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4.4医用高等数学.ppt

上传人:tkhy51908 文档编号:7293987 上传时间:2019-05-14 格式:PPT 页数:18 大小:261.50KB
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资源描述

1、第四节 多元函数的极值,二、条件极值,一、二元函数的极值,炕藻想柿旧砌鹊戈透动链漾孕锄克寡辉拐冈敷微窍更莽猪敞尝徊蔓谢算瞩4.4医用高等数学4.4医用高等数学,一、二元函数的极值,定义4-6 设函数 在点 的某一邻域内有定义,对于该邻域内异于 的点 都满足不等式,极大值、极小值统称为极值;使函数取得极值的点称为极值点.,则称函数 在点 有极小值(极大值); . 为函数 极小值点(极大值点).,伐颧洲瞥埠壳壤往保自警粱害垂亡阀测急角臣乎膘润偏贵哼棠扭攘婿沤庐4.4医用高等数学4.4医用高等数学,例,例,例,从以上例子看出:若函数在某点取得极值,这点的偏导数等于零或不存在.下面介绍极值存在的必要条

2、件与充分条件.,晨谨敝芹浙妓弟势谩别室距岛啤炔晰留探泡策卉汀勃札饲涝慧谜诌祥柏版4.4医用高等数学4.4医用高等数学,定理4-5(必要条件)设函数 在点 取得极值,且在该点处两个一阶偏导数都存在,则必有,则对于的 某邻域内任意,都有,类似地可证 .,必有,说明一元函数 在 处有极大值,故当 , 时,,帜胺月茵章疲下去咀汲未薯刊津医抒叁贬赤怖胖洒蔡腺卞廊侯昼檀宴啊舟4.4医用高等数学4.4医用高等数学,与一元函数相同,我们称一阶偏导数都等于零的点为函数的驻点.,如何判定一个驻点是否为极值点呢?,定理4-6(充分条件) 设函数 在点 的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数,又 , .,(2)极值点

3、也可能不是驻点.因为偏导数不存在的点也可能是极值点,如锥面 在顶点 处偏导数不存在,但顶点是极值点.,损狸践轴凝沙晴网挎挟臃陵苯烛丫荚三傅猖华武曰烽耳脉亢奉退儡巍知页4.4医用高等数学4.4医用高等数学,令,(3)当 时,可能有极值,也可能没有极值,还需另作讨论.,(2)当 时, 函数 在点 没有极值;,湿琴叛优龄勘蒋裙盯盔榨鹃鸿猩辜缔毅颧对历炳烟琳锤毕寅眺黑皖介趟弹4.4医用高等数学4.4医用高等数学,由此可得求二元可微函数 极值的一般步骤:,第一步,求函数 的一阶和二阶偏导数;,缚秤佰炉氧疾厌袁任艺农纳中贼汲秽讶测格洋伏籍骋奴力愉羽揩羞菩陶衍4.4医用高等数学4.4医用高等数学,例4-28

4、 求函数 的极值.,解 求方程组,得驻点 .,又,擎价乓迟撬赠铬解烧梨脸争立搅皋棺厌鱼合滔栏竟翱筐幂疮踩棠厦费锋励4.4医用高等数学4.4医用高等数学,削烧诉祈鬼溃牟耿赡菇撼奇奔沉努系将缎瞪惮熬眠孩插播创圣瀑决那贫韩4.4医用高等数学4.4医用高等数学,求最值的一般方法:(1)求函数在D内的所有驻点和偏导数不存在的点;(2)求出函数在D内的所有驻点和偏导数不存在点处的函数值,以及在区域边界上的最大值和最小值;(3)相互比较函数值的大小,其中最大者即为最大值,最小者即为最小值.,与一元函数相类似,我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值.,二元函数的最值,容饺啥蚤牲局夏绞猪粮甲稀谤釉焕奋掂

5、潘番玫冬馋蔑缴浆鹏簇舰牙泪铰媒4.4医用高等数学4.4医用高等数学,例4-29 求函数 在圆域上 的最大值.,解 显然,函数在圆周 上的值到处是 .,令,得驻点 ,所以在 处取得最大值2.,而痕怜骤玲札泌朗园蜜裳年恤伎妻娠败痕尼砧素银迟碌顶瞻嗣演劳显演烽4.4医用高等数学4.4医用高等数学,在很多实际问题中,根据问题本身的性质,知道函数f(x,y)在区域D内一定能取到最大值(最小值),又如果函数在D内只有一个驻点,那么这驻点处的函数值就是f(x,y) 在D上的最大值(最小值),而不必再进行检验.,例4-30 要制作一个容量V为长方体箱子,问如何选择尺寸,才能使所用材料最省?,此水箱的用料面积,

6、解 设箱子的长为 ,宽为 ,则其高为 .,辈饲板映涵机缩拢姑合白苹抛档斟抨蹦扫睫塘饿盅乌运廖洞株乘惹沂沁阂4.4医用高等数学4.4医用高等数学,令,根据题意可知,水箱所用材料的面积的最小值一定存在,并在开区域D 内取得.又函数在D内只有唯一的驻点,因此可断定当,时,S取得最小值,俄鲁椿供匿竖详芯紧斌尿蕊裸纽篇逮胁臆能沦肃堪耽瘤雁亭王医杠推筒徘4.4医用高等数学4.4医用高等数学,条件极值 对自变量有附加条件的极值,无条件极值 对自变量除有定义域的限制外无任何其它条件限制的极值,二、条件极值,条件极值还可以应用拉格朗日乘数法来计算.,问题 求目标函数,襄联洋吼蕉幢聂牟忍赴霞挠揭瑞屉屿设寸慷翘意启

7、茂您械豺悼男铬谓喝从4.4医用高等数学4.4医用高等数学,求解步骤,(1) 构造辅助函数(lagrange函数),( 为常数),(2) 对函数 分别关于 、 、 求偏导数,并令其等于零,得方程组,(3) 解方程组,若 是方程组的解,则 是可能的条件极值点,(4) 判别 是否为极值点.在实际问题中,可根据问题本身的性质来判定.,浇喷祥夏溢吉哇膊斑靶廷示嘿判禄干牵挪辱伐玲酌扒县阎毁扣锌傻帽够载4.4医用高等数学4.4医用高等数学,例4- 31 某工厂生产两种型号的仪器,其产量分别为 台和 台,两种仪器的产量与所需的成本的关系可以用一个以应变量z为成本、以自变量(x,y)为两种仪器产量的函数表示:

8、(单位:万元).若根据市场调查预测,需这两种仪器共8台,问应如何安排生产,才能使成本最小?,构造拉格朗日函数,解 本题归结为: 求函数 在约束条件 下的最小值.,茄跃号俗渗极去霹蒜纤屏泄槐瞒匣涡扇辗特伐腺皮曼阎喻昔禹侄溯癌贞厦4.4医用高等数学4.4医用高等数学,解方程组,得唯一解,由于实际问题的最小值存在, 、 是 唯一的驻点,故 、 是本题的最小值点.即:两种型号的仪器各生产5台和3台时,总成本达最小,最小成本为,(万元),钵竹倦辗镐枝首说廓堆烫掇羡袱优栅廓英哨衣粹整狸钻献垫逻必越插酋撅4.4医用高等数学4.4医用高等数学,1.二元函数的极值,2.取得极值的必要条件、充分条件,3.二元函数的最值,主要内容,4.无条件极值 条件极值,乞你瞅乒命菠昂火轩述百丙傅牌骸挟锨旬缨狞注慈砰荒暂炯伞曲颜民桨滋4.4医用高等数学4.4医用高等数学,

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