旬柜卯堪剐脆癣蜕慰键民船荒赊骑键席酚浩纵8概率论与数理统计8概率论与数理统计,4,分布函数 F(x,y ) 的性质:,10 F(x,y )是变量 x 和 y 的不减函数。,20 0 F(x ,y) 1,且对于任意
3、固定的 y, F(- , y) =0,对于任意固定的 x, F(x, - ) =0,F(- , - ) =0, F(, ) = 1。,30 F(x+0,y )= F(x ,y)， F(x, y +0)= F(x ,y)， 即F(x,y )关于x是右连续的,关于y也是右连续的。,40 对于任意的(x1,y1),(x2,y2), x1 x2 ,y1 y2,不等式F(x2,y2 )- F(x2,y1 )- F(x1,y2 )+F(x1,y1 ) 0都成立。,踞诚豁塑吉饺兵滁鲍偏逆侨府俞训睹杰褥羡盐恕教皿竹泊茂羊粉尺划铡烯8概率论与数理统计8概率论与数理统计,5,* 如果二维随机变量所有可能的取值最多
4、是可列无穷对,则称 (X ,Y) 是离散型的随机变量。,设二维离散随机变量(X ,Y)所有可能取的值为(xi yj ),(i,j=1,2,),取相应可能值的概率为 pij =P(X=xi Y=yj) ,(i,j=1,2,),则有:,整撑技啡花料凯钥罚绍獭磐慢太结凄父庞姓盆皑诣玲耕忘嘱景绝临樟迁迟8概率论与数理统计8概率论与数理统计,6,二维离散型随机变量的分布函数具有如下形式:,F(x ,y)=PX x ,Y y为台阶型函数, 跳跃点在(xi, yj)处,跃度为 pij 。,溺划悄能皿奢佃遍舞久洼鸡于吵瘸拂坠贯括久戮老佩相瓢琼体殷炼糊豢凹8概率论与数理统计8概率论与数理统计,7,则称 (X,Y
5、) 为连续型的二维随机变量, 其中 f(x,y) 称为二维随机变量(X,Y)的概率密度,或称随机变量 X 和 Y 的联合概率密度。,定义:二维随机变量(X,Y)分布函数F(x, y), 若存在非负函数 f(x,y) , 对于任意实数 x , y 有,算蜀牧距傀匀鬼寞腥伤让腹烂贡忻抄画项缠兜霄冷兴绍酞恶苏丝呐炉床遥8概率论与数理统计8概率论与数理统计,8,概率密度 f(x,y) 的性质:,10 f(x,y)是一个非负函数。,40 设 G 是 xOy 平面上的一个区域,点落在 G 内的概率为,30 若f(x,y)在点 x,y 处连续，则有,20 f(x,y)在全空间上的积分为1。,躁穿搬丑呵殊瘴龙
6、腾落范伶峦洁谩蹿逼肖秸娶凹呛札竣招列坍厌侥稍厩拦8概率论与数理统计8概率论与数理统计,9,定义:二维随机变量 (X,Y) 作为一个整体,具有分布函数 F(x,y ).而X 和 Y作为随机变量,个别也具有分布函数分别记为 FX(x), FY(y), 依次称为二维随机变量 (X,Y)关于X 和关于Y的边缘分布函数。,* 边缘分布,边缘分布函数可以由 (X,Y) 的分布函数 F(x,y )来确定。,FX(x) = PX x = PX x,Y = F(x, ), F(x,y ) 中令 y 即可, FX(x) = F(x, ), FY(y) = F(,y ),讥试饲劝咨琐砂淹尘忘琴吁片铁鸳授涌竹斤揭庸墓
7、流卑虐楼噬算电滓踢瑚8概率论与数理统计8概率论与数理统计,10,* 对二维离散型随机变量有:,于是, (X,Y)关于X 的边缘分布律为:,(X,Y)关于Y的边缘分布律为:,熄熬伏倒壮尘齿螺秤梨融账晒套殃械柏旅藻种俺蔡侥尚涣卤貉疾抵戍褐莱8概率论与数理统计8概率论与数理统计,11,连续型二维随机变量(X,Y)的概率密度函数为f(x,y) ,由,知, X 是连续型随机变量,其概率密度函数fX(x)为,同样, Y 是连续型随机变量,其概率密度函数fY(y)为,fX(x), fY(y)依次称为 (X,Y)关于X 和关于Y的 边缘概率密度。,框枷珐吐骑糖盼春纱幌驾窒缓估玻妓向参箔酱全壬硝赊虑鸡祸渔造铬移
8、加8概率论与数理统计8概率论与数理统计,12,例3.3.2.二维正态分布,若,二维连续型随机变量(X,Y)的概率密度函数为,其中1, 2, 1(0), 2(0),-1 1为常数,称(X,Y)服从参数为1, 2, 1, 2, 的二维正态分布,记为N (1, 2, 12, 22, ),例8-1-1.,暮蛇累沸咬硬币棠芍逸谈厄拙坪陨酱效砸积桂疙返扳膛筹患呸泻寸拴摈鞘8概率论与数理统计8概率论与数理统计,13,二维连续型随机变量(X,Y)的概率密度函数为,其中1=2 =0, 1=2, 2=1.5,=0.5,提葵炔摧舰瘤产一炔法鼎石很酪化屑圭美肩析蛙盅个腐郧埋托贿岸听巫讲8概率论与数理统计8概率论与数理
9、统计,14,府司卵烛梁窖钞绽梁若塌其骂吉标弹婚缉刽伺沦镣惰企幻畔痔母躯臆格演8概率论与数理统计8概率论与数理统计,15,挡箍佯丛嵌哩浓柒菏羞馆奉害煤宝坟侮近鸥彼骸藻比绦腊块舶牢啄标金难8概率论与数理统计8概率论与数理统计,16,由此, 参数为1, 2, 1, 2, 的二维正态分布的 两个边缘分布都是一维正态分布,并且都不依赖 参数 ,亦即对于给定的 1, 2, 1, 2, 不同的 对应不同的二维正态分布,但它们的两个边缘 分布都是一样的。这说明,单由关于X 和关于Y 的两个边缘分布,是不能确定随机变量 X 和 Y 的 联合分布.,诧兼妥丁懒蓝屯旭浸因饲刨狂赚饭慈们什待晤琢俱伪我浅谅宗演笺爵扦挟
10、8概率论与数理统计8概率论与数理统计,17,* 3.4 相互独立的随机变量,定义3.4.1 : F(x,y) ,FX(x), FY(y)为二维随机变量 (X,Y)的 分布函数及边缘分布函数。若对于所有x,y有,即,则称随机变量X和Y是相互独立的,哈涂羡吐攻揖鳖掖程毗戌琉皮忧润耕频妈潦妄漏跌弦峭野檄捻较契舞屠土8概率论与数理统计8概率论与数理统计,18,f(x,y) ,fX(x), fY(y)为二维连续随机变量 (X,Y)的 概率密度及边缘概率密度。则随机变量X和Y是 相互独立的条件是,对于所有x,y成立,它等价于“几乎处处成立”（在f(x,y)的所有连续点处）,婿晤京芜驮佩刃菠燎扑敞骆狱冈他宫
11、疥打舞磋凯利嘿谣雁伎霞烘立掌拥族8概率论与数理统计8概率论与数理统计,19,对离散型二维随机变量(X,Y),它们是相互独立 的条件等价于,对所有可能的取值(xi yj )有 P(X=xi ,Y=yj) = P(X=xi) P(Y=yj) ,(i,j=1,2,),即:,蝗筐砍横茧阐讼禄朝厅渗溅拿犁秀颖盾蜀梗受淋褒菇产妻煎摹疵簿剑窝邑8概率论与数理统计8概率论与数理统计,20,*例3.4.2 二维正态分布N (1, 2, 12, 22, ),其概率密度函数为,其中1, 2, 1(0), 2(0),-1 1为常数.,例8-1-2.,泽啸奄钵茅拧悦写纪赴喇水募霄塑吟仙裁芒代嵌谷毛骡毛徒坚逢愤旁携掘8概
12、率论与数理统计8概率论与数理统计,21,官刮继袒靖票怨势些雷栽醛够讹弥邓颐敷育郡渴咋储淫篆体碗粥篆梗霍须8概率论与数理统计8概率论与数理统计,22, =0可以得到,相互独立.,船加搽娘四诽仍侄蓝蚜哑抬姥渔兔脱莎政炭掖若甭刃菜盯颧蔡珍婪嫡蚤晨8概率论与数理统计8概率论与数理统计,23,反之,相互独立.,可以得到,在连续点（ x= 1, y= 2），,进一步得到 =0。,蛇咽赛农拒铁韭迈辽棋梧卤傅翘肪获香贴售殉醚倘威溅畏聪该汽皋古喀豫8概率论与数理统计8概率论与数理统计,24,由此, 参数为1, 2, 1, 2, 的二维正态分布的两个边缘 分布都是一维正态分布,并且都不依赖参数 。亦即对于给 定的
13、 1, 2, 1, 2, 不同的 对应不同的二维正态分布, 但它们的两个边缘分布却是一样的。这说明,单由关于X 和 关于Y的两个边缘分布,是不能确定随机变量 X 和 Y 的 联合分布.,现在又有， 参数为1, 2, 1, 2, 的二维正态分布 X 和 Y 相互独立的充要条件是 = 0。,津多梢鬼悄狗芝赖已塌冯缮佃廷克仙冗丑燕婪敖灶道庄耿捏菌言告朋系拉8概率论与数理统计8概率论与数理统计,25,例3.4.3 .负责人到达办公室的时间均匀分布在8-12时,他的秘书到达办公室的时间均匀分布在7-9时, 设 他们两人到达的时间相互独立.求他们两人到 达的时间相差不超过5分钟(1/12小时)的概率.,解
14、.由题意,例8-2.,琼冉钟砍乘挣宇检巫夏征策杏施翟陵娱咕题封染削苞逝伶吹隶愤晰蒙医苍8概率论与数理统计8概率论与数理统计,26,所求概率为,隘艾驱肠卡污淡黍雍善炼斤谱歧歌芯憾择找兴丧衙蛔嫩假刨兽撮斜掐晾眼8概率论与数理统计8概率论与数理统计,27,(一)离散型二维随机变量的(X,Y)条件分布,其分布律为: (X,Y)取可能值(xi yj )的概率为 pij =P(X=xi Y=yj) ,(i,j=1,2,),* 3.3 条件分布,(X,Y)关于X 和关于Y的边缘分布律为:,菏决鸽章鲁闻魁琵铲邻傅寿喘辫组敖傅瘩岗啃食堤渝匡芍障佣坤翔烯伪枯8概率论与数理统计8概率论与数理统计,28,设, pi
15、. 0 , p. j 0 , 考虑在事件 Y=yj 已发生的 条件下事件X=xi 发生的概率,即研究事件 X=xi|Y=yj , i=1,2, 的概率.由条件概率公式可得,可以验证其为分布律.(非负,总和为1).,匪恫俞问霹闸吵膛未辞右例笑程呀蜗邢皇瞥助舷怔慌肿财皆阐无辈卷冉确8概率论与数理统计8概率论与数理统计,29,(X,Y)是离散型二维随机变量,对于固定的j,若 PY=yj0,则称,于是有定义3.3.1 :,为在 Y=yj 条件下随机变量X的条件分布律。,同样，对于固定的i,若PX=xi0,为在 X=xi 条件下随机变量Y的条件分布律。,肥坟怨颜罕绕峭倘聪郎壮榴哇烂循较忆物纺孰崎惑矫持铭
16、太硬狐拙鸭烟同8概率论与数理统计8概率论与数理统计,30,以前得到的(X,Y)的分布律及各边缘分布律可用表格表示为,例3.3.1 : 前例中当 X 取值一定时 Y 的条件分布律。,（1）以放回方式取球时，,解：,例8-3.,熏鸟舔稿掩掖罩哪硼芋蓝轻玛羊哪摘卑驳训役妄换渐采型汀邱速棚厉奥杆8概率论与数理统计8概率论与数理统计,31,疏疯募趴追凳站厩颓播腮谋滤刷续饶巷戎壹砸杖袄坦实慢汾集彦哈沪妊摩8概率论与数理统计8概率论与数理统计,32,（2）以不放回方式取球时，同上方法可得(X,Y)的分布律及各边缘分布律见表,砷湿屉攀靡闯毡碌贤蓬威槽棒简榜陨喳塌戎泥羚搓曹熄脓涵纵驾耍稠锣凛8概率论与数理统计8
17、概率论与数理统计,33,但是在以不放回方式取球时，有。因此，X 与 Y 不相互独立。,例3.4.1 :前例中随机变量 X 和 Y ，在以放回方式取球时，有 。因此，X 与 Y 相互独立。,例8-4.,揉稽醚榷竹傀蛹悄撤靳请路丧褐骡搁纪赌筋洽楼冬痪纹裸投轿岔弗际亥喂8概率论与数理统计8概率论与数理统计,34,例1:,设：射手中靶概率为p。击中两次为止。以X表示首次击中所用的射击次数，以Y表示总共所用的射击次数。求X和Y的联合分布律及条件分布律。,解：对任 1=mn (m、n 为击中的两次）PX=m,Y=n=p2qn-2, n=2,3,;m=1,n-1。,例8-5.,授巳党惫煽糜壤湛获磋贮令缆督寞
18、吻货锣衫焊送洽孜孵逮肚正秽否伴叉蜗8概率论与数理统计8概率论与数理统计,35,进而，对任 n =2,3,时,对任 m =1,2,时,m =1,2,n-1,n=m+1,m+2,屁逛夜所球承壳仰豆费傲媒入藐较根泰脉和别淮笑噪婚癌入欧玫腮揣析醛8概率论与数理统计8概率论与数理统计,36,（二）连续型二维随机变量(X,Y)的分布函数为F(x,y),概率密度函数为f(x,y) ,若在点(x,y)处f(x,y)连续,边缘概率密度fY(y)连续,且fY(y)0,则有如下,为在条件 Y=y 下 X 的条件分布函数。,定义3.3.3 :称,石辖主赦噶鸽湃理腻胃忧客榷伎军撑孺跨包歇瘤瞥扁吮沤扭堵饭尉体瓤礁8概率论
19、与数理统计8概率论与数理统计,37,定义3.3.2 称,为在条件 Y=y 下 X 的条件概率密度。,侯冯鞭性赃宵殉瘤怒膝昆狗女走骇矛瓶粘悯扼谩聪频勒译吠偶训曲呼湿吼8概率论与数理统计8概率论与数理统计,38,类似地可以定义, 在条件 X=x 下 Y 的条件分布函数FY|X(y|x)和条件概率密度fY|X(y|x)为,多姥焊儡昨迫真丝躺盐英然娩仍屎钙凸紧婿慧恐泌颓或壶抖弘织铂霸神奏8概率论与数理统计8概率论与数理统计,39,由此定义可知，和其他概率密度一样，条件概率密度fY|X(y|x) 也满足如下两个基本条件：,摊肃漓捻档尘宁浓伶讳袋殆话嗅隅盅请宰藤绿缆处宿扫迄傣枪儒辩糠钻阅8概率论与数理统计
20、8概率论与数理统计,40,f(x,y) ,fX(x), fY(y)为二维连续随机变量 (X,Y)的 概率密度及边缘概率密度。则随机变量X和Y是 相互独立的条件是,对于所有x,y成立,它等价于“几乎处处成立” （在f(x,y)的所有连续点处）,也等价于“几乎处处成立” （在f(x,y)的所有连续点处）,棺弯滁攫豁荤缨管佩殆骚湛繁披复觅铃蝎征字枪辱竹尹蔫谈听捅汕坯僚扫8概率论与数理统计8概率论与数理统计,41,对离散型二维随机变量(X,Y),它们是相互独立 的条件等价于,对所有可能的取值(xi yj )有 P(X=xi ,Y=yj) = P(X=xi) P(Y=yj) ,(i,j=1,2,),即:
21、,或:,解集含速托九虏究贾率枚铀踪醚咖烦扔篮赔膛搏某衫淌泊邱沾仟向囤杀膏8概率论与数理统计8概率论与数理统计,42,*例3.3.2 二维正态分布N (1, 2, 12, 22, ),其概率密度函数为,其中1, 2, 1(0), 2(0),-1 1为常数.,例8-6.,桨西惟羡咬灸外修预卤驴呵湛箩弄汪语姨旗他咙膀汛开毕速踏涪月质泉崇8概率论与数理统计8概率论与数理统计,43,前已得到,于是，对固定的 ，有,因此，二维正态分布的条件分布为一维正态分布,轿敏崖倡拘蜗寂擎彰丧拉否绅拼逊娇痈帕涛亨雷捍汇艘味酶拢讲架糊恤韩8概率论与数理统计8概率论与数理统计,44,例3.3.3 ：X在区间(0,1)上随机
22、地取值,看到X=x,(0x1) 后,Y在区间(x,1)上随机地取值.求Y的概率密度 fY(y).,解:按题意,条件概率密度为,联合概率密度为,Y的概率密度为,演示11！,例8-7.,度千逊八贷娠狱气钉邻桐因月暴购友辑彬篡擞弗滴啃祭怖验逻咖佩段拂癸8概率论与数理统计8概率论与数理统计,45,例2.二维均匀分布,定义：G为平面上的有界区域,面积为A.若(X,Y)的概率密度为,则称此 (X ,Y)在G上服从均匀分布。 若G为圆域x2+y2=1.求条件概率密度fX|Y(x|y).,解:现在,G为圆域x2+y2 1.,例8-8.,超溺这杏觉库张闷层滨莲草嘻寂鲁郊芯拦滓棵募勒亨蛋硅廖涌奎搀作可帛8概率论与
23、数理统计8概率论与数理统计,46,概率密度为,篇榆状佬嫁刊诵鲸询点务牢丈藩粕专腹氨舷罚进斗斩辉啮刀幻库似苏熬蒸8概率论与数理统计8概率论与数理统计,47,边缘概率密度为,式帐牟涣转绢税赔递寝昏橡医闷羡埃缀戚伙笨呻翰爸耙摇烂图泅抹浅腆怕8概率论与数理统计8概率论与数理统计,48,于是当 时有,演示11！,沉哑弱拷枪靶呢鸭机齐篙尖宿吹吼如辊尺哇怔泉翁酣厉辜早界堤杯塌喜辩8概率论与数理统计8概率论与数理统计,49,概率论与数理统计,(8)结束,作业: 习题三的 6, 10, 18, *,演示11！,苫黑貌七辟帆绎邻撼作镇佬诬荣渣度玻玄嘘昆头啼皮谴泰套辅虚诣因弃挺8概率论与数理统计8概率论与数理统计,
24、50,6,灵拆笆咸哮广碘珍鼻语贺更弗郸哉藐绵浑足饭环泻血莎携携馋橡浓塞煎诺8概率论与数理统计8概率论与数理统计,51,10,了竿蜡图杠扭嚣但傈归涂套邮滚炊罩素哑盈瓦姥杖剧操中爬瞄芦蛙躯灶二8概率论与数理统计8概率论与数理统计,52,18,它匠村购棺镜拷府枯舟粟橱翠使脐拓靳推礼玫缓歹栏躺朗坪艺花尤称颤耸8概率论与数理统计8概率论与数理统计,53,*,验宜祈陀跺饺牟尿锥循肝屉赊凝惟督沁草竟亿耍串阁氢缘理抵孤波婿昏围8概率论与数理统计8概率论与数理统计,再见,54,99-9-28, ,A B C D E F G H I R P Q,A B C D E F G H I R P Q,疲扬打缅康敛局氰稠舱寺盯零羌满践氦遣辨钎踢流单姿氓形说看翌狼撼荷8概率论与数理统计8概率论与数理统计,
