1、第1章 线性规划的基本概念,线性规划问题及其数学模型线性规划的图解法线性规划的标准形式非标准形式线性规划问题的标准化标准型线性规划的解,规划问题的数学模型一般由两部分组成 目标函数：反映生产经营者在有限资源条件下希望达到的生产或经营的目标。 约束条件：反映了有限资源对生产经营活动的种种约束，或者生产经营必须完成的任务；,回顾,例2 某制药厂生产甲、乙两种药品，生产这两种药品要消耗某种维生素。生产每吨药品所需要的维生素量，所占用的设备时间，以及该厂每周可提供的资源总量如下表所示：,已知该厂生产每吨甲、乙药品的利润分别为5万元和2万元。但根据市场需求调查的结果，甲药品每周的产量不应超过4吨。问该厂
2、应如何安排两种药品的产量才能使每周获得的利润最大？,定义x1为生产甲种药品的计划产量数，x2为生产乙种药品的计划产量数。目标： 使总利润 Z=5x1+2x2 极大化 约束： 每周资源总量的限制， 30x1+20x2160 5x1+ x2 15甲种药品每周产量不应超过4吨的限制x14计划生产数不可能是负数，x10 x20,数学模型为s.t. 这是一个如何合理的使用有限的资源，使生产经营的效益达到最大的数学规划问题。 在满足一组约束条件的限制下，寻求决策变量x1，x2的决策值，使目标函数达到最大值。,线性规划的图解法,适用于求解两个变量的线性规划问题图解法的基本步骤例4 利用例2说明图解法的主要步
3、骤。例2的数学模型为 s.t.,O,5,10,15,x1,x1=4,x2,5,10,1,A,B( 2, 5),C,Z,5x1+x2=15,30x1+20x2=160,5x1+2x2=5,线性规划图解法的基本步骤： （1）建立以x1,x2为坐标轴的直角坐标系，画出线性规划问题的可行域。 （2）求目标函数 Z=C1x1+C2x2 的梯度Z =（c1,c2）。 （3）任取等值线 C1x1+C2x2=Z0, 沿梯度Z正方向平移,（若是极小化问题，则沿负梯度方向-Z平移），求等直线将离未离可行域时与可行域的交点。 （4）若交点存在，则该点坐标就是最优解,图解法的几种可能结果(1）有唯一最优解，如例1。
4、（2）有无穷多最优解如例1中的目标函数设为 maxZ=10x1+2x2则目标函数等值线10x1+2x2=Z 与第二约束 5x1+x215的边界线平行。将等值线沿梯度Z =（10，2）正方向平移至B点时与可行域OABC的整条边界线AB重合。这表明线段AB上的每一点都使目标函数取得同样的最大值， 因而都是最优解。,O,5,10,15,x1,x1=4,x2,5,10,1,A,B（2，5）,C,Z,5x1+x2=15,30x1+20x2=160,10x1+2x2=5,例5 试用图解法求解下列线性规划问题st.,（3） 无界解（或称无最优解）无界解是指线性规划问题的最优解无界。若是极大化问题，则可使目标
5、函数值Z+,极小化问题 则可使目标函数值Z-， 有无界解的线性规划问题的可行域通常是无界区域，但反之则不必然。,-1 O,2,4,x1,x2,2,4,-Z=(3,2),-2x1+x2=2,x1-3x2=3,-1 O,3,3,（4）无可行解某些线性规划问题的可行域是空集，即不存在满足所有约束条件的点，这时问题无可行解，当然更谈不上最优解了。在实际中出现这种情况可以认为资源条件无法满足人们的要求，即不存在可行方案。,标准线性规划模型线性规划问题的标准形式：s.t 其中式(1.1)为目标函数，式(1.2)为约束条件，式(1.3)为非负条件， 为称呼方便，有时也将式(1.3) 称为约束条件。,（1.2）,（1.3）,线性规划的标准形式,（1.1）,紧凑格式：s.t.向量格式：s.t.其中 称为价值向量， 为决策变量向量， 为决策变量xj所对应的消耗系数向量， 为资源向量。,矩阵格式：其中 为mn阶矩阵又称为系数矩阵为价值向量，为决策变量向量，为资源向量。,课后习题,求下列线性规划问题所对应的几种标准模型 即：标准型、紧凑型、向量型、矩阵型,
