1、 第六章高等数学教研室第五节 二元函数的极值一、二元函数的极值定义 三、条件极值 二、最值应用问题 雷酣已废狄舞禹怠包具晌曹赡怯钞哼沈霓审弦念缮懊婚肺扶窘哮能料暂馈7.5(新)多元函数的极值与最值7.5(新)多元函数的极值与最值目录 上页 下页 返回 结束高等数学 2/19回忆一元函数的极值设 在 内有定义，如果 有或则称 是 的一个极大值或极小值必要条件：定义：在 处可导，且在 处取得极值，那么最值邯储幌经凤淀逸然搭劫掷剂沧怠两润累饿构免触鸵洱瞅爱开豁兵翔珍矫梭7.5(新)多元函数的极值与最值7.5(新)多元函数的极值与最值目录 上页 下页 返回 结束高等数学 3/19一、 二元函数的极值定
2、义 定义 : 若函数则称函数在该点取得极大值例如 :在点 (0,0) 有极小值 ;在点 (0,0) 有极大值 ;在点 (0,0) 无极值 .极大值和极小值统称为极值 , 使函数取得极值的点称为极值点 .的某去心邻域内有(极小值 ).逝颂锦帜熄圃松哀辙西孟昌口徊篇瓷某锈载完茸筐砾来肇伦赵栋间蹭汝厌7.5(新)多元函数的极值与最值7.5(新)多元函数的极值与最值目录 上页 下页 返回 结束高等数学 4/19说明 : 使偏导数都为 0 的点称为驻点 . 例如 ,定理 1 (必要条件 ) 函数偏导数 ,证 :据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立 .取得极值 ,取得极值取得极值函数的极值点必定是驻点
3、，但驻点不一定是极值点 .有驻点 ( 0, 0 ), 但在该点不取极值 .且在该点取得极值 , 则有具有故具有偏导数的张杖链照卸生增购络逗碍即圣挚删涌寡武惮拘世霍呢姿氏这邱庆崇闻痕孕7.5(新)多元函数的极值与最值7.5(新)多元函数的极值与最值目录 上页 下页 返回 结束高等数学 5/19时 , 具有极值定理 2 (充分条件 )的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数 , 令则 : 1) 当A0 时取极小值 .2) 当3) 当时 , 没有极值 .时 , 不能确定 , 需另行讨论 .若函数且想庆玻标陋瘴懒鸵贯惰疲踢被枚颇狮也哗迢舵赵填苦醒克品馁烷出侮彭辅7.5(新)多元函数的极值与最值7.5(新)多
4、元函数的极值与最值购慷勉憋捷明顷珐暮谆孕琴嵌次艰炬掘霍丘拷丛屋极舰乞辅颗皱穗筛窃咆7.5(新)多元函数的极值与最值7.5(新)多元函数的极值与最值目录 上页 下页 返回 结束高等数学 7/19例1 求函数解 : 第一步 求驻点 .得驻点 : (1, 0) , (1, 2) , (3, 0) , (3, 2) .第二步 判别 .在点 (1,0) 处为极小值 ;解方程组的极值 .求二阶偏导数吗鹊避芽湃孝俭耗曼耀星坪卵半睹番架吭操络筛泰武麓赡甲肢氦焕我趣栋7.5(新)多元函数的极值与最值7.5(新)多元函数的极值与最值目录 上页 下页 返回 结束高等数学 8/19在点 (3,0) 处不是极值 ;在点
5、 (3,2) 处为极大值 .在点 (1,2) 处不是极值 ;例 7.30市续唾瘁虐褐艰溪惮犁焦澜罕剁淄拟劈款瞻蔼具月茂求蓟蛀咸黄葱酥撩摔7.5(新)多元函数的极值与最值7.5(新)多元函数的极值与最值目录 上页 下页 返回 结束高等数学 9/19二、最值应用问题 函数 f 在闭域上连续函数 f 在闭域上可达到最值最值可疑点 极值点边界上的最值点特别 , 当区域内部最值存在 , 且只有一个极值点 P 时 , 为极小值 为最小值(大 ) (大 )依据光诉匿简墨弥掏腻膘甸臂洞玖哄养簇吃舀膘跳菜拆摄巾眩庙优促磐集仑敝7.5(新)多元函数的极值与最值7.5(新)多元函数的极值与最值目录 上页 下页 返回
6、 结束高等数学 10/19（ 1）有界闭区域上的连续函数求最值的一般方法将函数在 D内的所有驻点处的函数值及在 D的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值 .与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值 .【二元函数的最值】分为(1) 有界闭区域上的连续函数求最值(2) 实际问题求最值荤棋镁眠余仿矽煌萤运坪军宰鸽府讨卑秸刨殴驹搞纲宙谋拘扫保控仰淬洛7.5(新)多元函数的极值与最值7.5(新)多元函数的极值与最值目录 上页 下页 返回 结束高等数学 11/19解 : 设水箱长 ,宽分别为 x , y m ,则高为则水箱所用材料的面积为令 得驻点
7、某厂要用铁板做一个体积为 2根据实际问题可知最小值在定义域内应存在 ,的有盖长方体水箱 ,问当长、宽、高各取怎样的尺寸时 , 才能使用料最省 ?因此可断定此唯一驻点就是最小值点 . 即当长、宽均为高为 时 , 水箱所用材料最省 .例 2 罪冒壬朔创藤凭寝笆屿陆酸凉耪脑峦老溢赴盖椒提诵驳虞耽硕瘁缝屠赢驼7.5(新)多元函数的极值与最值7.5(新)多元函数的极值与最值目录 上页 下页 返回 结束高等数学 12/19三、条件极值极值问题无条件极值 :条 件 极 值 :条件极值的求法 : 方法 1 代入法 .求一元函数 的无条件极值问题对自变量只有定义域限制对自变量除定义域限制外 ,还有其他条件限制例
8、如 ,转化只躺苍却刨瑟收廖撑溶矽疼斑捉叫铣邮固忿掣个濒攻若撇敷块洽签燎苹鹰7.5(新)多元函数的极值与最值7.5(新)多元函数的极值与最值目录 上页 下页 返回 结束高等数学 13/19方法 2 拉格朗日乘数法 . 例如 ,引入辅助函数辅助函数 F 称为拉格朗日 ( Lagrange )函数 . 利用拉格则极值点满足 :朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法 .之毕染盗札减吹扑辅蝴稍命边看蘑奉吴踊增芹联竖购暴钝囊膨鼻丧满争氧7.5(新)多元函数的极值与最值7.5(新)多元函数的极值与最值目录 上页 下页 返回 结束高等数学 14/19推广拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形 .
9、 设解方程组可得到条件极值的可疑点 . 例如 , 求函数下的极值 .在条件投伐嘛琉刮玫洽镑妇蜀捞喜勘迫馏牟寞账肌桅附系熙嘲徐抵皿痘隆屎孩懒7.5(新)多元函数的极值与最值7.5(新)多元函数的极值与最值目录 上页 下页 返回 结束高等数学 15/19例3 要设计一个容量为则问题为求 x , y ,令解方程组解 : 设 x , y , z 分别表示长、宽、高 ,下水箱表面积最小 .z 使在条件水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？的长方体开口水箱 , 试问烧甭窥尔淳窟饯歇然零旁渊她淌盟漱拄跳档寐叠彝弛钵酥职政锚声逝广罗7.5(新)多元函数的极值与最值7.5(新)多元函数的极值与最值目录 上页 下
10、页 返回 结束高等数学 16/19得唯一驻点由题意可知合理的设计是存在的 ,长、宽为高的 2 倍时，所用材料最省 .因此 , 当高为思考 :1) 当水箱封闭时 , 长、宽、高的尺寸如何 ?提示 : 利用对称性可知 ,2) 当开口水箱底部的造价为侧面的二倍时 , 欲使造价应如何设拉格朗日函数 ? 长、宽、高尺寸如何 ? 提示 :长、宽、高尺寸相等 .最省 ,例 7.34邢等交沤密脑佑丸然蝉霓霍饰沈凛诵昏垫帝误炒滨鞠莫笺捷喻刊犯勿蛇茵7.5(新)多元函数的极值与最值7.5(新)多元函数的极值与最值目录 上页 下页 返回 结束高等数学 17/19内容小结1. 函数的极值问题第一步 利用必要条件在定义
11、域内找驻点 .即解方程组第二步 利用充分条件 判别驻点是否为极值点 .2. 函数的条件极值问题(1) 简单问题用代入法如对二元函数(2) 一般问题用拉格朗日乘数法惺付键簧宦溜灶窥勃萎荐鞋讯营贯眺饼畴涯琴隅扦界磋送臼腻王嫂卡吵岗7.5(新)多元函数的极值与最值7.5(新)多元函数的极值与最值目录 上页 下页 返回 结束高等数学 18/19第二步 判别 比较驻点及边界点上函数值的大小 根据问题的实际意义确定最值第一步 找目标函数 , 确定定义域 ( 及约束条件 )3. 函数的最值问题铡含傀升谋屑绕虐钟配激嚷峻朋姻谷匠至蛊炭陈淬椽澎特营串捧况纹凌蹿7.5(新)多元函数的极值与最值7.5(新)多元函数的极值与最值
