1、第三章 滤波,1.理想低通滤波器：其传递函数为理想低通滤波器的冲激响应为：,高斯低通滤波器,由于高斯函数的傅里叶变换仍是高斯函数，因此高斯函数能够成一个在时域和频域都由平滑性能的低通滤波器。其传递函数为：其冲激响应为：,理想带通滤波器,若仅冗许位于频率 和 之间的能量通过，则传递函数满足：理想带通滤波器的冲激响应为：其中 和 。,理想带阻滤波器,阻止频率位于 和 之间的能量通过而容许其它频率的能量通过的滤波器的传递函数：仍然令 和 ，则冲激响应为：,高频增强滤波器,在频率为0处频值为1，随着频率的增长，传递函数的值逐渐增加；当频率增加到一定值以后传递函数的值又回到0或者降低到某个大于1的值。
2、高斯差分滤波器：传递函数定义为滤波器的冲激响应为：,最优线性滤波器,假设观察信号 由有用的信号 和加性噪声信号 构成。 最优准则：对于 输入，滤波器输出与真实信号的误差为：用均方差作为平均误差的度量：选取最小化均方误差作为最优准则。,设 的自相关函数为：它的功率谱为：则平均误差为：其中 。由于 ，则第二项为：,于是有： 。把 展开为两个卷积之积得：作变量替换 ，则有那么第三项可以写为：,至此，均方误差可以写为：最优化 ：设 是使 达到最优的特定函数。定义 为：代入上式，我们得到：,展开上面的式子，得到下列7项：所以可以将方程的形式改写如下：,我们证明 是非负的，将自相关函数写为积分形式：变换积
3、分次序得：证明 是使 达到极小 的充分必要条件。,必要性：假定对于某个 值，方括号中的项为非零值。那么，由于 是任意函数， 中的积分可以有很大的负值，所以就变得比 小的多，矛盾。充分性：当 时，我们有：所以 。,对于线性系统，输入和输出之间的互相关满足：所以， 。对上式两边作傅里叶变换得到：也就是 。,维纳滤波器的设计,按如下方式设计维纳估计器: 求输入信号 的自相关得到 的一个估值。计算 的傅里叶变换得到 。求信号样本（即无噪声情况下的）与输入样本的互相关来估计 。计算 的傅里叶变换得出 。由 和 计算最优滤波器的传递函数。,维纳滤波器举例,信号与噪声不相关若信号与噪声不相关，则：。对 的分
4、子进行变换并写为：,对于 的自相关函数 ，同样有：于是忽略0频率项，则：若信号和噪声均值为0，则对所有频率严格成立。,维纳滤波器性能,维纳滤波器输出均方误差为：把最优条件代入上式得：若噪声与信号不相关且为零均值，则：,展开逆变换改变积分次序得：,去噪实例,对去噪性能的度量：设真实图像为 ，对去噪后的图像为 ，定义信噪比为：,噪声模型,噪声来源：图像的获取和传输过程分为与图象相关、与图象不相关两类。还需了解噪声统计性质及其与图象的相关性质。一般假设：a. 白色噪声，与图象无关。指图象上各点噪声不相关，其频谱密度为常数。只要噪声带宽远大于图象带宽即可作白噪声处理。 b.乘性噪声：,一些重要噪声的概
5、率密度函数（PDF）,1.高斯噪声（正态噪声）,Z- 灰度值，-z的平均值,2.瑞利噪声,3.伽马（爱尔兰噪声）,4.指数分布噪声,5.均匀分布噪声,6.脉冲噪声,高斯白噪声的功率谱,对于均值为零方差为 高斯白噪声，其自相关函数为：由于高斯白噪声对于不同时刻 的值是独立的，所以当 时， 。当 时，。 所以其功率谱为 。,图10-1 a）高斯过程F的实现；b)加入高斯白噪声后的带噪信号（SNR=-0.48db) c) Wiener估计 （SNR=10.37db)。,空域噪声滤波器,均值滤波器 (1) 算术均值滤波器(2) 几何均值滤波器,均值滤波器 (3) 谐波均值滤波器(4) 逆谐波均值滤波器
6、,排序统计滤波器 (1) 中值滤波器(2) 最大值和最小值滤波器（3）中点滤波器,左上为原始图像，右上为带噪图像（SNR=10.05db),左下为均值滤波的结果（SNR=14.20db),右下为中值滤波的结果(SNR=15.78db)。,自适应滤波器,自适应局部噪声滤波器,当局部的噪声方差 与局部带噪信号方差近似相等时，这说明图像此区域为光滑区域，所以对噪声应该作大的光滑，这时自适应噪声方差滤波器就类似于算术平均滤波器， 。当局部的噪声方差远远小于带噪信号的方差 时，这说明图像在此区域含有大的边缘或丰富的纹理，所以应对噪声作小的光滑以保护纹理和边缘，这时有,(a)加性高斯噪声污染的图像（均值为
7、0，方差为1000） (b)算术均值滤波(c)几何均值滤波 (d)自适应滤波,组合滤波器,混合滤波器将快速的滤波器（特别是线性滤波器）和排序统计滤波器混合使用 线性中值混合滤波,组合滤波器,线性中值混合滤波,4.4 组合滤波器,选择性滤波器当图像同时受到不同噪声影响时，可以采用选择滤波的方式，在受到不同噪声影响的位置选择不同的滤波器进行滤除，以发挥不同滤波器的各自特点，取得好的综合效果 在消除各种混合比例的混合噪声时使用选择性滤波器的效果比单独使用任何一个滤波器的效果都要好,组合滤波器,作业,对实际Lena图像分别加入噪声标准差 的高斯白噪声。用理想低通滤波器，高斯低通滤波器，算术均值滤波器，
8、中值滤波器对实际Lena图像进行去噪，比较其去噪结果。,第五章 图像恢复图像恢复也是一种改善图像质量的处理技术，实际成像过程中，由于种种原因，会使原来清晰图像变成模糊图像（或称降质图像）。如：宇航卫星、航空测绘、遥感、天文学中的图片，由于大气湍流及摄像机与物体之间的相对运动都会使图象降质；X线成像系统由于X射线散布会使医学上所得的射线照片的分辨率和对比度下降；电子透镜的球面象差往往会降低电子显微照片的质量；运动图像由于曝光时间长，产生模糊，或者由于光圈太大或太小等原因。,图象恢复：将降质了的图像恢复成原来的图象，针对引起图象退化原因，以及降质过程某些先验知识，建立退化模型，再针对降质过程采取方
9、法，恢复图象。一般地讲，复原的好坏应有一个规定的客观标准，以能对复原的结果作出某种最佳的估计。,5.1 退化模型降质过程可看作对原图像f(x，y)作线性运算。 g(x，y) H f(x，y)降质后 降质模型 原图（清晰）,以后讨论中对降质模型H作以下假设： H是线性的 H是空间（或移位）不变的对任一个f(x，y)和任一个常数 和都有：H f(x-,y-) = g(x-,y-)就是说图象上任一点的运算结果只取决于该点的输入值，而与坐标位置无关。 记 为,系统H的冲激响应，h一般也被称为点扩展函数，PSF （Point Spread Function）,而在实际降质过程中，降质的另一个复杂因素是随
10、机噪声，考虑有噪声的图象恢复，必须知道噪声统计特性以及噪声和图像信号的相关情况，这是非常复杂的。 实际中假设是白噪声频谱密度为常数，且与图像不相关，（一般只要噪声带宽比图象带宽大得多时，此假设成立的），由此得出图象退化模型。,H,f(x,y),g(x,y),n(x,y),图象降质过程模型,假设噪声n(x, y)是加性白噪声，这时上式可写成,在频域上，式(10)可以写成,(11),(10),其中，G(u, v)、F(u, v)、N(u, v)分别是退化图像g(x, y)、原图像f(x, y)、噪声信号n(x, y)的傅立叶变换。,退化参数的确定即确定：h(x,y)与n(x,y)先验知识办法与图像
11、无关后验办法与图象有关,经验性的 1根据导致模糊的物理过程（先验知识） 大气喘流造成的传递函数,光学系统散焦传递函数, 相机与景物之间相对运动造成图像降质，H(u,v)运动模糊：已知：设相机不动，对象运动，运动分量x，y分别为x0(t)，y0(t）相机快门速度是理想的，快门开启时间（曝光）T。,2根据后验知识判断：图象的各元件：线 、边 、点当不知退化过程或过程复杂时，只能用退化图象本身来估计：h(x，y)。例如：1 天文上一个星的退化图像模糊图象即为该点图象的点扩展函数。2 利用线退化图象来确定h(x,y)。 1) 根据线退化提取h(x,y)理想线 , 退化为 .,y,x,x,y,u,v,H
12、(0,v),90+,2）根据图象上边提取h(x,y) (图象上线不多，但边很多，把边求导后变成线) 边可看成阶跃：结论：若原图上有阶跃，则可证该边界线的退化图象的导数等于平行于该边界线的线的退化图象。 边的退化图象,5.3 恢复图像的滤波法,H(u,v),F(u,v),G(u,v),N(u,v),P(u,v),(u,v),1、逆滤波：若暂不考虑噪声：G(u,v) = F(u,v) H(u,v),逆滤波的基本步骤,对退化图像g(x,y)进行二维傅立叶变换，得到G(u,v)。 计算系统冲激响应h(x,y)的二维傅立叶变换，求得H(u,v)； 计算F(u,v)； 计算F(u,v)的傅立叶反变换，求得
13、f(x,y)。,功率谱均衡,等功率谱滤波函数的推导过程： 由线性系统理论，退化图像和原图像的功率谱 和 之间满足如下关系：则恢复图像 的功率谱为,令 ，则当无噪声时，等功率滤波简化为直接的去卷积；当无信号时， ，即完全截止； 当 时， 。,Winner滤波Wiener滤波恢复使原图象f(x,y)与恢复后的图像 (x,y)之间的均方误差e2达到最小的准则，来实现图象恢复的。即：,这里假定：噪声和图像不相关；其中有一个有零均值；估计的灰度级是退化图像灰度级的线性函数。在这些条件下，误差函数的最小值在频域的表达式为：,为噪声的功率谱， 原图像的功率谱,或幅值很小时，不会引起大误差； 当 时，变为逆滤
14、波复原法； 当 时， 。当处理白噪声时，谱 是一个常数。未退化图像的功率谱未知或不能估计时，经常使用,维纳滤波的基本步骤,对退化图像g(x,y)进行二维离散傅立叶变换，得到G(u,v); 计算系统冲激响应h(x,y)的二维傅立叶变换，求得H(u,v)； 估计噪声的功率谱Pn和输入图像的功率谱Pf； 计算F(u,v)； 计算F(u,v)的傅立叶反变换，求得f(x,y)。,几何均值滤波器,考察如下形式的复原滤波器：其中 和 是正实数。 当 时，上式就是去卷积滤波器；当 ， 时就是功率均衡滤波器；当 时，上式就是普通去卷积与维纳去卷积的几何平均。,当 时，就得到了参数化维纳滤波器：当 时，上式就是维
15、纳去卷积滤波器；当 时，就变成了单纯的去卷积。,代数恢复方法：在已知g、H、n某些知识情况下，寻求估计 f 方法. 1无约束最小二乘方恢复若无噪声或者对噪声一无所知时，则可用最小二乘问题来解决。取 作为f 估计时，使J =g H 2最小。利用上述最佳条件,可得出最佳估值 ，令,于是：,如果x，y方向采样点数相同即 M=N，并假设H是满秩（非奇异的），则有 :,若H已知，那么便可由g求出f的最佳估值 上式就是逆滤波器，在频域有：所以若 有零值，则 为奇异的， 和 都不存在。,有约束最小二乘恢复,因为 ，所以 。在极小化过程中引入上式两端范数相等的约束，即： 。则可以将问题归结为最小化如下目标函数：其中 是选来对 进行某种性质的运算，令 对 的导数为零，有：,解得：其中 为一必须调整的参数，以使得近似成立。如果令 ，则 。若令，则退化为逆滤波器。,平滑约束,令 是一个高通卷积滤波器，例如由空间二阶导数组成的拉普拉斯算子：这时， 是估计图像经高通滤波后的平方均值。其中块循环矩阵 为：,所以由 得：是拉普拉斯算子的传递函数：。,
