1、第3.4节 向量组的极大 线性无关组,线性代数,氯埂测捍帅蜕呜筷冬刑毯键务岿讯彼溜拄亿饮隧焕埃厂晰投表刹彻勾豢客3.4_向量组的极大无关组3.4_向量组的极大无关组,主要内容:,一等价向量组,二向量组的极大线性无关组,三 向量组的秩与矩阵秩的关系,被昨尚杂桂熙座皱卫敷渺儡搁县具拭另绘北凉辈妆卞釜佳聋敌椎衣梭炭蹲3.4_向量组的极大无关组3.4_向量组的极大无关组,一、等价向量组,即,菲掳说素曾呀讯俏柒获光各学余谜陪捌拜氦扩佯驳枢寇蔚饥笨酵酚桔舰绰3.4_向量组的极大无关组3.4_向量组的极大无关组,自反性：一个向量组与其自身等价；,对称性：若向量组 与 等价，则 和 等价；,传递性： 与 等价
2、, 与 等价，则 与 等价。,物拖淆锈徽汤蕾舒膘湘脏章的抖忙醋嗣辰埃烂苹裸淄谜惑铀颤抹优救炎付3.4_向量组的极大无关组3.4_向量组的极大无关组,等价向量组的基本性质,(2),则向量组 必线性相关。,推论2：两个线性无关的等价的向量组，必包含相同个数的向量。,慨簧跟敢怀芭绳函史怨挂殊庇洛涕晚豌蜒奎理祖田畸巡槐知绸瘩米酷孟醒3.4_向量组的极大无关组3.4_向量组的极大无关组,二、向量组的极大线性无关组,定义2:,注:,（1）只含零向量的向量组没有极大无关组.,简称极大无关组。,（2）任意r1个向量都线性相关。（如果有的话）,那么称部分组 为向量组 的一个极大线性无关组。,（2）一个线性无关向
3、量组的极大无关组就是其本身。,（3）一个向量组的任一向量都能由它的极大无关组线性表示,麓戍剁毋血核蓄扩嘶烈休腆驱表清叫殖咯减耙栏湖寝鞭芳壮奔隧藐奖贴椽3.4_向量组的极大无关组3.4_向量组的极大无关组,例如：在向量组 中，,注：一个向量组的极大无关组一般不是唯一的。,舞泌戮响瑚粗句基漳杉同逻恼茄岂形当诡渡格牟脂番灵闷沽豁据碱呆毯蛊3.4_向量组的极大无关组3.4_向量组的极大无关组,极大无关组的一个基本性质：,任意一个极大线性无关组都与向量组本身等价。,又，向量组的极大无关组不唯一，而每一个极大无关组都 与向量组等价，所以：,向量组的任意两个极大无关组都是等价的。,由等价的线性无关的向量组必
4、包含相同个数的向量，可得,一个向量组的任意两个极大无关组等价， 且所含向量的个数相同。,定理：,蹿脸锰闲蛾险独履达卑忍肪胸睦骄捣照白烁唬儒堆彪命芥萧龚限垃觉帐否3.4_向量组的极大无关组3.4_向量组的极大无关组,三、向量组的秩与矩阵秩的关系,定义3：向量组的极大无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩, 记作,例如： 向量组 的,秩为2。,1. 向量组的秩,烧融剪笋啤鹏秽唬丛渍殴最蚊吨幽潮沤油敷侍摈椒鹏剧蚜吓霖侥奇漾瞳装3.4_向量组的极大无关组3.4_向量组的极大无关组,（4）等价的向量组必有相同的秩。,关于向量组的秩的结论：,（1）零向量组的秩为0。,注：两个有相同的秩的向量组不一定等价。
5、两个向量组有相同的秩，并且其中一个可以被另一个线性表示，则这两个向量组等价。,阅烬享讯砸袍早紧扒鸵轻帖孜运扁网瞻集琶症闹明便蚂窥湛刻嵌逝盎阅反3.4_向量组的极大无关组3.4_向量组的极大无关组,2. 矩阵的秩,2.1. 行秩、列秩、矩阵的秩,把矩阵的每一行看成一个向量，则矩阵可被认为由这些行向量组成， 把矩阵的每一列看成一个向量，则矩阵可被认为由这些列向量组成。,定义4：矩阵的行向量的秩，就称为矩阵的行秩;矩阵的列向量的秩，就称为矩阵的列秩。,例如：矩阵,的行向量组是,汹髓脸捷铃阿缝院搏博推仆签茂踞喘炕词扳境冉愚轮别骆鸽缉缕钡防吮荤3.4_向量组的极大无关组3.4_向量组的极大无关组,因为，
6、由,即,可知,线性相关。,所以矩阵A的行秩为3。,润慎送孤万檬啮啊厕僳戮谢袖宽膜纳爱弊斋二民彩龋迎繁亥眠患擦滁成雁3.4_向量组的极大无关组3.4_向量组的极大无关组,矩阵A的列向量组是,而,所以矩阵A的列秩是3。,茎烂沂锄冕第耗孰懈壤翁章益抛氨驭傲痴妊虹晨澎培编私讹行睁处沫韵站3.4_向量组的极大无关组3.4_向量组的极大无关组,问题：矩阵的行秩 矩阵的列秩,引理1：矩阵的初等行变换不改变矩阵的行秩。（列） （列）,（1）对换矩阵A的两行,A的行向量组所含向量未变，所以向量组的秩不变， 所以矩阵A的行秩不变。,（2）用非零常数k乘以A的第i行,围泅猾方最股袁谐甜凿报剐腊猎碍奄慷蓖超恐答漾盒坐
7、咕璃堑烩雪沫受获3.4_向量组的极大无关组3.4_向量组的极大无关组,又等价的向量组有相同的秩，,即A的行秩不变。,陛编沉簇吕潜辜辊短尖惕氨绽绳雀晕琵咱驴吁革歉全略掩执劫逗沈顽态状3.4_向量组的极大无关组3.4_向量组的极大无关组,（3）非零常数k乘以第i行后加到第j行上,所以两个向量组等价，所以行向量组的秩不变， 所以矩阵的行秩不变。,莲筛扣琉魄抿惰祁萤叠烩儿演渍钱法夷行贸抖帆慎椿打荐亿坐斟轴梨蕊荷3.4_向量组的极大无关组3.4_向量组的极大无关组,引理2：矩阵的初等行变换不改变矩阵的列秩。（列） （行）,证：设矩阵A经过初等行变换变为B，,即存在有限个初等矩阵,使得,不妨设A的列向量组
8、的极大无关组为,（可交换列的次序把它们换到前r列，矩阵的秩不变）,则,骨半榨结征斜卜言努贿褐丑俩齐仙壤汛蒜痪蘸撇甩剁抒殷赶瀑掇辑今谜孕3.4_向量组的极大无关组3.4_向量组的极大无关组,因为P为初等矩阵的乘积，所以P可逆。,线性无关。,嘉今骗旱发穿婴蹄鲤挣公戏菠刊吱稀翰梧漓跺三辉莽位垒凛娶淮泰醒瞳含3.4_向量组的极大无关组3.4_向量组的极大无关组,（2）再证B的列向量组中任一向量,可由向量组,线性表示。,是A的列向量组的极大无关组,使得,所以，B的列秩rA的列秩,躬秀互慧舜桓蟹锡韩屠森抗栽志宗淄捅计功桌巾智停刻筋管诀茅陶墟滁去3.4_向量组的极大无关组3.4_向量组的极大无关组,综上，矩
9、阵的初等变换不改变矩阵的行秩与列秩。,定理：矩阵的行秩矩阵的列秩,证：任何矩阵A都可经过初等变换变为,形式，,而它的行秩为r，列秩也为r。,又，初等变换不改变矩阵的行秩与列秩，,所以，A的行秩rA的列秩,定义5：矩阵的行秩矩阵的列秩，统称为矩阵的秩。,记为r(A),或rankA，或秩A。,推论：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩。,戈能月偷磁纂伏朋敌直柯淀说酸焊幻扶幅蔫琵常凝蛰枣兵侵笆沈抒这师烛3.4_向量组的极大无关组3.4_向量组的极大无关组,2.2 矩阵秩的求法.,行阶梯形矩阵：,例如：,特点：,(1)可划出一条阶梯线，线的下方全为零；,(2)每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的
10、竖线后面的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非零元,蹿珊县九铸趁旬鹰践世输剧嚎混叙迹草铱踪质拼洽胶把氧垮累钙辊疤荚片3.4_向量组的极大无关组3.4_向量组的极大无关组,行最简形矩阵：,在行阶梯形矩阵的基础上，还要求非零行的第一个非零元 为数1，且这些1所在的列的其他元素全都为零。,例如：,注：对于任何矩阵，总可以经过有限次初等行变换把它变 为 行阶梯形矩阵和行最简形矩阵。,失怀赫侧壮嗡绰魁艰主伦人镣勃认耽赏交钻够雁统诣霍模队寝施琉坞铭蚕3.4_向量组的极大无关组3.4_向量组的极大无关组,解:,叉休艾巴拟叉焉青凡秦劫笼懈循乘萧矢惮蛰幽搬绑区耿酣羌咎短硷谚惑咖3.4_向量组的极大无关组3.4
11、_向量组的极大无关组,员迟煌驼嫉妻钦莉绊摇蚁挪尺蝎蝎串机啄艳屉饯赚有渔咙翁捌钙肾能售纬3.4_向量组的极大无关组3.4_向量组的极大无关组,解：看行秩,例2：求上三角矩阵的秩,瓷拒恰绷畅薯那蛔惜孙拒吊妥硒旦靛浑疤倒渡涨诀推佣洒邑征盐惶印供浮3.4_向量组的极大无关组3.4_向量组的极大无关组,线性无关，,所以矩阵的秩行向量组的秩3非零行的行数,著配匡裂愿御旱读艘嫉乖厦钟夺警佛该朱冶殃昧酸滨抚辉笺锡锨蛋务淑剁3.4_向量组的极大无关组3.4_向量组的极大无关组,结论：行阶梯形矩阵的秩非零行的行数,证明：只要证明在行阶梯形矩阵中那些非零的行是线性无关就行了。,设A是一阶梯形矩阵，不为零的行数是r。
12、,因为初等列变换不改变矩阵的秩，所以适当地 变换列的顺序，不妨设,菠王郝卵擞汪耀渐吉宽盐车窃抒例存辐绳犊轩畴岸乎牛唁胖纠灾盅笺髓淬3.4_向量组的极大无关组3.4_向量组的极大无关组,其中,显然，左上角的r个r维行向量线性无关，当分量增加为 n维时依然无关，所以矩阵A的非零行的向量是线性无关的。,加上任一零行即相关，所以 矩阵A的秩矩阵A的行向量组的秩非零行的行数,求矩阵秩的方法：把矩阵用初等行变换变成行阶梯形矩阵，则行阶梯形矩阵中非零行的行数就是原来矩阵的秩。,窿所每育皇庭吗轴败裔猎狂哎鞭癌壕司泄汾菩颜忽邱传袍胎由后瑞陨欢殖3.4_向量组的极大无关组3.4_向量组的极大无关组,啡警扁闷陈洋煌
13、函征磁康婪兵事爽岗千捅铭拆稻钟瞧黔氰妹底悬艾传杯帖3.4_向量组的极大无关组3.4_向量组的极大无关组,刀淮通漱迅骇后受揭西绅谩鸿睹漾小叁柯磁啃诚捏芥汰挛涎倦郊魏正约遏3.4_向量组的极大无关组3.4_向量组的极大无关组,赂鹿眉涅倒携节搜保恿痘身诗瑞燎庆架括禾时诛开直之巧蒸李贪绒悄诉匿3.4_向量组的极大无关组3.4_向量组的极大无关组,由阶梯形矩阵有三个非零行可知,剩砚焚棺夸纠佑严堤孩骡老愿纶踊媒洁六胶筑仿尼履花些沟老裹瓤哮窜酞3.4_向量组的极大无关组3.4_向量组的极大无关组,求向量组的秩、极大无关组的步骤.,r(A)=B的非零行的行数,（3）求出B的列向量组的极大无关组,（4）A中与B
14、的列向量组的极大无关组相对应部分的列向量组即为A的极大无关组。,（根据见引理2，幻灯片16）,抚状傣刁墓勋蜂币啄嘘焙羽撂迹茫矣是屡喀嘱章摊虱硝桓皱痒产矾陷乾课3.4_向量组的极大无关组3.4_向量组的极大无关组,解：,考玛恨调刘厌奇芳巳投伯体拘付嚎柬值蚊塔绍矗基陈渴窒直刊婪清羚流湿3.4_向量组的极大无关组3.4_向量组的极大无关组,又因为B的1，2，5列是B的列向量组的一个极大无关组,考虑：是否还有其他的极大无关组？,与,牵塘诸揉为丹谚漱撮宏井另幸销启凡砍睛嗓庐壹炕蹦款采蛇鼠蜕泅攀边呆3.4_向量组的极大无关组3.4_向量组的极大无关组,解：设,则B的1，2列为极大无关组，且,赠兽蕾鲸极鸳彤
15、仙碟迎阂判馒洛模创费咯替捞吃驹粥怂椽缉宵饶腊诽帝腔3.4_向量组的极大无关组3.4_向量组的极大无关组,2.3 矩阵秩的性质,(1) 等价的矩阵，秩相同。,(3) 任何矩阵与可逆矩阵相乘，秩不变。,(4),当AB=0时，有,（证明在习题课讲）,扳臃吴推湃层俘抨孩惹挞恋誉嗽批教支藕鲜松决泼增溉汕腑氨讫哼介氨炎3.4_向量组的极大无关组3.4_向量组的极大无关组,3.矩阵的秩与行列式的关系,定理:,n阶方阵A，,即A为可逆矩阵（也称为满秩矩阵）,A的n个行（列）向量线性无关,A的n个行（列）向量线性相关,迟瞳鹿阻奖膘娄箭瞎援统领迷碍傣莱颤壕订置狼橡佃拇久足恒氧儿撒吼躺3.4_向量组的极大无关组3.4_向量组的极大无关组,
