1、等价关系与序关系,笛卡尔积,集合A与集合B的笛卡儿积为一个集合,记为AB AB=(x,y) | xA 且 yB (x,y)是有序对,关系,集合A到集合B的关系是笛卡儿积AB的一个子集 如果R是集合A到集合B的一个关系,且(x,y)是R的一个元素,那么称x关于R与y关联(有关系),一般记作x R y 集合S到其自身的关系称为集合S上的关系,例,S=草,树,猪,牛,LYC T=植物,动物,人 定义R为S到T的一个关系 草 R 植物为真,草 R 动物为假 猪 R 动物为真,猪 R 人为假 LYC R 人为真,LYC R 植物假,等价关系,若集合S上的关系R具备以下三个性质： 1、自反性：对S的任意元
2、素x,x R x为真 2、对称性：只要x R y为真，y R x就为真 3、传递性：只要x R y为真，y R z为真，x R z就为真,等于关系,一个符号集合S 定义S上的关系R：如果S中的两个符号x,y代表同一个事物的话，那么x R y就为真 容易证明，R是等价关系。,整除关系,设S是正整数的集合，定义x R y为x | y。于是，3 R 6、7 R 35为真，但8 R 4,6 R 9为假。R是S上的一个关系。 R有自反性，传递性，但没有对称性,其他例子,设S是一些集合组成的集合族，定义A R B为AB空集。 显然，R有自反性和对称性，但没传递性 定义R为：只要两个人x和y的姓相同，x R
3、 y就为真。 这是一个等价关系,等价类,如果R是S上的等价关系，xS,则S中与x相关联的元素的集合称为包含x的等价类，记为x。所以x=yS:y R x 自反性保证了xx,等价类的性质,1、如果x和y是集合S的元素，那么x与y相关联，当且仅当x=y 2、关系R的两个等价类要么相等，要么互不相交,集合的划分,集合S的划分是一个子集族，它满足三个性质： 1、没有一个子集是空的 2、集合S的任何一个元素必然属于某个子集 3、两个不同的子集互不相交,等价类与划分,1、一个等价关系R产生了一个划分P，其中P的成员就是R的等价类 2、一个划分P导出一个等价关系R。其中，只要两个元素属于P的同一个成员，它们就
4、关于R相关联。此外，这个关系的等价类就是P的成员,等价关系与并查集,并查集在英文中称为Disjoint Set（不相交集合） 划分就一系列不相交集合，而划分与等价类是互相对应的。 因此并查集一般都是用来处理等价类。 所以，用并查集处理一些问题的关键是洞察问题中所蕴藏的等价关系 并查集可以动态维护等价关系,但只能加强关系,不能削弱关系,并查集存储结构,5,2,3,4,1,6,8,7,等价类代表,f:array18 of longint; f = 2,5,5,5,0,2,4,3,查找代表,Function find(u : longint) : longint; /寻找u所在等价类代表 Begin
5、if (fu = 0) then find := uelse beginfu := find(fu); /路径压缩find := fu;end; End;,合并两个等价类,Procedure Union(u , v : longint); Varfu , fv : longint; Beginfu := find(u); fv := find(v);if (fu fv) then ffu := fv; End;,例题1:等式矛盾,给定一系列等式,判断最早在第几个等式处出现矛盾. 等式形如:x=y，其中x和y可以是任意整数或一个符号. 例: x=y y=1 x=z z=0/矛盾 0=1,分析,这
6、是一个等于关系. 两个不同的常数不能在同一个等价类中,一旦两个相同的常数在同一个等价类中就出现矛盾. 维护并查集时,如果某个等价类有常数,就让这个常数做代表,这是不难办到的,同余关系,对于给定的m,整数数集上的同余关系(mod m)是等价关系 自反性：xx(mod m) 对称性：xy(mod m) ，那么显然yx(mod m) 传递性：xy(mod m)且yz(mod m)，那么xz(mod m),例题2:朋友敌人,N个人分成了两大阵营，同一阵营的两人为朋友，不同阵营的两人为敌人开始时什么都不知道，不断告诉你两个人之间的关系，判断是否有矛盾,分析,设两大阵营分别为和，我们把n个人看做n个0或1
7、 0表示该人处于阵营X,1表示该人处于阵营Y 设两个人A和B的对应数字为a和b 那么他们是朋友当且仅当a-b0(mod 2) 他们是敌人当且仅当a-b1(mod 2),人之间的关系,我们定义人与人之间的关系：A R B当且仅当a-br(mod 2)(0r2)已知，即我们可以确定a-b(mod 2)的最小剩余 R是一个等价关系 自反性：a-a0(mod 2) 对称性：a-br(mod 2)，那么b-a2-r(mod 2) 传递性：a-br(mod 2) , b-cs(mod 2),那么a-ct(mod 2),其中t为r+s(mod 2)的最小剩余,并查集,该等价关系体现了两个人之间的关系，可以使
8、用并查集来处理这个关系 在并查集中的每个点记录它与它父亲的关系，即a-b(mod 2)的最小剩余为0还是1 对于在同一个等价类中的集合,可以通过它们和代表的关系计算它们之间的关系 即ru表示ku-kfuru(mod 2),查找代表,Function find(u : longint) : longint; Varfu : longint; Beginif (fu = 0) then find := uelse beginfu := find(u);ru := (ru + rfu) mod 2;/ru xor rfufu := fu;find := fu;end; End;,合并等价类,Proc
9、edure Union(u , v , x : longint);/kv-ku x(mod 2) Varfu , fv : longint; Beginfu := find(u); fv := find(v);if (fu fv) thenbeginffu := fv;rfu := (rv-ru-x+16) mod 2;/rv xor ru xor xend; End;,例题3,现在有n种动物,动物分成A,B,C三类.食物链呈现为A吃B,B吃C,C吃A的情况. 给定一些某动物吃某动物的关系,问第几个关系出现矛盾,A(0),B(1),C(2),X吃Y相当于:x-y-1(mod 3),进一步推广,
10、食物链是长度为M的环怎么做？,0,1,X吃Y相当于:x-y-1(mod m),m-2,2,m-1,偏序关系,集合S上的关系R是一个偏序关系当且仅当R满足以下三个性质： 1、自反性：即对S中的每个元素x,x R x 2、反对称性：当x R y且y R x，就有x=y 3、传递性：当x R y且y R z，则x R z 偏序关系简称偏序,偏序关系实例,实数集上的等于关系 实数集上的小于等于关系 集合族上的包含关系 正整数集上的整除关系 多元组集合上的字典序关系 同余关系不是偏序关系,二元组的字典序,设R1是S1的偏序,R2是S2上的偏序。可以用R1和R2在S1S2上定义一个关系R。可以定义R为：
11、(a1,a2) R (b1,b2)当且仅当下列条件之一为真： 1、a1b1并且a1 R1 b1 2、a1=b1并且a2 R2 b2 可以证明:R是S1S2上的偏序,多元组的字典序,设n元组集合S=S1S2Sn，R1、R2、Rn分别是S1、S2、.、Sn上的偏序关系。设S=S1S2Sn-1，只要我们能用R1,R2,Rn定义出S上的偏序关系，根据上面二元组的讨论可得到S上的偏序关系。那么定义n元组的偏序关系就降低为定义n-1元组的偏序关系。,对称性与反对称性,既对称又反对称：等于关系 对称但不反对称：同余关系 不对称但反对称：小于等于关系 既不对称又不反对称：随便定义,把序关系看成无环有向图,如果
12、把S看成点集，关系R看成边集。那么序关系就是一张有向无环图（回想：等价关系可以看成无向图） 当然，无环是在忽略每个点的自环前提下的（这是由反对称性决定的） 根据传递性，图中若u到v有边,v到w有边，那么u到w有边。,全序,如果S的每对元素都是可比较的，即对任何x,yS，总有x R y或y R x,则称集合S上的一个偏序关系R为S上的全序或线性序。 小于等于是全序，但整除不是,有序排列,对于集合S的排列p1p2pn，如果只有ij,才能有pi R pj，那么就称该排列为S关于R关系的一个有序排列。 S上的偏序R是全序当且仅当S关于R关系只有一个有序排列。 拓扑序相当于一个有序排列 当有全序时就意味
13、着只有一个拓扑序，或者说，是可排序的。,例题1:奶牛排序,有n头奶牛，他们有严格的大小关系（没有相等）现在，已经对他们进行了m次比较，问还要对它们进行几次比较,才一定能够确定奶牛之间的顺序 输入：n和m（n不大于1000，m不大于10000），以及m对数a和b，表示a大于b 输出：一个数，只要还要比几次。,分析,n头奶牛没有同样的大小,这说明n头奶牛组成的集合S不是可重集合。 构造一个比较图：点集是S，u到v有边当且仅当有一个比较uv 我们可以由比较图得知n个数之间已知的大于等于关系R：即u=v当且仅当在比较图中u到v有路径。,分析,一定能够确定奶牛之间的顺序也就是说存在唯一一个有序排列。 问
14、题就转化为要把目前的关系R进行扩充，使R变成一个全序 因此，如果u R v,v R u都为false，那么它们之间就要比较一次 问题答案就是：C(n,2) 已有关系对数,例题2,n个人到食堂吃饭，由于食堂只有一个窗口，n个人必须排成一队依次打饭。每个人有各自的打饭时间与吃饭时间。问如何安排n个人的打饭顺序，使得所有人都吃完饭的时刻尽量早。 打饭时间：9 7 8 吃饭时间：3 4 5 结束时间：29,分析,吃得越慢越先打饭 也就是按吃饭时间从大到小的顺序排队 正确性： 假设从大到小的方案T不是最优的 必然存在另一个最优的方案S 在S中不断交换两个人的顺序,这两个人中吃饭快的排在吃饭慢的前面,可以
15、证明每次这样的交换不会使答案更差,最后交换的结果就是得到T,说明T不比S差 上述证明有个小小的问题，T不是唯一的。,该问题中的序关系,n个人组成了集合S,S上的关系R可以这样定义:x R y为真当且仅当x吃饭比y慢。其实也就是定义在吃饭时间上的大于关系。 这不是一个全序关系，因为吃饭时间有相同，但可以把吃饭时间相同的人看成一个人，这个人的打饭时间是合并前的人的打饭时间和。这一步是等价转化。 这样关系R就是全序关系了，存在唯一一个有序排列，这就解决了上述证明中T可能不唯一的困难,全序与贪心,当我们可以找到问题中所隐含的某种全序关系，并且在该全序关系下，任何非有序排列都可以通过无损交换达到有序排列
16、（所谓无损交换是指不会使答案更差），那么有序排列往往是最优解。,思考,假设打饭时间都在一个较小的范围内,若把一个窗口该成两个窗口该怎么做?,例题3,SZ采集了若干种化学原料。现在，他需要对每种原料进行精密的分析，以确定有效成分的含量。每种原料的分析都必须依次经过两个步骤：首先让原料接受一定时间一定量的粒子轰击（称放射试验）；然后在156.0973下与浓硫酸共热（称加热试验），两个试验都必须在特制的精密昂贵的仪器内进行。 由于经费的问题，实验室里只有一台做放射试验的仪器及一台做加热试验的仪器。换句话说，同一时间内最多只能做一个放射试验和一个加热试验。而各种原料需做试验的时间是不尽相同的（幸而关于
17、这些时间的数据SZ已经做了精确的预算）。现在请你预计一下阿扁能结束试验的最早时间。,例题3,输入 第一行为原料的数目n（0=n=1000） 以下n行每行各两整数ai，bi，表示第i种原料做放射试验的时间为ai，做加热试验的时间为bi。（0=ai,bi=100且aibi） 输出 只有一行，为结束试验的最早时间。,样例1,原料数目:2 原料编号:1 2 放射时间:3 5 加热时间:4 3 最早结束:11,样例2,原料数目:5 原料编号:1 2 3 4 5 放射时间:8 9 4 6 3 加热时间:5 2 10 8 5 最早结束:33,分析,我们称放射试验为A试验,加热试验为B试验,称第i种原料为原料
18、i。我们设n种原料的A试验顺序为1n的排列p1,p2,pn，即先对原料p1进行A试验，然后p2显然一旦有一个原料进行完A试验，就把该原料放到进行B试验的等待队列的尾部，这样是不会影响最优性的。所以进行B试验的顺序也为p1,p2,pn。于是一个1n的排列就对应一种试验顺序的方案了。,分析,对于执行顺序p1,p2,pn，设原料pi的A试验结束时间为tai,B试验结束时间为tbi,则： tai = tai-1 + api tbi = max(tbi 1 , tai) + bpi tbn就是最终结束时间。容易发现： tbn = maxsai + sbi (1 = i = n) sai = ap1 +
19、ap2 + + api sbi = bpi + bpi + 1 + + bpn,分析,我们考虑是否可以给所有原料一个统一标准，使得每个原料都有自己的权值，按这个权值从小到大的执行序列必然是最优的。找到了这种标准相当于找到了一个全序。 为了找到这么一个标准，我们考虑，对于执行顺序p1,p2,pn，能否将其中某两个相邻试验pi和pi+1交换，而最终的结束时间不更迟（即解不更差）,分析,我们令w=api , x=bpi , y=api+1,z=bpi+1 执行前ap1 ap2 w y apnbp1 bp2 x z bpn 执行后ap1 ap2 y w apnbp1 bp2 z x bpn 根据tbn
20、 = maxsai + sbi，容易发现只要max(y+w+x , y+z+x) = max(w+x+z , w+y+z)，那么结束时间就不会变迟。,分析,考虑3种可交换的情况： 1、当y=x，则y+w+xbi的原料前。 2、当y=z , w=x , z=x , 则y+w+xbi的原料中，必然是bi越大的排越前面。,分析,由此,我们就找到了所有原料的统一标准。即将aibi的原料之前，对aibi的原料按bi从大到小排序。这样的执行顺序必然是最优的，因为如果这不是最优顺序的，那么必然存在另一个最优顺序，从中可以找到上述的3种情况之一，可以进行交换，当不能交换时，也就是该顺序了。,分析,对每个原料设置第一关键字key1i,如果aibi,key1i=0,否则key1i=1，第二关键字key2i,如果aibi，key2i=ai,否则key2i= -bi。按这两个关键字排序即可得到最优序列，然后用tbn = maxsai + sbi (1 = i = n)计算结束时间。,总结,对于此类任务顺序安排问题,都是找到一种全序关系,在全序关系下的有序排列是最优的,而找全序关系的关键是给每个元素赋予一个权值,也就是一种衡量标准,这种衡量标准可以用倒过来分析的方法来得到.,
