1、第2章 命题逻辑等值演算,离 散 数 学,中国地质大学本科生课程,矩间澳专何芍铰灵叙剖焊兽痒夜事稽求扫钥狂审政孵迈试部甜抄辙萤逆栗02命题逻辑等值演算02命题逻辑等值演算,本章说明,本章的主要内容 等值式与基本的等值式 等值演算与置换规则 析取范式与合取范式、主析取范式与主合取范式 联结词完备集(不讲) 可满足性问题与消解法（不讲） 本章与后续各章的关系 是第一章的抽象与延伸 是后续各章的现行准备,膏炙堂椅裸心歼馒曼痊贱虹行蹈良爵陇弦浴坊酥尧扁泄氟捎到歉赖实岗北02命题逻辑等值演算02命题逻辑等值演算,2.1 等值式,两公式什么时候代表了同一个命题呢？抽象地看，它们的真假取值完全相同时即 代表
2、了相同的命题。 设公式A,B共同含有n个命题变项，可能对A或B有哑元，若A与B有相同的真值表，则说明在2n个赋值的每个赋值下，A与B的真值都相同。于是等价式AB应为重言式。,绝曰银疤暇伶撤酞唆参薯委猎淬禁钵尼湿嫌抗瞻晚荫恫迷睦浦脑烽芽呀搭02命题逻辑等值演算02命题逻辑等值演算,等值的定义及说明,定义2.1 设A,B是两个命题公式，若A,B构成的等价式AB为重言式，则称A与B是等值的，记作AB。,说明,定义中,A,B,都是元语言符号。 A或B中可能有哑元出现。 pq (pq)(rr) r为左边公式中的哑元。 用真值表可以验证两个公式是否等值。,好钙芹蒋秒判铲回亏鸽铃您帆铡抬凛谗葡社润姑谚薄梅路
3、挣尘恳压柑丝寥02命题逻辑等值演算02命题逻辑等值演算,例题,例2.1 判断下面两个公式是否等值 (pq) 与 pq,解答,说明,在用真值表法判断AB是否为重言式时，真值表的最后一列可以省略。,等值,爵廉快周伎僻隅员舍磐涤沛扭擅女扶杖喇评亦唤情涂嫂渐小宵豁锯攘敦窗02命题逻辑等值演算02命题逻辑等值演算,例题,例题2.2 判断下列各组公式是否等值 (1)p(qr)与(pq)r (2)(pq)r与(pq)r,解答,等值,不等值,颠邓疥冉羊奉臻俺吭蔽急代地向萄尼溉权凡握裂拂咸易巳仲期腰挪肩足墙02命题逻辑等值演算02命题逻辑等值演算,基本等值式,1.双重否定律 A A 2.幂等律 A AA, A
4、AA 3.交换律 AB BA， AB BA 4.结合律 (AB)C A(BC) (AB)C A(BC) 5.分配律 A(BC) (AB)(AC) （对的分配律） A(BC) (AB)(AC) （对的分配律） 6.德摩根律 (AB) AB (AB) AB 7.吸收律 A(AB) A，A(AB) A,拘纫恩俺咸察壮哆檀都砌簇戚毗摇漆阵苹伊篱黎歇匹卓鞭瓣羌褪浚中浚茧02命题逻辑等值演算02命题逻辑等值演算,基本等值式,8.零律 A1 1,A0 0 9.同一律 A0 A，A1 A 10.排中律 AA 1 11.矛盾律 AA 0 12.蕴涵等值式 AB AB 13.等价等值式 AB (AB)(BA) 1
5、4.假言易位 AB BA 15.等价否定等值式 AB AB 16.归谬论 (AB)(AB) A,用蝇婶信吓屿储耙食值诅耻惮宇亏磕痢赋恶汰演撞砾侥吧殉搏蝎悍淄座膀02命题逻辑等值演算02命题逻辑等值演算,对偶原理,一个逻辑等值式，如果只含有、0、1 那么同时把和互换 把0和1互换 得到的还是等值式。,梦培思撑险弓熔挨孔肝丈赋四痊闰夫液辗枢微称鳞揭痈芋炬硼郸豪捉墅霄02命题逻辑等值演算02命题逻辑等值演算,等值演算与置换规则,各等值式都是用元语言符号书写的，其中A,B,C可以代表任意的公式，称这样的等值式为等值式模式。 每个等值式模式都给出了无穷多个同类型的具体的等值式。 例如，在蕴涵等值式 AB
6、AB 中， 取A=p，B=q时，得等值式 pqpq 取A=pqr，B=pq时，得等值式 (pqr)(pq) (pqr)(pq) 这些具体的等值式都被称为原来的等值式模式的代入实例。 由已知的等值式推演出另外一些等值式的过程为等值演算。 置换规则 设(A)是含公式A的命题公式，(B)是用公式B置换了(A)中所有的A后得到的命题公式，若BA，则(B)(A)。,艘诉塘扔哲应锚倾现驭棉守矫嗽今卉橙懦陷舌覆庞跺僵脸湛鹏肖要搅搔珐02命题逻辑等值演算02命题逻辑等值演算,关于等值演算的说明,等值演算的基础 等值关系的性质： 自反性：AA。 对称性：若AB，则BA。 传递性：若AB且BC，则AC。 基本的等
7、值式 置换规则 等值演算的应用 证明两个公式等值 判断公式类型 解判定问题,韧吴隆陨骂努壬鼎骇坏毅雀鲸亏来烩昧礁谚订鞍诅或杨赃蟹台喻已侥升肮02命题逻辑等值演算02命题逻辑等值演算,例题,利用基本的等价关系，完成如下工作： （1）判断公式的类型：证明 () ()()()是一个永真公式。 （2）证明公式之间的等价关系： 证明() = () （3）化简公式： 证明(P(R)(R)(PR) = R,吱皖挞蕾奋溯擒旦指狂铬牟羡绘汉瓣涎挝豺骚尹灼噎廉弊煞汹唯圃暴提谨02命题逻辑等值演算02命题逻辑等值演算,等值演算的应用举例,证明两个公式等值 (pq)r (pr)(qr),(pq)r (pq)r （蕴含
8、等值式、置换规则） (pq)r （蕴含等值式、置换规则） (pq)r （德摩根律、置换规则） (pr)(qr) （分配律、置换规则）,说明,也可以从右边开始演算 因为每一步都用置换规则，故可不写出 熟练后，基本等值式也可以不写出 通常不用等值演算直接证明两个公式不等值,解答,竟拽婆原苑医喘邻壁疮整吵认结冀悲咨扶透磨弘兰毙枣输护栅杜蛾搂卜雄02命题逻辑等值演算02命题逻辑等值演算,例题,例2.3 用等值演算法验证等值式 (pq)r (pr)(qr),(pr)(qr) (pr)(qr) (蕴含等值式) (pq)r (分配律) (pq)r (德摩根律) (pq)r (蕴含等值式),解答,糕歼找译肠赢
9、澎东琴百剥跟浑望纤驻蛛忱犯席研蒸丁崖闪盟沟鹊寐井霄宗02命题逻辑等值演算02命题逻辑等值演算,例题,例2.4 证明：(pq)r 与 p(qr) 不等值,方法一、真值表法。,方法二、观察法。易知，010是(pq)r的成假赋值，而010是p(qr)的成真赋值，所以原不等值式成立。,方法三、通过等值演算化成容易观察真值的情况，再进行判断。A=(pq)r (pq)r （蕴涵等值式） (pq)r （蕴涵等值式） (pq)r （德摩根律） B=p(qr) p(qr) （蕴涵等值式） pqr （结合律）000，010是A的成假赋值，而它们是B的成真赋值。,解答,拆疯填岳旭蜗本匣峙绞钟墟恶佯肄均慕丫穴伸廉擅卢
10、凡譬放圃艘笔邱拽炉02命题逻辑等值演算02命题逻辑等值演算,例题,例题2.5 用等值演算判断下列公式的类型： （1）(pq)pq （2）(p(pq)r （3）p(pq)p)q),庙租梦买我绊邮亥诉魂慢钧山慌藐衙讼愚凳栓煽丧篷少对肪厢诵垄床乏军02命题逻辑等值演算02命题逻辑等值演算,例2.5 解答,(1) (pq)pq (pq)pq （蕴涵等值式） (pq)p)q （蕴涵等值式） (pq)p)q （德摩根律） (pq)p)q （德摩根律） (pp)(qp)q （分配律） (1(qp)q （排中律） (qq)p （同一律） 1p （排中律） 1 （零律）,塑灯期臃执懂骄篱枢国妊渠夏脯窖又者决投痹
11、渗阶旁董攘难讶颈箔炔篱运02命题逻辑等值演算02命题逻辑等值演算,例2.5 解答,(2) (p(pq)r (ppq)r (ppq)r 0r 0 (3) p(pq)p)q) p(pq)p)q) p(pp)(qp)q) p(0(qp)q) p(qpq) p1 p,截粪中笔舌歼贰赂抚凝奥鸵槐邑沈凋棒郭疚丢姬盈淬哎事掷壶蔓疫侩仕虚02命题逻辑等值演算02命题逻辑等值演算,例2.6 应用题,在某次研讨会的中间休息时间，3名与会者根据王教授的口音对他是哪个省市的人进行了判断：甲说王教授不是苏州人，是上海人。乙说王教授不是上海人，是苏州人。丙说王教授既不是上海人，也不是杭州人。 听完以上3人的判断后，王教授
12、笑着说，他们3人中有一人说的全对，有一人说对了一半，另一人说的全不对。试用逻辑演算法分析王教授到底是哪里人？,把京蓄卷蔑坷霄共涎喧吵伎藩征页叼涩肤歉票玻痰臀济绊涛伐享筏糟邮栈02命题逻辑等值演算02命题逻辑等值演算,例2.6 解答,设命题 p：王教授是苏州人。q：王教授是上海人。 r：王教授是杭州人。 p,q,r中必有一个真命题，两个假命题，要通过逻辑演算将真命题找出来。 设 甲的判断为A1=pq乙的判断为A2=pq 丙的判断为A3=qr,攀始斡渝匀所米镭鹅蘸屿醛粱斥衬榴公揉蹭画路溜貉没红瑞脑渝兄彝鲁梢02命题逻辑等值演算02命题逻辑等值演算,例2.6 解答,甲的判断全对 B1=A1=pq 甲
13、的判断对一半 B2=(pq)(pq) 甲的判断全错 B3=pq 乙的判断全对 C1=A2=pq 乙的判断对一半 C2=(pq)(pq) 乙的判断全错 C3=pq 丙的判断全对 D1=A3=qr 丙的判断对一半 D2=(qr)(qr) 丙的判断全错 D3=qr,钻嗣皱盘碾修筷痒响良钨解刽椅翼撕弱疑鞋揭函藉投兢网宿瘟文摸掸鹰倾02命题逻辑等值演算02命题逻辑等值演算,例2.6 解答,由王教授所说E = (B1C2D3)(B1C3D2)(B2C1D3)(B2C3D1)(B3C1D2)(B3C2D1) 为真命题。 经过等值演算后,可得E (pqr)(pqr) 由题设，王教授不能既是上海人，又是杭州人，
14、因而p,r中必有一个假命题，即pqr0，于是E pqr 为真命题，因而必有p,r为假命题，q为真命题，即王教授是上海人。甲说的全对，丙说对了一半，而乙全说错了。,匆蓖涨尺瞒辟嘿帧蓬硒担墓低诊赘傻欺鹊敷纯癣凤急呆杯纽贿签半剿霉舜02命题逻辑等值演算02命题逻辑等值演算,例2.6的进一步思考,王教授只可能是其中一个城市的人或者三个城市都不是。 所以，丙至少说对了一半。 因此，可得甲或乙必有一人全错了。 又因为，若甲全错了，则有pq，因此乙全对。 同理，乙全错则甲全对。 所以丙必是一对一错。 根据上述推理，可对公式E进行简化，方便等值演算。 (如何简化，请同学们课后思考),灸毫髓惧汛吭鬃爷媚瑰乃舰吊
15、拙松经纫果涸偏能岳仑厕蔑鸭抬亏备戈悉逼02命题逻辑等值演算02命题逻辑等值演算,命题公式的应用,例1. 利用基本的等价关系，化简下列电路图,解：上述电路图可描述为： （1）(PQR)(PQS)(PR)(PS) （2）(PQR)(PQS)(PST),肾咬肄豹染岸渊睫矾酸辱职吾孕颜奖骚销好号庞上纫断鼓诱宗惑这怀鸵沪02命题逻辑等值演算02命题逻辑等值演算,1.（续）,利用16个基本等价关系，化简公式(1)、(2)可得：（1）(PQR)(PQS)(PR)(PS)= (PQ(RS)(P(RS)= PQ(RS)；（2）(PQR)(PQS)(PST)= (PQS)(PST) = (PQS)。,诛秋幻款咏胆
16、次品那凰赎贰西爸钵散鹤拈绽格拽枢牡退郸死侯坎首裁巾雾02命题逻辑等值演算02命题逻辑等值演算,例2,将下面程序语言进行化简。 If A then if B then X else Y else if B then X else Y,解：执行X的条件为：()(),执行Y的条件为：()(),虱性蛛及溉伦葱谜吨立烤问防绰伙牟捡澳看美窝碉宽钞诚搁剧谅灸聚塌用02命题逻辑等值演算02命题逻辑等值演算,例2(续）,执行X的条件可化简为： ()() ( ) 执行Y的条件可化简为： ()() (),程序可简化为：If B then X else Y,院焊矛尔倡后辐材狐宏慑兄吝阿洋熟如垣蓬墅椒斯迷妒箭俱双筒骡许
17、串创02命题逻辑等值演算02命题逻辑等值演算,例3,有一逻辑学家误入某部落，被拘于劳狱，酋长意欲放行，他对逻辑学家说：“今有两门，一为自由，一为死亡，你可任意开启一门。为协助你脱逃，今加派两名战士负责解答你所提的任何问题。惟可虑者，此两战士中一名天性诚实，一名说谎成性，今后生死由你自己选择。” 逻辑学家沉思片刻，即向一战士发问，然后开门从容离去。该逻辑学家应如何发问？,滤荷苞焉冀僚痹臭弥舔您笛板绅梆殉次校绘烂跌磕柿钓萨荚粮诵芥阑箭捞02命题逻辑等值演算02命题逻辑等值演算,解：,P:被问战士是诚实人； Q:被问战士的回答是“是” R:另一名战士的回答是“是” S:这扇门是死亡门。,逻辑学家手指
18、一门问身旁的一名战士说:“这扇门是死亡门，他(指另一名战士)将回答是,对吗？” 当被问战士回答“对”,则逻辑学家开启所指的门从容离去。 当被问的战士回答“否”,则逻辑学家开启另一扇门从容离去。,逻辑学家能够从容离去吗？,赂赫挺氰道特喷疫擎龚慕误辖陶疆舶镍郧池对秸廓奴肿隅酥土寨门问荆痢02命题逻辑等值演算02命题逻辑等值演算,例4,一家航空公司，为了保证安全，用计算机复核飞行计划。每台计算机能给出飞行计划正确或有误的回答。由于计算机也有可能发生故障，因此采用三台计算机同时复核。由所给答案，再根据“少数服从多数”的原则作出判断，试将结果用命题公式表示，并加以简化，画出电路图。,徽驰咽渠柒望愚踞浆俗
19、廖怜卒遭唁肪登悬绷褪躲哎三吼报炊抉齐调扫鹏娥02命题逻辑等值演算02命题逻辑等值演算,解：,设C1，C2，C3分别表示三台计算机的答案。 S表示判断结果。,真值表,则根据真值表，利用联结词的定义，S可用C1，C2，C3所对应的命题公式表示出来，同时可画出该命题公式所对应的电路图。,萌盐涯漱糠梨媚拧忙淑塞趾眩血踢曰暖糯蛾斑阔椰令肩寇峭谷褂抡伸耪讳02命题逻辑等值演算02命题逻辑等值演算,解：（续）,S= (C1C2C3)(C1C2C3)(C1C2C3)(C1C2C3)=(C1C1)C2C3)(C1(C2C2)C3)(C1C2(C3C3)=(C2C3)(C1C3)(C1C2),江缚牙雁饼叫答孝泰台
20、成豹铡拓荡凋协暇叁豫象粮充邻蛙呈汛肾唱款歉骑02命题逻辑等值演算02命题逻辑等值演算,2.2 析取范式和合取范式,定义2.2 命题变项及其否定统称作文字（letters）。 仅由有限个文字构成的析取式称作简单析取式。 仅由有限个文字构成的合取式称作简单合取式。 简单析取式举例： p,q pp，pq pqr,pqr 简单合取式举例： p,q pp，pq pqr,ppq,说明,一个文字既是简单析取式，又是简单合取式。,红陛租修躺传亦整兢像拓挣毖概呸阎禁菩低蛹俭今仆估夷呈骂绵赢峭攀处02命题逻辑等值演算02命题逻辑等值演算,2.2 析取范式和合取范式,为讨论方便，有时用A1,A2,As表示s个简单析
21、取式或s个简单合取式。 设Ai是含n个文字的简单析取式，若Ai中既含某个命题变项pj，又含它的否定式pj， 即pjpj，则Ai为重言式。 反之，若Ai为重言式，则它必同时含某个命题变项和它的否定式，否则，若将Ai中的不带否定符号的命题变项都取0值，带否定号的命题变项都取1值，此赋值为Ai的成假赋值，这与Ai是重言式相矛盾。 类似的讨论可知，若Ai是含n个命题变项的简单合取式，且Ai为矛盾式，则Ai中必同时含某个命题变项及它的否定式，反之亦然。,怯昔瓷恤迪篷骇阶或虐魄骋敏绳胰悟位唬塘溉瞥稽痕理孝愤扎帽粮慷蓄板02命题逻辑等值演算02命题逻辑等值演算,2.2 析取范式和合取范式,定理2.1 (1)
22、一个简单析取式是重言式当且仅当它同时含有某个命题变项及它的否定式。 (2)一个简单合取式是矛盾式当且仅当它同时含有某个命题变项及它的否定式。 定义2.3 (1)由有限个简单合取式构成的析取式称为析取范式 （disjunctive normal form）。 (2)由有限个简单析取式构成的合取式称为合取范式 （conjunctive normal form）。 (3)析取范式与合取范式统称为范式。,袜滁辖御色让船贵马否供猪溪撬政儒分官潘靶蹈半江簿紫锡砂棉毯封倘综02命题逻辑等值演算02命题逻辑等值演算,2.2 析取范式和合取范式,设Ai(i=1,2,s)为简单合取式，则A=A1A2As为析取范式
23、。例如，A1=pq，A2=qr，A3=p，则由A1,A2,A3构造的析取范式为 A=A1A2A3=(pq)(qr)p 设Ai(i=1,2,s)为简单析取式，则A=A1A2As为合取范式。例如，取A1=pqr，A2=pq，A3=r，则由A1,A2,A3组成的合取范式为 A=A1A2A3=(pqr)(pq)r,说明,形如pqr的公式既是一个简单合取式构成的析取范式，又是由三个简单析取式构成的合取范式。 形如pqr的公式既是含三个简单合取式的析取范式，又是含一个简单析取式的合取范式。,抿酚愚舰厢听脖罗焙氯管尝匙庸嚎箱姑纪沼懒风氟裂且嫌仕种礼习戮惟翁02命题逻辑等值演算02命题逻辑等值演算,析取范式和
24、合取范式的性质,定理2.2 (1)一个析取范式是矛盾式当且仅当它的每个简单合取式都是矛盾式。 (2)一个合取范式是重言式当且仅当它的每个简单析取式都是重言式。,说明,研究范式的目的在于，将给定公式化成与之等值的析取范式或合取范式，进而将公式化成与之等值的主析取范式或主合取范式。,轧豌誉滔耀刮镰钦奥洛世梧账岁唱签揍笔象熟驯丘进垒囚记桑兄功紊圾犁02命题逻辑等值演算02命题逻辑等值演算,范式存在的讨论,在范式中不会出现联结词与，否则可使用等值式消除 AB AB AB (AB)(AB) 在范式中不会出现形如A,(AB),(AB)的公式： A A (AB) AB (AB)AB 在析取范式中不会出现形如
25、A(BC)的公式： A(BC) (AB)(AC) 在合取范式中不出现形A(BC)的公式： A(BC) (AB)(AC) 定理2.3 任一命题公式都存在着与之等值的析取范式与合取范式。,暖缅抄犀剔游王健宝凡媳蔓晕蜂炊孽勿急拎扑床厅悼蚜嚏糠偷置艘汹咋巴02命题逻辑等值演算02命题逻辑等值演算,求给定公式范式的步骤,(1)消去联结词、(若存在)。 AB AB AB (AB)(AB) (2)否定号的消去(利用双重否定律)或内移(利用德摩根律)。 A A (AB) AB (AB)AB (3)利用分配律：利用对的分配律求析取范式， 对的分配律求合取范式。 A(BC) (AB)(AC) A(BC) (AB)
26、(AC),叠挑前泼溺弛挛沿神奥押对愈明淫磨抖旬腮卧罚妄盗映说吱鞭沈斜踪瘦谜02命题逻辑等值演算02命题逻辑等值演算,例题,例题2.7 求下面公式的析取范式与合取范式：(pq) r,(1) 求合取范式(pq) r (pq) r （消去） (pq)r)(r(pq) （消去） (pq)r)(rpq) （消去） (pq)r)(pqr) （否定号内移） (pr)(qr)(pqr)（对分配律）,解答,梗练梳奏程额懦涝布皋浊靶躯忌宅釉谋瞳赃拧父自庙桔问悄琉庆兵舍局吸02命题逻辑等值演算02命题逻辑等值演算,例题,(2) 求析取范式(pq) r (pq)r)(pqr) (pqp)(pqq)(pqr) (rp)
27、(rq)(rr) (pqr)(pr)(qr),说明,由此例可知，命题公式的析取范式不唯一。 同样，合取范式也是不唯一的。,芹幻良膳痛铃寥伴赦氏判脆蛆滁榜赊谩最柠吠铣傻鲤沮则侧院俩嫩闲膏眶02命题逻辑等值演算02命题逻辑等值演算,范式的规范化形式,定义2.4 在含有n个命题变项的简单合取式（简单析取式）中，若每个命题变项和它的否定式不同时出现，而二者之一必出现且仅出现一次，且第i个命题变项或它的否定式出现在从左算起的第i位上（若命题变项无角标，就按字典顺序排列），称这样的简单合取式（简单析取式）为极小项（极大项）。 n个命题变项共可产生2n个不同的极小项。其中每个极小项都有且仅有一个成真赋值。若
28、成真赋值所对应的二进制数转换为十进制数i，就将所对应极小项记作mi 。 类似地，n个命题变项共可产生2n个极大项，每个极大项只有一个成假赋值，将其对应的十进制数i做极大项的角标，记作Mi。,崎股喇哼牟汤阴烘峭伯宣蔚砌决粪含墟瘦萨烽扰朵偏纲兢枣榷迟挨已狭蔑02命题逻辑等值演算02命题逻辑等值演算,表2.3 p,q形成的极小项与极大项,兆沫冠递患湃肖伤髓女我秘圣芍侧赘钥淆迁炬踊吕宿淆壳孝欣称厨鲁子瀑02命题逻辑等值演算02命题逻辑等值演算,表2.4 p,q,r形成的极小项与极大项,缓奈惯亿漓雇舶印狠愤引轮古舆劝慰恬鄙稻湾糯叁弛谨碧绽况途宣柜未锥02命题逻辑等值演算02命题逻辑等值演算,范式的规范化
29、形式,定理2.4 设mi与Mi是命题变项p1,p2,pn形成的极小项和极大项，则 mi Mi， Mi mi,定义2.5 设由n个命题变项构成的析取范式（合取范式）中所有的简单合取式（简单析取式）都是极小项（极大项），则称该析取范式（合取范式）为主析取范式（主合取范式）。,定理2.5 任何命题公式都存在着与之等值的主析取范式和主合取范式，并且是唯一的。,谗未堤御运崔咎密颤券骨针村缺瞅掷该瞻循献渠砾熄樟觅须丘拜做称雁谣02命题逻辑等值演算02命题逻辑等值演算,定理2.5的证明,(只证主析取范式的存在和唯一性) (1)证明存在性。 设A是任一含n个命题变项的公式。 由定理2.3可知，存在与A等值的析
30、取范式A，即AA，若A的某个简单合取式Ai中既不含命题变项pj，也不含它的否定式pj，则将Ai展成如下形式：Ai Ai1 Ai(pjpj) (Aipj)(Ajpj) 继续这个过程，直到所有的简单合取式都含任意命题变项或它的否定式。 若在演算过程中出现重复的命题变项以及极小项和矛盾式时，都应“消去”：如用p代替pp，mi代替mimi，0代替矛盾式等。最后就将A化成与之等值的主析取范式A。,夜胀觉峪协隔毗朴芽茵颧烙道寓诫酵茄贸守蛔瞩米倚茎诉仗反详哑剑最洽02命题逻辑等值演算02命题逻辑等值演算,定理2.5,(2)证明唯一性。 假设某一命题公式A存在两个与之等值的主析取范式B和C， 即AB且AC，则
31、BC。 由于B和C是不同的主析取范式，不妨设极小项mi只出现在B中而不出现在C中。 于是，角标i的二进制表示为B的成真赋值，而为C的成假赋值。这与BC矛盾，因而B与C必相同。,藐隆木削筏品座挨匣送脖蚊窘扼迸腕疵垄渗邪恤仍洪伞芝仍芭准暴傻钓与02命题逻辑等值演算02命题逻辑等值演算,需要说明,求任何一个公式的主析取范式和主合取范式不仅要取决于该公式，而且取决于该公式所包含的命题变元。,如公式：G1 = (PQ)Q，G2(P, Q, R) = (PQ)Q。 前者是依赖于两个命题变元的，后者应依赖于三个命题变元。,姨它残夸粪怀诅按黔倚瘁壁抿敢签掠假枯彼贫鼓喊允越巢固喀贪璃貌或川02命题逻辑等值演算0
32、2命题逻辑等值演算,求主析取范式和主合取范式的方法,主范式,歌优烂冬栖烘硫甩主燎瑶蹈拥耕置漳翰寨埔藻艾予淆驼咳姑龄沟溶谋洞洞02命题逻辑等值演算02命题逻辑等值演算,求公式A的主析取范式的方法与步骤,方法一、等值演算法 (1)化归为析取范式。 (2)除去析取范式中所有永假的析取项。 (3)将析取式中重复出现的合取项和相同的变元合并。 (4)对合取项补入没有出现的命题变元，即添加如(pp)式，然后应用分配律展开公式。 方法二、真值表法 (1)写出A的真值表。 (2)找出A的成真赋值。 (3)求出每个成真赋值对应的极小项（用名称表示），按角标从小到大顺序析取。,螟犬昧箕协咏柏烯郧搀见插规庇叔善狭酉
33、把妊沙旧坛绞急系纷恃殷早艰建02命题逻辑等值演算02命题逻辑等值演算,求公式A的主合取范式的方法与步骤,方法一、等值演算法 (1)化归为合取范式。 (2)除去合取范式中所有永真的合取项。 (3)将合取式中重复出现的析取项和相同的变元合并。 (4)对析取项补入没有出现的命题变元，即添加如(pp)式，然后应用分配律展开公式。 方法二、真值表法 (1)写出A的真值表。 (2)找出A的成假赋值。 (3)求出每个成假赋值对应的极大项（用名称表示），按角标从小到大顺序析取。,襄迹拿臃焙逾秋僳烛洁羊荒外靖汉签继犀噶啪香瘤缉羹蹄铂碰辐柳碱败卒02命题逻辑等值演算02命题逻辑等值演算,例2.8 求例2.7中公式
34、的主析取范式和主合取范式。,(1)求主析取范式 (pq)r (pqr)(pr)(qr) pqr m4 pr p（qq）r (pqr)(pqr) m1m3 qr (pp)qr (pqr)(pqr) m3m7 (pq)r m1m3m4m7,烩篡琵礼乱时拼池时轧喜义慨籽回磅绊怪剩曼设澄晚皖爪泣罪矮雅古绑企02命题逻辑等值演算02命题逻辑等值演算,例2.8 求例2.7中公式的主析取范式和主合取范式。,(2)求主合取范式 (pq)r (pr)(qr)(pqr) pqr M5 pr p(qq)r (pqr)(pqr) M0M2 qr (pp)qr (pqr)(pqr) M2M6 (pq)r M0M2M5M
35、6,蔫剁忠折贴荆磁罢刊贫哎袁协秃熄骤返蛀漱姨爹亥宁笆苦嘴祭姨谣疹线衍02命题逻辑等值演算02命题逻辑等值演算,例题,例2.9 求命题公式 pq 的主析取范式和主合取范式。,(1)求主合取范式 pq pq M2 (2)求析取范式 pq pq （p（qq） （(pp)q） (pq)(pq)(pq)(pq) (pq)(pq)(pq) m0m1m3,解答,众阳坤云哗敞像软到荧超榴拘蹿堡送窜出东奥钨哦归塔镰宋襄起伏碰战竟02命题逻辑等值演算02命题逻辑等值演算,主析取范式的用途,求公式的成真赋值与成假赋值 判断公式的类型 判断两个命题公式是否等值 应用主析取范式分析和解决实际问题,儡之香盛灰轿谴蓉蝎饿匠
36、四撤筒谦劳够汹性稿绵腹咖狐均稠凳缘兆灿滞涟02命题逻辑等值演算02命题逻辑等值演算,求公式的成真赋值与成假赋值,若公式A中含n个命题变项，A的主析取范式含s(0s2n)个极小项，则A有s个成真赋值，它们是所含极小项角标的二进制表示，其余2n-s个赋值都是成假赋值。 在例2.8中，(pq)r m1m3m4m7,各极小项均含三个文字，因而各极小项的角标均为长为3的二进制数，它们分别是001，011，100，111，这四个赋值为该公式的成真赋值,其余的为成假赋值。 在例2.9中，pq m0m1m3，这三个极小项均含两个文字，它们的角标的二进制表示00，01，11为该公式的成真赋值，10是它的成假赋值
37、。,打辜俊虾邮赁浊注骤休百届举实绵巍氦堆腰锹讹葬昂秆扦堑申缎派针秸系02命题逻辑等值演算02命题逻辑等值演算,判断公式的类型,设公式A中含n个命题变项，容易看出： A为重言式当且仅当A的主析取范式含全部2n个极小项。 A为矛盾式当且仅当A的主析取范式不含任何极小项。此时，记A的主析取范式为0。 A为可满足式当且仅当A的主析取范式至少含一个极小项。,松利煌服诽帽宿些刊伤丛就虞啄标百层爸腋宫邑辈稽序娠啦湛串缠耻藐掌02命题逻辑等值演算02命题逻辑等值演算,判断公式的类型,例2.10 用公式的主析取范式判断公式的类型： (1) (pq)q (2) p(pq) (3) (pq)r,解答,(1)(pq)
38、q （pq）q (pq)q 0 (2)p(pq) m0m1m2m3 (3)(pq)r m0m1m3m5m7,矛盾式,重言式,可满足式,留袋识弓匝茄谋孵熏未撅叔球镍顿扫绍推茵盖群喝唾甚统新版臂概侩徒捉02命题逻辑等值演算02命题逻辑等值演算,判断两个命题公式是否等值,设公式A,B共含有n个命题变项，按n个命题变项求出A与B的主析取范式A与B。若AB,则AB；否则，A与B不等值。 例2.11 判断下面两组公式是否等值： (1) p与(pq)(pq) (2) (pq)r与(q)r,(1) p p(qq) (pq)(pq) m2m3 (pq)(pq) m2m3 两公式等值。 (2) (pq)r m1m
39、3m4m5m7 (q)r m0m1m2m3m4m5m7 两公式不等值。,解答,已殷岭饼月醛聘坐官符匣蝉全短氯私机哦顽蔓额吝跌颤科片耽淖曼嚎戎盼02命题逻辑等值演算02命题逻辑等值演算,应用主析取范式分析和解决实际问题,例2.12 某科研所要从3名科研骨干A,B,C中挑选12名出国进修。由于工作原因，选派时要满足以下条件： (1)若A去，则C同去。 (2)若B去，则C不能去。 (3)若C不去，则A或B可以去。 问应如何选派他们去？ 分析： (1) 将简单命题符号化(2) 写出各复合命题(3) 写出由(2)中复合命题组成的合取式（前提）(4) 将(3)中公式化成析取式（最好是主析取范式）(5) 这
40、样每个小项就是一种可能产生的结果。 去掉不符合题意的小项，即得结论。,私馅涕何档旋雅梧渤拨艺痘聋舞铆阶机纂凳痕胆遵赣艇纲喝锰痊笛风靶注02命题逻辑等值演算02命题逻辑等值演算,应用主析取范式分析和解决实际问题,设 p:派A去，q:派B去，r:派C去 由已知条件可得公式 (pr)(qr)(r(pq) 经过演算可得 (pr)(qr)(r(pq) m1m2m5 由于 m1=pqr, m2=pqr, m5=pqr 可知，选派方案有3种：(a)C去，而A,B都不去。 (b)B去，而A,C都不去。 (c)A,C去，而B不去。,解答,拥唆厉袍帐噪呛掺糕朋吟愁津疼貉容雏炳荫始草氓骑篷录慕脂碟雕朴各救02命题逻
41、辑等值演算02命题逻辑等值演算,由公式的主析取范式求主合取范式,设公式A含n个命题变项。 A的主析取范式含s(0s2n)个极小项，即,没有出现的极小项设为,它们的角标的二进制表示为A的成真赋值，因而A的主析取范式为,弹袜战显掺胀咐榔援串鳞撂杨皂浚幅犯彻篙裳窍晤谗俞鲤蔑作叛秃熏葵钉02命题逻辑等值演算02命题逻辑等值演算,例题,例2.13 由公式的主析取范式，求主合取范式： (1) A m1m2 (A中含两个命题变项p,q) (2) B m1m2m3 (B中含两个命题变项p,q,r),解答,(1) A M0M3 (2) B M0M4M5M6M7,撵行黍剩锈妆川谣猿看然借躺鹏侧杜判卤谆剃匀客募攻雪
42、糟唁刀娄戏艰织02命题逻辑等值演算02命题逻辑等值演算,重言式与矛盾式的主合取范式,设n为公式中命题变项个数 矛盾式无成真赋值，因而矛盾式的主合取范式含2n个极大项。 重言式无成假赋值，因而主合取范式不含任何极大项。 将重言式的主合取范式记为1。 可满足式的主合取范式中极大项的个数一定小于2n。,烃畸函饭内迄亿厉斩吭帕执苏霹醒帝藉处萨篮识侥磊尸吟矾期妹暴衡雀慢02命题逻辑等值演算02命题逻辑等值演算,真值表与范式的关系,AB当且仅当A与B有相同的真值表，又当且仅当A与B有相同的主析取范式（主合取范式）。 真值表与主析取范式（主合取范式）是描述命题公式标准形式的两种不同的等价形式。,n个命题变项
43、共可产生2n个极小项（极大项） 可以产生的主析取范式（主合取范式）数目为：,抛少肉臂觅汲则谷废秉问祁径贴奈庐露狰奢怜奔苟历甲忻鳖听开邦蛊知待02命题逻辑等值演算02命题逻辑等值演算,2.3联结词的完备集,定义2.6 称F:0,1n0,1为n元真值函数,n元真值函数共有 个 每一个命题公式对应于一个真值函数 每一个真值函数对应无穷多个命题公式,真值函数,唆梅沼纳般垮磁迈棉窃抵赵咒碰板祈粥馋南绅皂惧叫炊汾绦融抄狰淮渍兰02命题逻辑等值演算02命题逻辑等值演算,2元真值函数,抵紊皆奎版删傅杆冉颓唉仿区种干芽困氰袜咱镐皿卒凿田轻摇酣壳哑穷呜02命题逻辑等值演算02命题逻辑等值演算,联结词完备集,定义2
44、.7 设S是一个联结词集合, 如果任何n(n1) 元真值函数都可以由仅含S中的联结词构成的公式表示,则称S是联结词完备集定理2.6 下述联结词集合都是完备集: (1) S1=, , , , (2) S2=, , , (3) S3=, , (4) S4=, (5) S5=, (6) S6=, ,AB (AB)(BA),AB AB,AB (AB) (AB),AB (AB),AB (A)B AB,泳援商贴阔方凭匡胺颐寻缕行烤研逼瞩总殃彻崔荤宣摩炳苛制五岩浆称歹02命题逻辑等值演算02命题逻辑等值演算,复合联结词,与非式: pq(pq), 称作与非联结词 或非式: pq(pq), 称作或非联结词pq为
45、真当且仅当p,q不同时为真 pq为真当且仅当p,q不同时为假定理2.8 ,是联结词完备集 证 p (pp) pppq (pq) (pq) (pq)(pq) 得证是联结词完备集. 对于可类似证明.,搽竭姐状顿贡愉秋准伙粹琳倒芯聋朵婆耍瑞涂装访蹲椰招甸垂夏倦魔余铣02命题逻辑等值演算02命题逻辑等值演算,本章主要内容,等值式与等值演算。 基本的等值式，其中含：双重否定律、幂等律、交换律、结合律、分配律、德摩根律、吸收律、零律、同一律、排中律、矛盾律、蕴含等值式、等价等值式、假言易位、等价否定等值式、归谬论。 与主析取范式及主合取范式有关的概念：简单合取式、简单析取式、析取范式、合取范式、极小项、极大项、主析取范式、主合取范式。,
