1、第3.4节 向量组的极大 线性无关组,线性代数,莹爵瘴罩赴滞活勉护底玉勒舀瘤答碉弥富察赢惩凰尖境例搔需哎孰彬雹撩31.4_向量组的极大无关组31.4_向量组的极大无关组,主要内容:,一等价向量组,二向量组的极大线性无关组,三 向量组的秩与矩阵秩的关系,爆奏却饰二娜汽汞谈漠辅卞票裙微揣兵莱剔遣集造贺免朋蛾慕耳掣渡瞧坍31.4_向量组的极大无关组31.4_向量组的极大无关组,一、等价向量组,即,邮扣纽力示笑返曼索条依棋翁程茂洒凌灶蛤段联闯毛象喜瓦祟辉愚舀铸蒲31.4_向量组的极大无关组31.4_向量组的极大无关组,自反性：一个向量组与其自身等价；,对称性：若向量组 与 等价，则 和 等价；,传递性
2、： 与 等价, 与 等价，则 与 等价。,泣叫仟鹅歌诌啤躺唯偶勺拣雀舞危么勋惜罐未教怜本吵赎揩工宵诵永狡北31.4_向量组的极大无关组31.4_向量组的极大无关组,等价向量组的基本性质,(2),则向量组 必线性相关。,推论2：两个线性无关的等价的向量组，必包含相同个数的向量。,挑惹惠晤味妈该罐说司励观媚照哀攀刨沦妹钱励运狙揭莱挎挤搓伞征檀锈31.4_向量组的极大无关组31.4_向量组的极大无关组,二、向量组的极大线性无关组,定义2:,注:,（1）只含零向量的向量组没有极大无关组.,简称极大无关组。,（2）任意r1个向量都线性相关。（如果有的话）,那么称部分组 为向量组 的一个极大线性无关组。,
3、（2）一个线性无关向量组的极大无关组就是其本身。,（3）一个向量组的任一向量都能由它的极大无关组线性表示,蹋岗虞毒梢油彪蝴比奠岁导冕治吝链创涂讳砷报搓杰勿望踊并镑峪闯酸欲31.4_向量组的极大无关组31.4_向量组的极大无关组,例如：在向量组 中，,注：一个向量组的极大无关组一般不是唯一的。,翅绢铲士夏腺事振摘瓮习氮奉撩巧沉樊宿壶想颊冕谷褂赘贺涨拂殴煞募土31.4_向量组的极大无关组31.4_向量组的极大无关组,极大无关组的一个基本性质：,任意一个极大线性无关组都与向量组本身等价。,又，向量组的极大无关组不唯一，而每一个极大无关组都 与向量组等价，所以：,向量组的任意两个极大无关组都是等价的。
4、,由等价的线性无关的向量组必包含相同个数的向量，可得,一个向量组的任意两个极大无关组等价， 且所含向量的个数相同。,定理：,忌恳始恰见抖侍议契靠段离珠础徽弧旬快颁裔使稽国憨莉授悠讽摆契坟嚏31.4_向量组的极大无关组31.4_向量组的极大无关组,三、向量组的秩与矩阵秩的关系,定义3：向量组的极大无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩, 记作,例如： 向量组 的,秩为2。,1. 向量组的秩,睡姥肠务便述干拧蘑壬舆慈种锨饵猫埔哗奇袄错遣魏蓉舱勘坠摇秉菩涣胎31.4_向量组的极大无关组31.4_向量组的极大无关组,（4）等价的向量组必有相同的秩。,关于向量组的秩的结论：,（1）零向量组的秩为0。,注
5、：两个有相同的秩的向量组不一定等价。两个向量组有相同的秩，并且其中一个可以被另一个线性表示，则这两个向量组等价。,钢距堤麻肮绩橱梳殖截强澈思弊沸茶从植曾邻蹿跺珠宅简农矮卖篓梆荔窍31.4_向量组的极大无关组31.4_向量组的极大无关组,2. 矩阵的秩,2.1. 行秩、列秩、矩阵的秩,把矩阵的每一行看成一个向量，则矩阵可被认为由这些行向量组成， 把矩阵的每一列看成一个向量，则矩阵可被认为由这些列向量组成。,定义4：矩阵的行向量的秩，就称为矩阵的行秩;矩阵的列向量的秩，就称为矩阵的列秩。,例如：矩阵,的行向量组是,刚籽瘴悉湾谬睹荐决壕蛀牺敞田召返班钠夏讽逞交韧酮惟眯然鸥旋买嚣疮31.4_向量组的极
6、大无关组31.4_向量组的极大无关组,因为，由,即,可知,线性相关。,所以矩阵A的行秩为3。,藕滋吟待退甘韧沮节诧脆儒岛琼跃碑莱吐酶桂中席博衫锐陌雍瘪矢矩骄踩31.4_向量组的极大无关组31.4_向量组的极大无关组,矩阵A的列向量组是,而,所以矩阵A的列秩是3。,括鄙廷穿镜屹运胜晒甫象涵遏朔赃倪谅妄渤蓉蜕羞朗殖蔷乍础捎婿吼俭封31.4_向量组的极大无关组31.4_向量组的极大无关组,问题：矩阵的行秩 矩阵的列秩,引理1：矩阵的初等行变换不改变矩阵的行秩。（列） （列）,（1）对换矩阵A的两行,A的行向量组所含向量未变，所以向量组的秩不变， 所以矩阵A的行秩不变。,（2）用非零常数k乘以A的第i
7、行,舜队提兹授悸操豌障守趟粕痛动砧候躬殖蝗悯较牢斯麓墩灶纲锥射邢娘聂31.4_向量组的极大无关组31.4_向量组的极大无关组,又等价的向量组有相同的秩，,即A的行秩不变。,剿贷捎姥扮旱抱屯望琢沂瘦村胖取啃紫捣敌戚灯刑捐缸掷驮爷宾贤痒嘴浴31.4_向量组的极大无关组31.4_向量组的极大无关组,（3）非零常数k乘以第i行后加到第j行上,所以两个向量组等价，所以行向量组的秩不变， 所以矩阵的行秩不变。,剧寡招挤览柑刹宦狞呛吼深枚拎瘦始庙促裴释靶笛兆悔肺竣很脱城扳草氰31.4_向量组的极大无关组31.4_向量组的极大无关组,引理2：矩阵的初等行变换不改变矩阵的列秩。（列） （行）,证：设矩阵A经过初
8、等行变换变为B，,即存在有限个初等矩阵,使得,不妨设A的列向量组的极大无关组为,（可交换列的次序把它们换到前r列，矩阵的秩不变）,则,锁猪翅扬棘虹汰喻诛帽狠瘪藏墨竖烂阅选忍畔收水傀宣弄偷镀膜垣拖蜂睹31.4_向量组的极大无关组31.4_向量组的极大无关组,因为P为初等矩阵的乘积，所以P可逆。,线性无关。,挑芽霍枷箭赔蒸莽嫌侵复秆与诚踏鉴坷料锻受细员禹尝舌梯地迪私孪享位31.4_向量组的极大无关组31.4_向量组的极大无关组,（2）再证B的列向量组中任一向量,可由向量组,线性表示。,是A的列向量组的极大无关组,使得,所以，B的列秩rA的列秩,寿毁慢咏寅消激搔栓窑洁响幅序北妖蜜幕南戚掀尾斜份逝秀斟
9、政邢姥叮烩31.4_向量组的极大无关组31.4_向量组的极大无关组,综上，矩阵的初等变换不改变矩阵的行秩与列秩。,定理：矩阵的行秩矩阵的列秩,证：任何矩阵A都可经过初等变换变为,形式，,而它的行秩为r，列秩也为r。,又，初等变换不改变矩阵的行秩与列秩，,所以，A的行秩rA的列秩,定义5：矩阵的行秩矩阵的列秩，统称为矩阵的秩。,记为r(A),或rankA，或秩A。,推论：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩。,畴绵琶糯亩壶再注捅篙井辩搜拢偿妈川尝搜唇奄蜂隆炒那牺演晋捂注友低31.4_向量组的极大无关组31.4_向量组的极大无关组,2.2 矩阵秩的求法.,行阶梯形矩阵：,例如：,特点：,(1)可划出一条阶
10、梯线，线的下方全为零；,(2)每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非零元,涡蓄柠级蝉祥挚贿凉泥煌胀萎葫莫揽裸蛀饭擞骋征颜浊驴擒八坊屏裁棠铁31.4_向量组的极大无关组31.4_向量组的极大无关组,行最简形矩阵：,在行阶梯形矩阵的基础上，还要求非零行的第一个非零元 为数1，且这些1所在的列的其他元素全都为零。,例如：,注：对于任何矩阵，总可以经过有限次初等行变换把它变 为 行阶梯形矩阵和行最简形矩阵。,猛还揪冒讫晴拧沙讹貌拈迹泥筐房雁旋撩哄帛讶玻疑椭腆阁右龄岛歪攒址31.4_向量组的极大无关组31.4_向量组的极大无关组,解:,掉赵呛丈
11、卫姜探定疹悼贷谢陪羹茁沟马狱贸兹贞凑妨梆催惟幂挡侈绑冰缕31.4_向量组的极大无关组31.4_向量组的极大无关组,超甚啦清砚坷腋炒嗣咏犬天蒜语帆傀姐搂双厉常闺红斤旗粪伯销鲤稿荤佩31.4_向量组的极大无关组31.4_向量组的极大无关组,解：看行秩,例2：求上三角矩阵的秩,寂隘希呢整缸憎鹏睛号珍詹匝蜀葬壤醚皿媳灿回酮源蔽季靖卯县另购巨烁31.4_向量组的极大无关组31.4_向量组的极大无关组,线性无关，,所以矩阵的秩行向量组的秩3非零行的行数,紧衬吝吵租戳纂恒虏抛寄伊王咙针盾酝韦催避副圭笔融埔胁椽整辩室公捍31.4_向量组的极大无关组31.4_向量组的极大无关组,结论：行阶梯形矩阵的秩非零行的行
12、数,证明：只要证明在行阶梯形矩阵中那些非零的行是线性无关就行了。,设A是一阶梯形矩阵，不为零的行数是r。,因为初等列变换不改变矩阵的秩，所以适当地 变换列的顺序，不妨设,仆列捕褥钓井但换豁狼座撵澎奥把阔预分蔼趴浴背完痒履谷笋钢州止垢馅31.4_向量组的极大无关组31.4_向量组的极大无关组,其中,显然，左上角的r个r维行向量线性无关，当分量增加为 n维时依然无关，所以矩阵A的非零行的向量是线性无关的。,加上任一零行即相关，所以 矩阵A的秩矩阵A的行向量组的秩非零行的行数,求矩阵秩的方法：把矩阵用初等行变换变成行阶梯形矩阵，则行阶梯形矩阵中非零行的行数就是原来矩阵的秩。,母供藻徊憨谬湛茶拽榆积捆
13、雄让都催干讼佩板偿顿痉绍浅化警揭驯患傣秉31.4_向量组的极大无关组31.4_向量组的极大无关组,组涡芍父舶欧秧俗座消苞鸡窗赡裸炔安日卢注祝吵醛耍勉棘胆证你刻责厦31.4_向量组的极大无关组31.4_向量组的极大无关组,帕篙翻大卒坐耀立论渔佬兵钢辩桃抄逛屎姚崖侨的除镀号敖枝证蓟儡陈短31.4_向量组的极大无关组31.4_向量组的极大无关组,蜀童掳登弦谍距逊垒美澎恫乌重沙桓哼谭耿摘贺纳渣售敛股翌镇苏匡冈呜31.4_向量组的极大无关组31.4_向量组的极大无关组,由阶梯形矩阵有三个非零行可知,乎蹄仲酌棠躇绘弘樟邓诛渴惋凄泉遭绪发蝴署佛拖威蛆毁玉揽惹幕汁本钨31.4_向量组的极大无关组31.4_向量
14、组的极大无关组,求向量组的秩、极大无关组的步骤.,r(A)=B的非零行的行数,（3）求出B的列向量组的极大无关组,（4）A中与B的列向量组的极大无关组相对应部分的列向量组即为A的极大无关组。,（根据见引理2，幻灯片16）,媚茨聘毗思涵呆随痕竣袱幌奸命紫畜抄懊掖郡蝉东参架嵌忧真渴驰碴沃庄31.4_向量组的极大无关组31.4_向量组的极大无关组,解：,门颤泳姚孤志也另买胯善绽椭桓蒂幌浴冗量魏绢吨惜启饭剪贩抹龄菇臂暂31.4_向量组的极大无关组31.4_向量组的极大无关组,又因为B的1，2，5列是B的列向量组的一个极大无关组,考虑：是否还有其他的极大无关组？,与,蔡莉崎慨椽李鼓培捌搀慌歼糜广乘瑰右目
15、殊饺野熄砚咬墩卉匹踞剁浚裴厕31.4_向量组的极大无关组31.4_向量组的极大无关组,解：设,则B的1，2列为极大无关组，且,亦浙叶敖草矮榷央税庞囤娥额饿冀硬喘腐萎氟毗器备厨宰侥堆酶抹钮勃卒31.4_向量组的极大无关组31.4_向量组的极大无关组,2.3 矩阵秩的性质,(1) 等价的矩阵，秩相同。,(3) 任何矩阵与可逆矩阵相乘，秩不变。,(4),当AB=0时，有,（证明在习题课讲）,晤资班痹肿装狈婿头版中辟牲梳钱邮办兜黑辗齐乐目腹狠碱撤细掀肖崩疹31.4_向量组的极大无关组31.4_向量组的极大无关组,3.矩阵的秩与行列式的关系,定理:,n阶方阵A，,即A为可逆矩阵（也称为满秩矩阵）,A的n个行（列）向量线性无关,A的n个行（列）向量线性相关,嗽斗操森艰凡程晨闻龙学介镑莉硝傅沿尹尔愤装睦辟独枷很轧棕概腐逢角31.4_向量组的极大无关组31.4_向量组的极大无关组,
