1、2019年5月14日12时2分,Deren Chen, Zhejiang Univ.,1,1.2 命题演算Propositional Equivalences,猪订错忻卷屏咏桂凹奏狱署曝撒诬谗霓肪妹猪妊涡舰任悟啤卑札犊乓个孺1.2 命题演算1.2 命题演算,2019年5月14日12时2分,Deren Chen, Zhejiang Univ.,2,1、命题(Proposition) 2、从简单命题(atomic proposition)到复合命题(compositional proposition) 3、从命题常量(propositional constant)到命题变量(proposition
2、al variable) 4、从复合命题(compositional proposition)到命题公式(propositional formulas),慈丹归冰捷踞欲晤冈疤耀拣到毁蔑寝完舶羌具原畅酋酚绊蚊妥帧唇御蒙裂1.2 命题演算1.2 命题演算,2019年5月14日12时2分,Deren Chen, Zhejiang Univ.,3,永真命题公式（Tautology） 公式中的命题变量无论怎样代入，公式对应的真值恒为T。 永假命题公式（Contradiction) 公式中的命题变量无论怎样代入，公式对应的真值恒为F。可满足命题公式（Satisfaction） 公式中的命题变量无论怎样代入
3、，公式对应的真值总有一种情况为T。 一般命题公式（Contingency） 既不是永真公式也不是永假公式。,民品氰潞仇锁咒泻索虐规林鞍尿摇饿族额粟但崎伎的洲诚亲劲早例故官扩1.2 命题演算1.2 命题演算,2019年5月14日12时2分,Deren Chen, Zhejiang Univ.,4,EXAMPLE 1,We can construct examples of tautologies and contradictions using just one proposition. Consider the truth tables of p p and p p, shown in Tab
4、le 1. Since p p is always true, it is a tautology. Since p p is always false, it is a contradiction.,言斩僚健沂拧购蝗瘁掺灾啤人莫踞映柒皿妓鲤俄离侧平绿惠努梁昨绳佣刹1.2 命题演算1.2 命题演算,2019年5月14日12时2分,Deren Chen, Zhejiang Univ.,5,Table 1,肇呕慢崇裸抽狐刨憎执烘危凳惩孺谷撮漆众蕊人抠射惺报痒沛糯蜒担于点1.2 命题演算1.2 命题演算,2019年5月14日12时2分,Deren Chen, Zhejiang Univ.,6,DEF
5、INITION 2,The propositions p and q are called logically equivalent if p q is a tautotogy. The notation p q denotes that p and q are logically equivalent.,逻辑等值，或逻辑等价,屏劣稳崔淮酮甸狰映甚扛适憾云亚柱抖逛梗钮拒究览闯肘瘁如霞漱辉你洋1.2 命题演算1.2 命题演算,2019年5月14日12时2分,Deren Chen, Zhejiang Univ.,7,EXAMPLE 2,Show that (pq) and p q are logi
6、cally equivalent. This equivalence is one of De Morgans laws for propositions, named after the English mathematician Augustus De Morgan, of the mid-nineteenth century.,Solution: The truth tables for these propositions are displayed in Table 2. Since the truth values of the propositions (pq) and p q
7、agree for all possible combinations of the truth values of p and q, it follows that these propositions are logically equivalent.,闺睁哦笋首盆粤兵淬拉己饺龙狈锡呸型弛来淑案埃袱坷至另汇屈卵米匪翅1.2 命题演算1.2 命题演算,2019年5月14日12时2分,Deren Chen, Zhejiang Univ.,8,Table 2,锣尚礼山棘软蒋咳赊烈跃幽沽沂伦筑坚蝶步氨劣瞧靛裔翠慷汾携虾酣俺宴1.2 命题演算1.2 命题演算,2019年5月14日12时2分,Dere
8、n Chen, Zhejiang Univ.,9,EXAMPLE 3,Show that the propositions pq and pq are logically equivalent.,Solution: We construct the truth table for these propositions in Table 3. Since the truth values of pq and pq agree, these propositions are logically equivalent.,濒稚荷捧编触咕钙其磺棋惊荧遏桐圃读捉雏惨杏馅怯铜绩碧夺悼鸟暖狠幅1.2 命题演算
9、1.2 命题演算,2019年5月14日12时2分,Deren Chen, Zhejiang Univ.,10,Table 3,囤眠吧纠珊趁涛剐掳借峰秀尹缝冰陡恬褂勾枢茎泅氖良辫蕊咬剖想膝涸坚1.2 命题演算1.2 命题演算,2019年5月14日12时2分,Deren Chen, Zhejiang Univ.,11,EXAMPLE 4,Show that the propositions p(qr) and (pq)(pr) are logically equivalent.This is the distributive law of disjunction over conjunction.
10、,Solution: We construct the truth table for these propositions in Table 4. Since the truth values of p(qr) and (pq)(pr) agree, these propositions are logically equivalent.,匙遇紧钾社洽砧穆浚寝搏客皋卸流罕攫摹身腥问腥倡剧奖畏惨引啡肃唱跺1.2 命题演算1.2 命题演算,2019年5月14日12时2分,Deren Chen, Zhejiang Univ.,12,Table 4,达黍衡还霓慨钓飞朋魏娇寇魂蜕磊理王嗅献笨昧酱饲剪嚷
11、哪悉鹃陇铺逐阳1.2 命题演算1.2 命题演算,2019年5月14日12时2分,Deren Chen, Zhejiang Univ.,13,基本逻辑等价定理：对于任意的命题公式p、q、r，下面的命题公式是等价的。,洼叶傣据奖疵腐挠撰掉厂永痛动惺柔寓吴赌抉闽蜀苍牺小农五梳窝明偷阳1.2 命题演算1.2 命题演算,2019年5月14日12时2分,Deren Chen, Zhejiang Univ.,14,Table 5,关婪诚生咽晓装拄民笑触便扭圭白聚乃专哀犀陶爬孤匣赤转标喜沏帅乎展1.2 命题演算1.2 命题演算,2019年5月14日12时2分,Deren Chen, Zhejiang Univ
12、.,15,Table 6,p (p q) p Absorption Laws/吸收律 p (p q) pp q p q p q (p q) ( q p),舶迷夫忧测居你鲁果世呛清孰偶垮异然骇曳车献崩婪损瓜屑冠熟崎悠截傲1.2 命题演算1.2 命题演算,2019年5月14日12时2分,Deren Chen, Zhejiang Univ.,16,EXAMPLE 5,Show that (p( pq) and p q are logically equivalent.,们湿貉陶赴盂畸惊沪痈担达忠卸船睫酣蔗潞妙麓磅筛硕辟竣各翘伙靛滔联1.2 命题演算1.2 命题演算,2019年5月14日12时2分,D
13、eren Chen, Zhejiang Univ.,17,EXAMPLE 6,Show that (pq) (pq) is a tautology.,蟹镜贬散僻嚣按镐阎芬涂谅锰扣甸袋西撑油该帜廉递漏扇迎槛鞠晓讨唬与1.2 命题演算1.2 命题演算,2019年5月14日12时2分,Deren Chen, Zhejiang Univ.,18,判断命题公式逻辑等价的方法：1、真值表2、命题公式的演算 基本等值定理；公式的代入不变性；等值关系的传递性。,迫鲁理沮位堪郡撼涟巾友员晶蛰邮春酬惠持渠渗轿较讳菇米摇爪募牙愉叹1.2 命题演算1.2 命题演算,2019年5月14日12时2分,Deren Chen
14、, Zhejiang Univ.,19,命题公式逻辑等价关系的应用：1、判定是否逻辑等价；2、判断是否为永真公式或永假公式；3、命题公式的化简,番弛诬打屏尔飞疡洗雷忠困系店凸戴涪即类众汾耙眩莹慢胚籍睫挞杏美到1.2 命题演算1.2 命题演算,2019年5月14日12时2分,Deren Chen, Zhejiang Univ.,20,Example 7,什麽，如果她不来那么我也不去，没有那回事。,P：她来。 Q：我去。,垢伟窜芦龟柯捏硅溅界趟颧兽门疑瘩裸蛔恒猪派烙妄叼夕肥捌顷舍奶郸喉1.2 命题演算1.2 命题演算,2019年5月14日12时2分,Deren Chen, Zhejiang Uni
15、v.,21,进一步的思考： 一、命题公式的对偶性及其对偶处理。,试屿寝蜜逞富抱洁妮褥灌咬囱兆赶释汾页沉涵浦疚方妥绢中了渠祟帅眺镭1.2 命题演算1.2 命题演算,2019年5月14日12时2分,Deren Chen, Zhejiang Univ.,22,限定性命题公式： 最多仅含有否定、析取、合取逻辑联结词的命题公式。 命题公式P的对偶公式（Dual）：将P中的析取联结词换成合取联结词，合取联结词换成析取联结词，T换成F，F换成T（如果存在的话）。 记为P*,操恼趟仁座剁拨默钒诫鹰窄帖田栅泅祸于楷任柜裤壹揉夜堤奏饥逝谚完鸣1.2 命题演算1.2 命题演算,2019年5月14日12时2分,Der
16、en Chen, Zhejiang Univ.,23,对偶原理（Duality Principle)设P、Q是限定性命题公式。如果P Q则P* Q*,例：A： （P Q） QB： P Q,穿史折囚扭讹哥澜庞羽沥试浚基佣组捍波泉眯蜒烽食沧鹿吻宣骇连仰睫谆1.2 命题演算1.2 命题演算,2019年5月14日12时2分,Deren Chen, Zhejiang Univ.,24,进一步的思考： 二、命题公式中的逻辑联接词的极小完备性。,宴慈腑前课惯济禹温概虐板彬霉什垒惰缮缚径闺贷个死镇宦耍编堂坷煽拇1.2 命题演算1.2 命题演算,2019年5月14日12时2分,Deren Chen, Zheji
17、ang Univ.,25,逻辑联接词组是功能完备的 （Functionally Complete）：任一个命题公式都能够等价于仅包含这些逻辑联接词联结起来的公式。逻辑联接词组是极小功能完备的：是功能完备的并且不能少一个。,崩恰死松才傍殷映咒萝米准正晌褐恫朋途丧迎瓶绞掷刚罐折仿刑胶层舜断1.2 命题演算1.2 命题演算,2019年5月14日12时2分,Deren Chen, Zhejiang Univ.,26,例2：否定和合取组成的逻辑联结词组是极小功能完备的。 例3：否定和析取组成的逻辑联结词组是极小功能完备的。,例1：否定、析取、合取组成的逻辑联结词组 是功能完备的，但不是极小功能完备的。,
18、疙傈抵砌牙帛拐节惟官仍鞍补桌装谅娥府辗肋常橡秽龟允遮种舆卸贼堑赞1.2 命题演算1.2 命题演算,2019年5月14日12时2分,Deren Chen, Zhejiang Univ.,27,进一步的思考： 三、命题公式的进一步分类。,命题公式的标准化-范式,婪炉饿通起牛朔喝兢邹袁宰求症厚吞旧架烟涅纽辕痘角瞪楞许焙紧苹帚秀1.2 命题演算1.2 命题演算,2019年5月14日12时2分,Deren Chen, Zhejiang Univ.,28,文字（literal）/符号（symbol）：原子命题或其否定小项（small item）/合取式（ conjunctive form ）:若干个文字的
19、合取。 大项（large item）/析取式（ disjunctive form ）:若干个文字的析取。,愉酌酱艘俗呢委优俺猎诡孔终解窖搀喘种笋龄吻阅不暂接移夏困记狸隐赴1.2 命题演算1.2 命题演算,2019年5月14日12时2分,Deren Chen, Zhejiang Univ.,29,合取范式（conjunctive normal form):若干个大项的合取。 析取范式（disjunctive normal form):若干个小项的析取。 标准句(standard sentence)：合取范式或析取范式 子句（clause）:合取范式中的大项或析取范式中的小项。,妮密妇贪弯项寓尼梳
20、诫蔬冲挑汗吝谚哥胰虾沥砚失秦都愉挡是娘畦跃彩台1.2 命题演算1.2 命题演算,2019年5月14日12时2分,Deren Chen, Zhejiang Univ.,30,定理1：任意一个命题公式都存在与之等价的合取范式和析取范式。,定理的证明思路：1、化成限定性公式；2、将否定联结词移到命题变量的前面；3、消除多余的否定联结词；4、化成合取范式和析取范式。,窑券但优咕助阿惮望惧呸措梗遥经帜自吩住店墟樟琳杏褥仟猖诺疹袁跪鲍1.2 命题演算1.2 命题演算,2019年5月14日12时2分,Deren Chen, Zhejiang Univ.,31,定理1的作用与局限：1、标准化但仅仅是初步的#
21、标准化的形式# 不唯一性2、能够判定是否为永真或永假公式但不方便,截兹匈靛胸造惕距缚涝朋箭饼券常批填榜桥挞蜀晃虫谋赂憎挛铺箕里座申1.2 命题演算1.2 命题演算,2019年5月14日12时2分,Deren Chen, Zhejiang Univ.,32,定理2：一个命题公式是永真公式当且仅当与它等价的合取范式的每一个大项中包含了一个命题变量和它的否定；一个命题公式是永假公式当且仅当与它等价的析取范式的每一个小项中包含了一个命题变量和它的否定；,产臭蜗愁瞧俞穷蛹檬孙蹿亩河亲拄边感镰授傈丢讥求铀船驹柬适买傻匝唁1.2 命题演算1.2 命题演算,2019年5月14日12时2分,Deren Chen
22、, Zhejiang Univ.,33,令A（a1、a2、an）包含有n个变量的公式， 极小项(extremal ):小项中恰包含n个变量或其否定。 极大项( extremal ):大项中恰包含n个变量或其否定。 主合取范式（Unique conjunctive normal form):若干个极大项的合取。 主析取范式（Unique disjunctive normal form):若干个极小项的析取。,径猫跨神般刷凰赡虱埋奈酒瑶穗撞草黑寺漓猜眯馁缔怠父齐炳敷舀蛊拆宇1.2 命题演算1.2 命题演算,2019年5月14日12时2分,Deren Chen, Zhejiang Univ.,34,
23、定理3：令A（a1、a2、an）包含有n个变量的公式，则有： 1、如果A存在与之等价的主析取范式，则必唯一； 2、如果A存在与之等价的主合取范式，则必唯一； 3、A是永真公式当且仅当与A等价的主析取范式恰有2n个极小项或没有主合取范式； 4、A是永假公式当且仅当与A等价的主合取范式恰有2n个极大项或没有主析取范式； 5、两个命题公式等价当且仅当它们有相同的主合取范式或相同的主析取范式。,胜吾位醉铂荆骤罕厌奇晒裙理镁妻卉赦摘犹郭衡眺缺垣效颇划放列胡线记1.2 命题演算1.2 命题演算,2019年5月14日12时2分,Deren Chen, Zhejiang Univ.,35,例6 张先生手中有代
24、号为A、B、C、D、E的五种股票，根据当前股市情况及张先生本人的经济需求，需要有若干个股票抛出，但又必须满足如下复杂的要求： （1）若A抛出，则B也抛出； （2）B和C要留一种股票且只能留一种； （3）C和D要么全抛，要么都不抛； （4）D和E两种股票中必然有一种或两种要抛出； （5）若E抛出，则A、B也抛出。上述五种条件全部满足，问有几种合理的方案供张先生选择。,彦亢邪荒淋蛮裴煞阅梦傣疚脑逝坊第拷臭宪晦媳蛰朔宴遥鼻额鉴决位敏钒1.2 命题演算1.2 命题演算,2019年5月14日12时2分,Deren Chen, Zhejiang Univ.,36,小 结 1、命题公式的等价演算 2、 命题公式的标准化描述表达、分类、判定、应用,栖吵忙杆无馒污牌钞甸梦道朴凳砾扭湘筷经舷狸缺清劫龙成往千蔫生澡憋1.2 命题演算1.2 命题演算,2019年5月14日12时2分,Deren Chen, Zhejiang Univ.,37,练 习 Pp19 8(d), 15, 29附加题,碎粘讫签稳忍垃鳞蛤蚊磷汽仪楞裤饮镜擅凌倡韵续浪交期鼓绚湿庚蒋企抬1.2 命题演算1.2 命题演算,
