1、1高等数学期中考复习参考题型一、填空1. 旋转曲面 x=y2+z2 由坐标面 xoy 上的曲线 -绕 -轴旋转而成。(答:xoy 上的曲线 -x=y2-绕 -x-轴旋转而成,参考图 1-1)2. 与直线 平行的向量是 -.0123zyx(答:平行的向量是 - (3, -3, 3)-;因为 (3, 2, -1)(0, 1, 1)=(3, -3, 3) )3. 过点 M(1,2,3)且平行于 yoz 面的平面方程为 -(答:平面方程为 -x-1=0-因为所求的平面的一个法向量为: ))0,1(i4. 当非零线量 满足条件 -时, = ba, ba(答:满足条件 - 正交 -时,参考图 1-4)25
2、. 向量 与 y 轴正向的夹角为 -.)2,0(a(答:夹角为 - -43因 )2)(2(0cos 6. -.(22)0,(, 1sin)limyxyxyx答:= -0- 因 , )0)(li2),( yx 1si27. 设 , dz=-z(答: dyxd21因 )dyxzz218. 设 ,则 =-2),(2yxDD-(答: =- -d因 =“椭圆 围成的区域 D 的面积”= = )yxD1)2(2yx 129. (x,y)在点(x 0, y0)连续是 (x,y)在该点可微的 -条件。 (答:必要)10. 交换二次积分 的次序得 -21),(xdyf(答:得 - -21yd由图 1-10, 可
3、知积分区域:= ,,2),(yxxD 21,),(xyyx3 =21),(xdyf21),(ydxf二、计算、解答题1. 设 , 求 。2lnyxzxz2解: , = , = 。)(121y2xyxz2)(2. 求 2120ydxd4解:由图 2-2,可知: 11,0),( 22yxyyxD,= =2120ydd102d33. 求 1302xy解:由图 2-3,可知:= = =1302xdydydx0311032dy103)(6y= )2(104.P154. 2(3). 设 D 是由 所确定的闭区域,求 。1yx deDyx解:由图 2-4,可知:= +deDyxxyde10xyde105=
4、+0112)(dxex021)(dxe= + =12x 021e5. 计算以 xoy 面上的圆周 x2+y2=ax 围成的闭区域为底,以曲面 z=x2+y2 为顶的曲顶柱体的体积。解:所求曲顶柱体的体积为:,其中 D 是 xoy 面上的圆周 x2+y2=ax 围成的闭区域。dyxVD)(2在极坐标系中,D 可表示为: 0acos, , (图 2-5)= =dVacos032244cosd2044cosda= 。1446答:所求曲顶柱体的体积为 。324a6. P47. 例 6 求过点 M(2, 1, 3)且与直线 垂直相交的直线方程。1z2y3x解:过点(2, 1, 3)且与已知直线垂直的平面
5、的方程:3(x-2)+3(y-1)-(z-3)=0, 已知直线的参数方程为 , 代入平面方程解得 t= , 代入直线的参数方程得交点tz21ytx73, 731,2所求直线的一个方向向量: =s )4,12(763,172所求直线的方程为: 4zyx另解:已知直线过点 N(-1, 1, 0), 方向向量 =(3, 2, -1)s所求直线的一个方向向量为:1= =(3, 0,3)(3,2,-1)(3,2,-1)=-12(2,-1,4)sNMs7所求直线的方程为: 43z1y2x7.P100. 5 求曲线 y2=2mx, z2=m-x 在点(x 0, y0, z0)处的切线与法平面方程 .解::
6、,对 x 求导得 , 即 ,mz212dzmxzdyx21曲线在点(x 0, y0, z0)处的一个切向量为:,n021,1z故所求切线方程: ,00zymx法平面方程: 。)(21)()(0 x8.P79. 例 4 设 w=(x+y+z, xyz), 具有二阶连续偏导数,求 及xwz2解: 2121 ),(),( fyzxyfxyzfxw 2212122 )( fyzxzfz 9.P82. 5. 设 z=arctan(xy), 而 y=ex, 求 。dz解: ,xxeyydyzxdz 2221)(1另解: z=arctan(xex), xxee22)()(110.P83. 9. 设 , ,
7、F(u)为可导函数,证明:)(uyzy。xzx8证: ,)()()()( uFxyxuFyxz xyzuxyyuxyzx )(2)()()(即 .11.P154. 6. 改变下列二次积分的次序:(1) ydxf01),(解:由图 2-11(1)知 0,1),(yxyD 1,0),(yx=yf01),(10xdf(2) ydxf20),(解:由图 2-11(2)知,2,),(yxD 2,40),(xyx= 。ydxf20xdf2409(3) 210),(ydxfd解:由图 2-11(3)知 11,),( 22yyxD,0xxy=210),(ydfd210),(dyf(4) 221),(xdyfd解:由图 2-11(4)知 2,xxD1210)( yyyx= 。221,xdfd20),(ydxf10(5) xedyfln01),(解:由图 2-11(5)知 ln,xeD1)(exy= 。edfln01,ydf),(0(6) xdyfdsin20),(解:由图 2-11(6)知 sin2si,),( xxyDarc01, yx arcsinarcsin,10),( yxyy= + 。xdfdsin20),(ydfarcsin201 dfrsi),(